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many methods to tackle this difficult problem with dif-ferent emphasises. For examples, the Sinkhorn algorithm[35, 7, 25, 12] greatly improves the optimization speed ofthe Kantorovich potential by adding an entropy regularizerterms, but sacrificing the accuracy; the convex geometricvariational algorithms [39, 24, 27] find the precise solu-tion, but with complex dynamic geometric data structureand adaptive arithmetic precision. The fluid dynamic algo-rithms [2, 19, 18] find the optimal flow in space-time, there-fore increases the dimension and reduces the computationalefficiency.Therefore, existing methods can hardly find theaccurate solutions for large scale OT problems efficiently.In order to handle the challenge, this work proposes a novelalgorithm: FFT-OT, which computes large scale optimaltransportation maps with high efficiency and accuracy usingthe fundamental and powerful tool: Fast Fourier Transfor-mation.Key Ideas The proposed algorithm is based on three simpleideas. The goal is to find the OT map between two probabil-ity measures T : (Ω, fdx) → (Ω∗, gdy), based on Brenier’stheorem 3.1, this is reduced to finding the Brenier potentialu : Ω → R by solving the Monge-Ampere equation (1).1. Fixed point By improving the formulation in [10, 4], anoperator in the Sobolev space is constructed P : H2(Ω) →H2(Ω), such that the solution u∗ of the Monge-Ampereequation is the fixed point of P, P[u∗] = u∗. The fixedpoint can be achieved by iterations, u(n+1) ← P[u(n)],when n → ∞, u(n) converges to u∗, u(n) → u∗. Theconvergence of the iteration process and the convexity ofthe solution has theoretic guarantees.2. Obliqueness Boundary Condition The boundary condi-tion Du(Ω) = Ω∗ is difficult to directly formulated. Ourformulation is based on the obliqueness boundary conditionin Eqn. (5). Suppose the domain Ω is a planar rectangle, theBrenier potential is rewritten as62800FFT-OT:一种快速最优输运算法0Na Lei *1和Xianfeng Gu 201 大连理工大学 2 StonyBrook大学0摘要0最优输运图找到了将一个概率测度运输到另一个概率测度的最经济方式。它已经在视觉、深度学习和医学图像等广泛应用中得到应用。根据Brenier理论,计算最优输运图等价于求解Monge-Amp`ere方程。由于其高度非线性的特性,大规模最优输运图的计算非常具有挑战性。本文提出了一种简单而强大的方法,即FFT-OT算法,基于三个关键思想来解决这个困难。首先,将求解Monge-Amp`ere方程转化为一个不动点问题;其次,将最优输运图的斜率性质重新表述为矩形域上的Neumann边界条件;第三,每次迭代中应用FFT来求解泊松方程以提高效率。我们进行了从3D扫描捕获的表面和从医学成像重建的实验,并与其他现有方法进行了比较。实验结果表明,所提出的FFT-OT算法简单、通用、可扩展,具有高效和准确的特点。01. 引言 近年来,最优输运及其在视觉[32, 31, 41, 38]、深度学习[1, 16, 28]和医学成像[18, 17, 39,29]等领域的广泛应用得到了快速发展。最优输运图(OT图)找到了将一个概率测度运输到另一个概率测度的最经济方式,总运输成本被视为两个随机分布之间的Wasserstein距离。