极坐标系下一维波动方程的数值求解

埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems制作和主办：ElsevierJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，280审查文件极坐标系Venu Gopala，*，R.K.Mohantyb，L.M.萨哈ca德里大学数学科学学院数学系，印度b南亚大学应用数学系，Akbar Bhawan，Chanakyapuri，新德里110 021，印度cIIIMIT，Shiv Nadar University，Chithera，Dadri，Gautam Budh Nagar，UP 203 207，India接收日期：2012年10月25日;修订日期：2013年1月22日;接受日期：2013年8月7日2013年10月3日在线发布本文提出了一种新的三层隐式九点紧致差分格式，用于极坐标系下一维波动方程的数值求解，其r方向上采用非多项式张力样条逼近，t方向上采用有限差分逼近，格式复杂度为O（k2 + h4）。我们描述了详细的数学公式化过程，并讨论了该方法的稳定性。数值结果证明了所提出的方法的有效性。2010年数学学科分类：65M06; 65M12？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。内容1.导言. 2812.非多项式张力样条2813.基于非多项式张力样条282的有限差分法4.稳定性分析2835.数字插图284*通讯作者。电子邮件地址：vgopal@zh.du.ac.in，vgopal. gmail.com（V.Gopal），rmohanty@sau.ac.in（R.K.Mohanty）。同行评审由埃及数学学会负责1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.08.001关键词极坐标中的波动方程;非多项式张力样条最大绝对误差一种新的高精度非多项式张力样条法解一维非线性方程281JLLLJLLLtt r rr r rr2Jl l ll6.最后评论285致谢285参考文献2851. 介绍我们考虑一维极坐标形式uucu-cufr;t;0r1;t>01具有以下初始条件ur;0/r;utr;0ur;06r612和边界条件u0;tp0t;u 1;tp1t;tP 0：3我们假设条件（2）和（3）是以足够的光滑性给出的，以保持所考虑的数值方法的精度。极坐标系下一维波动方程的数值解在工程和科学的许多领域都具有重要意义。在过去的三十年里，人们一直致力于发展基于样条近似的稳定的数值方法来求解微分方程。[2019 - 02 - 15][2019 - 02][2019 - 02-01][2019 - 01][2[6]和Kadalbajoo和Aggarwal [7]研究了用三次样条方法求解两点边值问题。 Kadalbajoo等人[8-10]，Marusic′[11]，Khan和Aziz[12]发展了求解奇异摄动边值问题的张力样条方法。Mohanty等人[13，14]在均匀网格和非均匀网格上都用张力样条来求奇异摄动边值问题的数值解。Khan等人详细讨论了基于三次样条的计算技术。[15]和库马尔和斯利瓦斯塔瓦[16]解微分方程。Raggett和Wilson[17]和Fleck[18]使用三次样条研究波动方程。近年来，Rashidinia等[19]，Ding和Zhang[20]，Mohanty和Gopal[21最近，Rashidinia和Moham-madi[24，25]利用张力样条给出了非线性Klein-Gordon和Sine-Gordon方程的解。在本论文中，我们遵循的想法Jain等人。[3,26]但利用非多项式张力样条逼近，发展了极坐标系下具有显著一阶导数项的波动方程的四阶解法。我们已经证明，我们的方法一般是四阶的，但为了计算结果，我们使用了一阶连续性条件的一致性。在本文中，使用九个网格点（见图1）。 1），讨论了求解极坐标系下一维波动方程的一种新的三层隐式非多项式张力样条有限差分方法，其时间复杂度为O（k2+h4）. 在这种方法中，我们只需要函数G的三个求值（如第3节所述）。第二节讨论了非多项式张力样条逼近。第三节详细讨论了极坐标系下波动方程的r方向非多项式张力样条和t方向中心有限差分逼近的求解方法在第4节中，我们讨论了所提出的方法的稳定性分析用高阶样条函数逼近极坐标下的波动方程，解通常在奇点附近恶化在本节中，我们修改我们的技术，使解在解区域的任何地方都保持其顺序和精度。在第五节中，我们讨论了在第一时间水平上的高阶近似，以便计算所提出的具有相同精度的数值方法，并将所提出的高精度非多项式张力样条有限差分方法的数值结果与相应的二阶精度非多项式张力样条方法的数值结果进行比较。结论性意见见第6节。2. 