因此,OT图已被用于测量概率分布之间的差异,并用于图像或3D形状的配准。动机由于其高度非线性的特性,提高OT图的计算效率成为其中的一个核心挑战。研究人员已经开发了许多方法来解决这个困难问题,但侧重点各不相同。例如,Sinkhorn算法[35, 7, 25,12]通过添加熵正则化项大大提高了Kantorovich势函数的优化速度,但牺牲了准确性;凸几何变分算法[39, 24,27]找到了精确的解,但需要复杂的动态几何数据结构和自适应算术精度。流体动力学算法[2, 19,18]在时空中找到了最优流动,因此增加了维度并降低了计算效率。因此,现有方法很难高效地找到大规模OT问题的准确解。为了应对这一挑战,本文提出了一种新的算法:FFT-OT,它使用基本且强大的工具——快速傅里叶变换,以高效且准确地计算大规模最优输运图。关键思想所提出的算法基于三个简单的思想。目标是找到两个概率测度T:(Ω,fdx)→(Ω�,gdy)之间的OT图,根据Brenier的定理3.1,这可以通过求解Monge-Amp`ere方程(1)来简化为找到Brenier势函数u:Ω→R。1. 不动点 通过改进[10,4]中的表述,构造了一个Sobolev空间中的算子P:H2(Ω)→H2(Ω),使得Monge-Amp`ere方程的解u�成为P的不动点,P[u�]=u�。可以通过迭代实现不动点,u(n+1)←P[u(n)],当n→∞时,u(n)收敛到u�,u(n)→u�。迭代过程的收敛性和解的凸性具有理论保证。2. 斜率边界条件边界条件Du(Ω)=Ω�很难直接表述。我们的表述基于方程(5)中的斜率边界条件。假设域Ω是一个平面矩形,Brenier势函数被重新写成0* 通讯作者0u(x, y) = (x^2 + y^2) / 2 + φ,0其中-φ是著名的Kantorovich势。斜率条件等价于诺依曼边界条件。62810Kantorovich势φ的法向条件∂φ/∂n =0。3.快速傅里叶变换,在固定点迭代过程中,算子P[u(n)]用于求解泊松方程Eqn.(4)和Eqn.(6)。由于域具有自然的规则网格结构,使用有限差分法来解决泊松方程非常方便[36]。更重要的是,由于离散的拉普拉斯矩阵具有固定的结构,可以使用FFT方法来解决泊松方程,从而降低了复杂性。贡献本文提出了一种简单的FFT-OT算法,通过经典的FFT方法来解决OT问题。优点简单的FFT-OT算法极大地提高了计算效率、准确性和可扩展性。它可以在GPU或FPGA上实现,以进一步提高速度。此外,它可以直接推广到更高维度的情况。因此,所提出的FFT-OT算法在处理大规模实时OT问题方面具有巨大潜力。缺点所提出的FFT-OT算法要求概率分布的支持是矩形的。然而,可以将该算法推广到一般的凸域。所提出的FFT-OT算法仅针对2维情况,但可以推广到更高维度的情况。02.相关工作0关于最优输运问题有大量的文献。对于全面的综述,我们将读者引用到[43,44]的理论和[30]的计算方法。接下来我们将简要回顾最相关的工作。现有的算法可以大致分为四类:Kantorovich公式,Monge-Kantorovich理论已经应用线性规划技术来解决最优输运问题[20,21]。Karmarkar在[22]中提出了一个多项式时间算法来解决线性规划问题。Sinkhorn提出了在近似高效解决方案中添加熵正则化项的方法[35]。最近,基于Sinkhorn算法的许多算法被提出。这些方法首先在主要Kantorovich公式中添加一个熵正则化项,然后解决其主要问题[7,25]或对偶问题[12]。Genevay等人[12]提出了用于具有熵正则化的Kantorovich势的随机优化方法来处理大规模的OT问题。从理论上讲,这类算法只能给出近似解。Brenier公式,Gu等人[15]在凸几何中建立了Brenier定理和Alexandrov定理之间的理论联系。Su等人在[47]中提出了一种几何变分方法来解决保持表面积的最优传输映射,在[40]中用于皮层表面匹配,在[39]中用于表面配准。Levy等人[24,23]将该方法推广到体积情况。该方法已经推广到具有更复杂拓扑结构的表面注册,在[48]中推广到多连通表面注册。DeGoes等人[9]提出使用OT进行2D形状重建和简化,后来他们推广到使用容量约束的Voronoi剖分来处理蓝噪声处理问题[8]。M´erigot[27]提出了一种多尺度方法来加速大规模问题的计算。Seguy等人[34]提出了OT问题的正则化松弛,并用DNN近似Alexandrov势。该方法还推广到球面OT映射中[29,45]和[6],其中在球面上构建了功率图。这些方法使用功率图计算Brenier势,需要复杂的几何数据结构和自适应算术。流体动力学,Benamou-Brenier使用流体动力学重新制定了最优输运问题[2]。从源密度开始并以最小动能结束的流体诱导出一系列时间相关的微分同胚,最终微分同胚是所需的带有L2成本的OT映射。该定理导致了一个强大的算法[19]。Haker,Angenenent和Tannenbaum在[18]中提出了一种通过去除无散分量来改进保持测度映射的方法。Haber,Rehman和Tannenbaum在[17]中进一步提高了该方法的效率,并应用于体积医学成像。这些方法在时空域中解决OT问题,增加了时间和存储复杂性。直接数值方法,有许多数值算法通过不同的线性化方法来解决Monge-Ampere方程。a)Loeper和Rapetti在[26]中引入了基于矩阵行列式导数的Monge-Ampere线性化方法,重点是均匀目标密度。Saumier,Agueh和Khouider[33]将该方法推广到非均匀目标密度,并与Strain的谱方法[36]结合使用,以计算图像处理的OT映射。在迭代过程中,每一步都被简化为求解一个变系数泊松方程,并且特殊的步长被精心选择以确保收敛;b)Dean和Glowinski[10]使用代数恒等式2线性化了Monge-Ampere方程,并通过最小二乘法计算OT映射。Benamou,Frosse和Oberman在[4]中将该方法推广到更高的维度;c)Georges和Guennebaud[13]引入了一种不同的线性化方法,并使用有限差分方法来解决OT问题。他们的方法仅限于2D均匀目标密度,并且泊松方程公式难以直接利用FFT。与Kantorovich公式中的方法(如Sinkhorn[35])相比,我们提出的算法可以以高精度找到解决方案,近似误差为O(h^2),其中h是空间步长[5]。0在[24,23]中推广了体积情况的方法。该方法已经推广到具有更复杂拓扑结构的表面注册,在[48]中推广到多连通表面注册。DeGoes等人[9]提出使用OT进行2D形状重建和简化,后来他们推广到使用容量约束的Voronoi剖分来处理蓝噪声处理问题[8]。M´erigot[27]提出了一种多尺度方法来加速大规模问题的计算。Seguy等人[34]提出了OT问题的正则化松弛,并用DNN近似Alexandrov势。该方法还推广到球面OT映射中[29,45]和[6],其中在球面上构建了功率图。这些方法使用功率图计算Brenier势,需要复杂的几何数据结构和自适应算术。流体动力学,Benamou-Brenier使用流体动力学重新制定了最优输运问题[2]。从源密度开始并以最小动能结束的流体诱导出一系列时间相关的微分同胚,最终微分同胚是所需的带有L2成本的OT映射。该定理导致了一个强大的算法[19]。Haker,Angenenent和Tannenbaum在[18]中提出了一种通过去除无散分量来改进保持测度映射的方法。Haber,Rehman和Tannenbaum在[17]中进一步提高了该方法的效率,并应用于体积医学成像。这些方法在时空域中解决OT问题,增加了时间和存储复杂性。直接数值方法,有许多数值算法通过不同的线性化方法来解决Monge-Ampere方程。a)Loeper和Rapetti在[26]中引入了基于矩阵行列式导数的Monge-Ampere线性化方法,重点是均匀目标密度。Saumier,Agueh和Khouider[33]将该方法推广到非均匀目标密度,并与Strain的谱方法[36]结合使用,以计算图像处理的OT映射。在迭代过程中,每一步都被简化为求解一个变系数泊松方程,并且特殊的步长被精心选择以确保收敛;b)Dean和Glowinski[10]使用代数恒等式2线性化了Monge-Ampere方程,并通过最小二乘法计算OT映射。Benamou,Frosse和Oberman在[4]中将该方法推广到更高的维度;c)Georges和Guennebaud[13]引入了一种不同的线性化方法,并使用有限差分方法来解决OT问题。他们的方法仅限于2D均匀目标密度,并且泊松方程公式难以直接利用FFT。与Kantorovich公式中的方法(如Sinkhorn[35])相比,我们提出的算法可以以高精度找到解决方案,近似误差为O(h^2),其中h是空间步长[5]。(a). Buddha surface (S, g)(b). Kantorovich potential φ(c). Conformal map ψ(d). Optimal transport map TFigure 1: The Buddha example demonstrates the Brenier’stheorem, computed by the FFT-OT algorithm 2.paring with methods of computing Brenier potential usinggeoemtric optimization, such as [39], our algorithm doesn’trequire complex data structure, therefore greatly simplifiesthe design and improves the efficiency; comparing withthe most direct numerical methods, our algorithm use FFTto solve Poisson equations, therefore is much simpler andfaster.3. Basic Concepts and TheoremsThe fundamental concepts and theorems are briefly re-viewed, more details can be found in [43].Monge’s Problem Given two probability distributionsf(x)dx and g(y)dy with supports Ω and Ω∗ respectively. AC1 map T : Ω → Ω∗ is measure preserving if detDT(x) =f(x)/g ◦ T(x), where DT is the Jacobian of the map, anddenoted as T#f = g. Given a cost function c : Ω×Ω∗ → Rrepresenting the cost for transporting a unit mass from pointx to y, the transport cost of the mapping T is defined asC(T) :=�Ω c(x, T(x))f(x)dx. Monge raised the problemto find the optimal transport map, which is the measure pre-serving map with the least transportation cost,min{C(T) : T : Ω → Ω∗, T#f = g}.Brenier’s Theorem The