非多项式张力样条设Sj（r）为函数的非多项式张力样条u（r，t）在网格点（rl，tj）处，并且由下式给出：Sjrajbjr-rlcjexr-rl-e-xr-rldjexr-rle-xr-rld;r l6r 6 rl l ; N = 1;j = 1; 2;... ; J;ð4Þ其中aj;bj;cj和dj是常数，x是任意参数。LLL l满足J级的条件。Sj（r）是C2[0，1]的一类，它在网格点（rl，tj）上插值u（r，t非多项式张力样条函数Sj（r）由下式给出：S0rbjxcjexr-rle-xr-rlxdjexr-rle-xr-rle;l¼ 1; 2;... ;N = 1;j = 1; 2;.. . ; JS00-x2. cjexr-rl-e-xr-rldj. exr-rle-xr-rl;l¼ 1; 2;... ; N = 1;j= 1; 2;... ; J哪里MjS0 0rl;l0;1;2;.. . ;N=1;j=1;2;.. . ;J：107 μg/ml图1三层隐式格式示意图282V. Gopal等人JJJJj jj公司简介22J42JJJJJJBLLJl1l1LJLl1JLLH2ðeh- e-hwj¼0，即h0，然后是a;b！1，TLLLTLTL1L1L1l1LJLL¼Uttl1 Ok2015年12月15日，Rll1RLl-1的6LJLRLHLl-1的RL1Lmj<$S0rUj¼Ul1-Ul-1-ahMJLLRL1/4G。rl1;tj;Uj时间：2017年12月17日l1JLJ1/4U1-U1- 1-hb MjL1L12小时l-1的LLLL1/4G。rl1;tj;UjJ2019 -02 -2000：00：00JJJM-ee MMJJJ推导出（4）的分别以和t方向上的时间步长k> 0表示的表达式，其中U j;U j;Mj和Mj我们使用N和J是正整数。网格比参数为gi-llSruj;Sr联系我们; Mj<$S0 00 mm;ven通过k=（k/h）>0。网格点是定义为（rl，tj）=（lh，jk），l = 0，1，2，.. . ，N +1且j = 0，1，2，. ，J.M¼S00rl1：通过代数运算，我们得到符号uj和Uj分别用于离散近似和u（r，t）在网格点（rl，tj）处的精确值。Mj Uj- U M j-M j对于非多项式张力样条的推导，aj<$Uj-1;bj<$l1ll 1;l lx2lhxh微分方程的有限差分解法（1）、cj¼L2百万jl1h-hjjl;dj¼l的;我们遵循Jain等人给出的思想[3,26]两点具有显著一阶导数项的边值问题2x2eh-e-hl2x2使用三次样条。 我们使用非多项式样条其中h = xh且l = 0，1，2，... ，N-1。利用一阶导数在（r l，t j）处的连续性，即S0jrl-π/S0jrlπ，我们得到以下关系式，其中l=1，2，. . ，N-1，r方向的二阶近似和t方向的二阶有限差分近似。在网格点（xl，tj），我们可以写出微分方程。（1）作为U-2U-2UU -U¼Gr;t;U;UG;14Jl1l l-1¼aMMaM;2008年TTLRRLljl rlh2l1l l-1c c哪里a1/4。1-2h ;其中G r;t;u; u rrr2 uf r;t在同一个网格点，我们表示. @GjL@Ur1 .一、hehe-hlb¼h2eh-e-hfifih×h：.Σ我们考虑以下近似Uj¼.Uj1-Uj-1=2kUjOk2;15：1公式（8）简化为普通的三次样条关系2JJJJJLLU j¼.Uj 1-Uj-1=2kUj2019 - 05- 1500：00：00U-2U-2U现在我想，1/4小时。MJ2 MΣUjUj1-2UjUj-1JJmj<$S0rUj¼Ul1-Ul-haMjBbMj;j22rl6r6rlland replacing ‘U j¼. U J-U=2019 -01 - 2600：00：00U-Umjll-1hbMjaMj;U j¼. 3UjJn4U U=34rl-1 6r6rl：100H2¼Url1- 3JRRRL乌戈 2016年12月16日结合（9）和（10），我们得到我的天啊xl;tj;Uj;Uj;17：1LJ;UjRL1LRL2小时2l1l-1的GJL1L1此外，从（9），我们有J J由于由（8，11，12和13）定义的Sj（r）的导数值在每个网格点（rl，tj）处都是未知的，因此我们使用以下公式：m1/4秒0秒联系我们UlaMjS（r）的导数的近似让从（10），我们有Mj<$Uj-G;2018：1l ttl联系我们HJL-G;18：20J注意，（8，11，12和13）是非多项式张力样条函数Sj（r）。m^jUl1-Ul-1-ahMjJ-M;2019：1m^j3. 基于非多项式张力的有限差分法Ul1-U1 bMj中文（简体）样条将解域[0，1]·[t>0]划分为（N+1）·J在r方向上具有空间步长h= 1/（N+1）的网格现在我们定义以下近似Gbj¼G。