Brenier’s theorem gives an answerto Monge’s problem, under mild regularity conditions:Theorem 3.1 (Brenier). If the transport cost is thequadratic Euclidean distance, c(x, y) =12|x − y|2, thenthere exists a convex function u : Ω → R, unique up to aconstant, such that the gradient map T = Du : Ω → Ω∗Figure 2: Convergence Rate and Accuracy Test. Top row:Buddha surface; bottom row: brain cortical surface. Reso-lution 1k × 1k, ε = 1e − 15. Left: the convergence errorduring the iterations; right: the solution L2 error with re-spect to the resolution.is the unique optimal transport map. u is called the Brenierpotential, satisfying the Monge-Amp`ere equation:detD2u(x) =f(x)g ◦ Du(x),(1)with the boundary condition: Du(Ω) = Ω∗.Fig. 1 illustrates the theorem, computed using the FFT-OT algorithm 2. Frame (a) shows the Buddha surface (S, g)in R3, with a metric g. Assume after normalization, the to-tal surface area is 1. Frame (c) shows the conformal mapψ : S → Ω, where Ω is the unit square. ψ push-forwardssurface area element dAg to the plane. Frame (d) showsthe OT map T : (Ω, ψ#dAg) → (Ω, L), where L is theLebesgue’s measure. Frame (b) shows the Kantorovich po-tential φ = u−(x2+y2)/2, where u is the Brenier potentialand T = Du.Obliqueness Boundary Condition General OT maps sat-isfy the obqliueness condition [42].Lemma 3.2 (Obliqueness). Suppose Ω, Ω∗⊂ Rn arebounded domains, Ω is convex, ∂Ω∗ is C1. The densityfunctions f and g satsify the balance condition�Ω f =�Ω∗ g, and are bounded, 0 < c0 < f, g < c1 < ∞, theBrenier potential is u : Ω → R. Suppose x ∈ ∂Ω andq ∈ ∂Ω∗, Du(x) = y, then ⟨n(x), n(y)⟩ > 0, where nrepresents the inner normal.4. Computational AlgorithmThe Monge-Amp`ere equation (1) is highly non-linear,therefore difficult to solve directly. Our key idea is to con-6282p0p1p2p3γ0γ1γ2γ3n0n1n2n3xT(x)(a) Grid structure(b) ObliquenessFigure 3: The sample nodes (red) and the gohst nodes (blue)are in the cell centers. The obliqueness condition is equiva-lent to the Neumann boundry condition.vert the OT problem to a fixed point problem and solve itusing FFT.Fixed Point In two dimensional case, the Monge-Amp`ereequation can be written as uxxuyy − u2xy = f/g ◦ Du.Therefore(uxx + uyy)2 = u2xx + u2yy + 2u2xy + 2fg ◦ Du,(2)this leads to a Poisson equation,∆u =�u2xx + u2yy + 2u2xy + 2f/g ◦ Du,(3)where ∆ = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2. Because the Brenier poten-tial is convex, its Laplacian is non-negative, hence we takethe positive square root in the above formula. This ensuresthe convexity of the Brenier potential during the computa-tional process [3]. We define the operator T : H2(Ω) →H2(Ω),T [u] = ∆−1 ��u2xx + u2yy + 2u2xy + 2f/g ◦ Du�(4)The solution to the Monge-Amp`ere equation 1 is the fixedpoint u∗ of T , T (u∗) = u∗. Therefore, we can search forthe fixed point by iterative method, u(n+1) = T[u(n)], theconvergence is proved in [10, 4].Obliqueness Condition In the current work, we focus onrectangular planar domain, namely Ω = Ω∗ = [−1, +1] ×[−1, +1]. As shown in Fig. 3, the four corner points pk’sdivide the boundary into four segments γk, k = 0, 1, 2, 3.The normal to γk is nk. Given a boundary point x ∈ γk, itsimage is also a boundary point T(x) ∈ ∂Ω∗. By oblique-ness lemma 3.2, we have ⟨n(x), n(T(x))⟩ > 0, thereforen(x) = n(T(x)),(5)therefore T(x) is also on γk, namely both x and T(x) are onthe same γk. Since each corner point belongs to 2 adjacentsegments, therefore its image is itself, T(pk) = pk. Letu(x, y) = φ(x, y) + (x2 + y2)/2, φ be the Kantorovichpotential. We obtain Du = Dφ+Id and ∆u = ∆φ+2.Theoperator T [u] in Eqn. (4) is converted to the operator P[φ]in Eqn. (6). The obliqueness condition (5) becomes to theNeumann boundary condition, namely ∂φ/n = 0.Finite Difference Method As shown in figure 3, the im-age domain Ω∗ is discretized to a Cartesian M × N grid.The step lengths are given by hx = 2/M and hy = 2/N.The coordinates of each grid point are given by (xi, yi) =�−1 + hx2 + ihx, −1 + hy2 + jhy�. We add “ghost cells”to the boundary as shown in figure 3 frame (a) in order toevaluate high order derivatives for the Neumann boundarycondition. The Brenier potential is represented as a two di-mensional M ×N matrix (uij), the differentials are approx-imated by the central difference method,D2xxuij = 1h2x(ui+1,j + ui−1,j − 2ui,j)D2yyuij = 1h2y(ui,j+1 + ui,j−1 − 2ui,j)D2xyuij =14hxhy(ui+1,j+1 + ui−1,j−1− ui−1,j+1 − ui+1,j−1)(7)The discrete Laplace matrix has a canonical form (see thesupplementary document), the regular structure allows us toapply FFT method to speed up the computation.bf FFT to solve Poisson Equation Suppose we are given aPoisson equation ∆u = ρ with Neumann boundary condi-tion ∂u/n = 0, the necessary condition for the existence ofa solution can be derived as follows:�Ωρ =�Ω∆u =�Ω∇ · ∇u =�∂Ω∂u∂nds = 0.(8)If ρ doesn’t satisfy the condition, we can add an offset c toρ, such that the integration of ρ−c is 0. For solving discretePoisson equation62830ui+1,j+ui-1,j+ui,j+1+ui,j-1-4uij=ρi,j,(9)0对于带有诺依曼边界条件的情况,我们可以使用离散余弦变换(DCT)方法。