xl;tj;Uj;m^j;20：1GJL1L1 ;m^jL1JJJ2UJJJ：当x63TL1l-1的6l1l-1的UJ<$Uj 1-2UjUj-1=k2<$UjTTLþOð kÞ;ð15:3ÞLLLTTLttl1L1L1L1RLHl1RRRLJJl1l-1的-M：1111rl1l1Hl1MJ1/4秒0秒联系我们Mr.Mr. ： 1313ttl1l-1的Jl-1的rl-1我-我LL2l1L1¼HL1JJJJ一种新的高精度非多项式张力样条法解一维非线性方程283L ¼ð Þ4JJ2þJJ24RRJJJJJBbJJ4 2 4LJL12TTLLL12l1l-1的LLLL2L4JLLLL2ttl1TTL-1TTL-2GJl1GJl-1的 10GbjL使用近似式15.3和15.4，（23.1）和（23.2），S012drS12lrdrdtulRRLLl1Ll-1的ttl1TTL-1TTLGJl1 BAGGl-110GlþOð kþk hÞ:ð25Þ12r22RLTTLHHHfj阿夫2LH2HJΣΣB.ΣJJ2S1其中，我们使用非多项式张力样条函数U j S j r l，其一阶空间导数在r方向上由（19.1）和（19.2）定义。借助于近似式（15.1）和（16.1），由式（17.1），我们得到Gj¼G。rl;tj;Uj;UjUJþOðhÞΣ注意，初始和Dirichlet边界条件分别由（2）和（3）给出。简化初始和边界条件，我们可以将方法（24）写成三对角矩阵形式，并且可以使用高斯消去（三对角求解器）方法[27]求解。4. 稳定性分析l l rl6rrrl21/4G。r;t;Uj;UjhUjwj我们可以将非多项式样条方法（24）写为：Ljlrl2j j j6rrrl L4其次，忽略LTE公司简介同样地，6Urrrlwloh：21：1k2uj-2uuΣ¸c¼kΣu¯jþu¯10ck21JJH1J10 jG¼ G-U j 2019-02- 2100：00：00-12ru^rl1u^rl-1ru^rlL1L13rrrl LL1ck21l-1的1L10ΣþL R2现在使用近似式（18.1）和（18.2），（21.1）和（21.2），（21.2），简化（19.1），我们得到þ122R2l1 u^jl1 第二次世界大战l-1的u^jl-1的u^jL2019-02 - 2200：00：00同样地，-kfjf10fj;l¼ 1001N;j ¼ 1; 2;.. . ; J;26m^jL1 ¼ml1þOðkþhÞ:ð22:2Þ其中与式（26）相关的近似在第3节中定义。现在，借助于近似式（15.1）和（22.1），由（20.1），我们得到Gj<$G rl;tj;Uj;mj=0k2h41/4G。r;t;Uj;mjOk2h4GjOk2h4：23：1注意，对于波动方程的解，方案（26）具有O（k2+h4）的精度。（一）. 由于r0= 0，方案（26）由于零除法而在l = 1处计算失败。 为了得到O（k + h）精度的稳定的非多项式张力样条格式，我们需要以下近似同样地，11小时小时2Gbl1¼Gl1rl11rl rl rl1 2小时3小时232然后，在每个网格点（rl，tj）处，非多项式张力样条曲线2019 -02-27 00：00：00Numerov型有限差分法，精度为时间复杂度为O（k2+h4）.（1）可借以下令状发出─rl12 3 4l l lH2f/f高频振荡器2019 - 03-27 00：00：00十个2l1lRL2RRL6k2Uj-2UUΣ¼kΣUjþUþ10UjΣ现在，借助第3节中定义的近似，和 （27.1） 忽视 高 秩序 术语， 我们可以k2hi将方案（26）改写为三层算子紧致隐含的形式Tbj：2024年12月1.一、2中国2jk2Tbj<$6k2Uj-2UUΣ2J2019 - 01 - 28 00：00：00哪里-kUjU10UjChΣ Σ¼ 1þJ1ch;S¼;现在代入值GjUj-UJJJ和S2½1英寸cc-2h2;S3¼S1c6-ch3克l-1¼Uttl1-Urrl1在（25），然后使用泰勒碳氢化合物L l公元前6-公元前4年Uj的作用 L1;Ujttl1和Ujrrl1 在（25）中的网格点（r1，tj）处，S4¼ -2r224r4;也就是说，使用值2 3 4JJ5Xk2π。JRL3Rl1l-1的TTL-1ttl1l1l-1的从（24），我们得到局部截断误差22Kþ20LRRL12r224RRl2J3;284V. Gopal等人LL2JJ3JJFJU l1¼ U lhUr102 Urr6Urrr24 UrrrOh;UOh;etc：;Rl2l1L-1Rll1l1LR RLl1RLLl-1的12ch2chh2和luj1/4。uJ拉乌你和你的朋友。uJ22-u平均值-22关于r方向的ing和中心差分算子，我们得到了局部截断误差Tbj<$O k4k2h4。