给定二维数组u(i,j),二维DCT定义如下:0˜u(m,n) = c(m,n)�0i,j u(i,j)cos((2i+1)m02M cos((2j+1)nπ)02N,0逆DCT是0u(i,j) = �0m,n c(m,n)˜u(m,n)cos((2i+1)m02M cos((2j+1)nπ)02N,0其中m,i=0,1,...,M-1,n,j=0,1,...,N-1,0c(m,n) =0�√0MN m=0,n=0 2√0MN,否则0令˜ρ=DCT(ρ),离散泊松方程(9)的解为u,˜u=DCT(u),则可以轻松证明:0˜u(m,n) = ˜ρ(m,n)02[cos(m0M + cos(nπ)0N-2]。(10).(6)62840P[φ(n)] := ∆^(-1)ρ(n) = ∆^(-1)(φ(n)xx+1)^2 + (φ(n)yy+1)^2 + 2(φ(n)xy)^2 + 2f/g◦(Id+Dφ(n))-20�0解是唯一的,除了一个常数。通过将˜u(0,0)设置为零,我们可以对解进行归一化。可以使用快速傅里叶变换(FFT)方法高效地计算DCT和逆DCT。求解带有诺依曼边界条件的离散泊松方程的算法概述如Alg.(1)所示。0算法1:DCT泊松方程求解器0输入:矩阵ρ(i,j)在矩形网格上,其中(i,j)∈{0,1,...,M-1}×{0,1,...,N-1}0输出:满足∆u=ρ且∂u/∂n=0的解。添加一个偏移量到ρ,使得方程(8)成立;使用FFT计算DCT˜ρ=DCT(ρ);使用方程(10)计算˜u;使用FFT计算逆DCTu=IDCT(˜u)。0蒙日-安培方程求解器解决蒙日-安培方程(1)可以通过找到方程(6)中算子P的不动点来实现,可以通过迭代φ(n+1)←P[φ(n)]来获得。在每个迭代步骤中,评估P[φ(n)]等价于求解一个泊松方程。在开始时,布伦尼尔势被设置为u(0)=(x^2+y^2)/2,φ(0)在每个位置都为零,OT映射T(0)是恒等映射。在每次迭代中,我们从最近的常规单元格中复制每个幽灵单元格的φ(n),以确保满足诺依曼边界条件。我们使用有限差分算子(7)计算φ(n)xx、φ(n)yy、φ(n)xy、φ(n)x和φ(n)y,然后使用方程(6)评估算子P[φ(n)]。为了评估g◦[Id+�φ(n)],我们将网格转换为四边形网格,第(i,j)个顶点位置定义为[Id+Dφ(n)](xi,yj)。然后,我们使用密度g将网格渲染以覆盖域Ω。渲染可以通过CPU上的扫描转换算法[14]或直接使用GPU获得。一旦获得泊松方程(6)的右手边,我们可以使用DCT-泊松方程求解器(1)解方程,并更新φ(n+1)←P[φ(n)]。我们重复这个过程,直到φ(n)和φ(n+1)之间的L2距离小于预定阈值ε。算法概述如Alg.(2)所示。图4显示了从高斯分布到勒贝格测度L的OT映射的过程。顶部行显示了Kantorovich势φ(n),底部行显示了中间映射Id+Dφ(n)。0算法2:FFT-OT0输入:定义在Ω=[-1,1]×[-1,1]上的源密度f(i,j)和目标密度g(i,j),其中(i,j)∈{0,...,M-1}×{0,...,N-1};收敛阈值ε>0。输出:最优输运映射Du:(Ω,f)→(Ω,g)。初始化φ(0)←0;当条件为真时执行以下操作:0通过从最近的正常单元格复制ϕ(n)来设置幽灵单元格;0计算ϕ(n)的x和y分量,并使用扫描转换计算g ◦ [Id + Dφ(n)];0使用方程(7)计算ϕ(n)xx、ϕ(n)yy和ϕ(n)xy;使用方程(6)计算右手边的ρ(n);使用算法(1)求解离散泊松方程∆ϕ(n+1) = ρ(n);更新φ(n+1) ←P[φ(n)];如果∥ϕ(n+1) − φ(n)∥ < ε,则0return Id + Dϕ(n+1); endend05. 实验结果0在本节中,我们报告了我们的实验结果。更多的算法细节和结果可以在补充文档中找到。设置所有的算法都是使用兼容Windows和Linux平台的通用C++开发的。我们主要使用libfftw[11]进行快速傅里叶变换,使用OpenGL、OpenCV进行用户界面。所有的实验都在一台装有Intel Core i7-7700HQ2.80 GHz CPU和16GB内存的Windows笔记本电脑上进行。表面网格是通过3D扫描或从医学图像重建获得的,并使用半边数据结构表示。所有的网格都通过表面Ricci流算法[46]被共形参数化到单位正方形上,并重新采样到不同分辨率的规则网格上。由共形映射引起的面积畸变被称为共形因子。准确性为了衡量我们提出的算法的准确性,我们实现了两个度量标准。图1显示了Budda表面的计算示例,分辨率为512×512,首先将表面共形映射到一个矩形上(c),然后计算OT映射(d),共形映射和OT映射的组合是一个保持映射。Ω|detD2un(p) − f/g ◦ Dun(p)|2dp� 12,Ω|φ(n)(p) − φ(n−1)(p)|2dp� 12.62850图4:从高斯分布(σx, σy = 0.25,µx, µy =0)到勒贝格测度的OT映射的迭代过程。顶部一行显示了不同迭代次数φ(n)的Kantorovich势函数,底部一行显示了映射Id +Dφ(n)。0图5:准确性测试。每个面的面积畸变因子的直方图。左边是φ(0)的初始直方图,右边是φ(n)的最终直方图。0保持映射从Budda表面到正方形。对于网格上的每个面fi,我们计算其在R3中的原始面积νi和最终的平面面积wi,然后绘制面积畸变因子logwi/νi的直方图,如图5所示。很明显,最终的直方图高度集中在原点上,这表明映射以高精度保持了面积。第二个度量标准衡量了解的逼近误差。假设分辨率为n×n,离散解为un,L2逼近误差定义为0En := ��0图2的右侧框架显示了误差随图像分辨率n的平方减小,En∝1/n^2,因此通过增
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