等 这意味着，-u;d2uj<$uj-2uu;JJf¼12þ;LR lrr lUJrrl11/4Urrl胡 准 þ 2rrrrl-1的l1一种新的高精度非多项式张力样条法解一维非线性方程2851221LL ¼03TTL不 LLLL2个/23422S0-1½S2的时间复杂度为O（k2+h4），并且没有项1，因此，它可以L1H20þ12ð2R3Rr01/4kSdS2ld2Suj230þ12ð2R3Rr不RRLLLLS2drS32lrdr2S4elOk地址h：31H2低精度算术S-1R2RR不2002 年2月j日tr0122r3r rt l1-1个2003年。-00表1MAE。N+1O（k2+h4）-方法O（k2+h2）-方法c= 1C= 2c=1C= 2t=1t= 2t=1t=2t= 1t=2t=1t=2160.5074（-06）.1296（-05）0.4500（-06）.1148（-05）.8091（-05）.2065（-04）.7175（-05）.1827（-04）32.3171（-07）.8109（-07）.2820（-07）.7175（-07）.2027（-05）.5184（-05）.1803（-05）.4586（-05）64. 1983（-08）.5071（-08）.1762（-08）.4489（-08）.5078（-06）.1298（-05）.4511（-06）.1148（-05）d2u ju j1- 2 u ju j-1， 等 的 非多项式张力.2½秒¼我的天我的天啊！我的天啊！h-1-S]样条有限差分格式（28）具有局部截断误差罪2Q.ffiffiffiffiffiffi2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffiffiΣffiffi3二、Σ：1340在区域0r 1，t>0中求解l=1（1）N，j=1（1）J<<从06年开始。最大值sin2。h=1;min=2。h=0，它[28]第28话我们可以把（28）改写为从（34）得出，非多项式张力样条有限差分格式（29）是稳定的，如果S1Sd22秒-半秒K2-qS2-S2]电子邮件*2R3RL R406qS2-S4S2-S2ð35Þ附加项是高阶的，不影响格式的精度。 精确值U jur; t满足从而得到n=1。 很容易验证，如lfi，00。代入（32）中A和A-1的值，我们得到最后，从公式36，我们可以计算出在第一个时间水平，即t=k。关系式（8）适合于求解（1），只要它满足一致性条件，因此为了计算，我们选择x=0.001232S2-S32sin-1分]为了方法（28）的稳定性，我们遵循以下技术：222不 L3223f：129磅L千分之一2286V. Gopal等人H2¼我们解决Eq。（1）在以0r1为界的区域中使用方法（28），t>0。<<精确解由u（r，t）=r2sinht给出.最大绝对误差（MAE）[29]在t=1.0和t=2.0时列于表1中，c= 1，c = 2。6. 最后发言现有的基于非多项式张量样条逼近的数值方法在极坐标系下求解波动方程的精度仅为O（k2+h2），且需要9个网格点。本文利用相同的网格点数和函数G的三次赋值，导出了求解极坐标系下波动方程的一种新的稳定的非多项式张力样条有限差分方法，其精度为O（k2+ h4）。对于固定的参数rk，所提出的方法的行为类似于一个四阶方法，这是从计算结果显示。确认作者感谢审稿人的宝贵建议，这些建议大大提高了论文的标准引用[1] D.J. Fyfe，三次样条在两点边值问题求解中的应用，计算机。J. 12（1969）188-192.[2] M.K.杨文，微分方程的样条函数逼近，北京：计算机科学出版社。方法应用机械工程26（2）（1981）129-143。[3] M.K. Jain，Tariq Aziz，具有显著一阶导数的两点边值问题的 三 次 样 条 解 ， Comput. 方 法 应 用 机 械 工 程 39 （ 1 ）（1983）83-91。[4] E.A.李文，解二阶边值问题的样条方法，北京：计算机科学出版社。70（1999）717-727。[5] E.A. Al-Said，三次样条函数在二阶边值问题数值解中的应用，Comput. Math.Appl.42（2001）861-869。[6] A.汗，T. Aziz，二阶边值问题系统解的参数三次样条方法，J. 最佳。理论应用 118（2003）45-54。[7] M.K. Kadalbajoo，V.K.张文，解奇异两点边值问题的三次样条函数，应用数学。Comput. 156（2004）249-259。[8] 莫汉湾Kadalbajoo，R.K.张文，解一类非线性奇异摄动边值问题的三次样条方法。Theory Appl.76（1993）415-428.[9] 莫汉湾Kailash C.张文，张文龙，等离子体数值模拟中的一种新方法。21（3）（2002）717-742。[10] 莫汉湾Kailash C. 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