RPExpand：共振现象的Riesz投影展开软件

软件X 15（2021）100763原始软件出版物RPExpand：共振现象的Riesz投影展开软件Fridtjof Betza，Felix Binkowskia，Sven Burgera，b，aZuse Institute Berlin，Takustraße 7，14195 Berlin，GermanybJCMwave GmbH，Bolivarallee 22，14050 Berlin，Germanyar t i cl e i nf o文章历史记录：收到2021年2021年6月15日收到修订版，2021年关键词：共振模态展开轮廓积分Riesz投影a b st ra ct本文介绍了共振系统中物理观测量模态展开的软件RPExpand。该软件是在MATLAB语言环境下实现的并使用Riesz投影来计算展开项。Riesz投影法是基于轮廓积分，本质上需要求解线性系统。此外，特征解算器，这也是基于轮廓积分的实现。RPExpand可以应用于任何谐振问题。一个接口的有限元求解器包括授予访问共振现象在纳米光子学领域版权所有©2021作者。由爱思唯尔公司出版这是CC BY-NC-ND下的开放获取文章许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。代码元数据当前代码版本v1指向此代码版本所用代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX-D-21-00089Code Ocean compute capsule N/A法律代码许可证MIT许可证使用git的代码版本控制系统使用的软件代码语言、工具和服务MATLAB，MATLAB Optimization Platform，JCMsuite（可选）编译要求，操作环境依赖性MATLAB R2018b，JCMsuite 4.4.0如果可用，链接到开发人员文档/手册问题支持电子邮件betz@zib.de1. 动机和意义共振，也称为本征模，是没有驱动源项的波动方程的解[1]。RPExpand是一个软件，它允许扩展物理系统的观测根据他们的共振。 RPEx- pand的数值方 法基于Riesz 投影[2RPExpand在MATLAB中实现。它必须配备的可观察到的扩展，在一个复域上定义的亚纯函数的形式。在纳米光子学领域中，这种函数的自然示例是受驱动的光子晶体通讯作者：Zuse Institute Berlin，Takustraße 7，14195 Berlin，Germany.电子邮件地址：burger@zib.de（Sven Burger）.https://doi.org/10.1016/j.softx.2021.100763光学谐振腔在这种情况下，谐振是电场的极点，并且位于扩展点附近的极点为了访问纳米光子问题的解决方案，我们提供了一个基于有限元法（FEM）的商业软件JCMsuite的接口[6]。但是，RPExpand也可以应用于其他问题类。为此，用户必须以接受复频率的可调用对象的形式向能够求解线性系统的软件提供接口有关详细信息，请参阅README.md。模态展开方法是研究纳米光子问题的流行理论工具[7潜在的共振，也称为准正规模（QNM），其特征在于电磁场能量的耗散导致具有负虚部的复值本征频率。2352-7110/©2021作者。由爱思唯尔公司出版。这是一篇开放获取的文章，使用CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softxFridtjof Betz，Felix Binkowski和Sven Burger软件X 15（2021）1007632−∑：→⊂E（−∝·−−==R02πi共振展开中的贡献与相应的QNM和所应用的光源之间的耦合强度有关。挑战在于，例如，包括导致非线性本征值问题的材料色散、为了获得良好定义的展开系数的QNM的归一化、或者光学远场量的展开。尽管这些问题在最近几年已经得到了很大程度的解决[12，13]，但仍然缺乏能够严格有效地解决任何类别问题的模态扩展软件。我们的软件适用于任何材料系统，因为它是基于在围道积分上，它基本上只依赖于求解线性方程组。所提供的示例包括耦合到色散谐振器的量子光源。按照[4]的方法进行远场量的模态展开。最后一个它可以独立于外部求解器执行。2. 软件描述2.1. 问题陈述和理论背景激发该软件开发的问题类型如下：给定物理模型的特征值ω1，. . . ，ωn. 这里，本征值是指表示物理模型的线性算子A，例如，它的哈密顿量，或者，在经典电动力学的背景下，麦克斯韦算子。一般来说，这个算子是非厄米特的，并且非线性地依赖于它的本征值。在前一节中作为QNM介绍的其特征向量与源的耦合定义了模态分量Qk。非齐次物理问题的解是系统对给定源的响应。可以方便地将其视为定义在Ω上的亚纯函数q（ω）的求值C，其对实数线的限制与可观察到的Q这个函数q<$CN基于将预解式（Aω I）−1应用于源项。因此，函数调用涉及线性系统的解，并且A的特征值ωk是q（ω）的极点在这些极点周围积分q（ω）产生到相应本征空间上的投影，并能够评估所需的扩展nq（ω0）=qk（ω0）+qr（ω0）k=1在实参数ω0处。最后一个分量qr（ω0）说明了感兴趣区域外的共振和非共振背景。所谓的Riesz投影[2]是由围道积分定义的完全基于Cr的展开，可以类似于qr（ω0）的收敛，其设置与第3节中的示例相当。因此，只有当封闭极点的数量很大并且特征值的误差相加时，才需要使用附加轮廓RPExpand中提供的FEM求解器接口可以访问电磁量。它被用来有效地解决相应的线性系统，称为散射问题，在每个积分点。在本文中，参数ω是频率，并且目标量q（ω）从电场E（r，ω）导出× μ（r，ω）− 1右手边代表一个光源。 介电常数ε和磁导率μ是材料特性。一般来说，两者都依赖于ω，ω将非线性引入到相应的特征值问题中.在光学范围内，人们通常观察不到磁效应，因此μ等于恒定的真空磁导率μ0。在下文中，为了简单起见，放弃对位置r如果函数q（ω）在电场中是二次的，例如，q（ω）ω）E<$（ω），用E（ω）代替复共轭场，得到了一个全纯表达式，它对实频率是等价的. 此外，必须考虑作为E（ω）的极点的原始极点的复共轭ωk[4]。作为实量的傅里叶变换，E（ω0）是埃尔米特函数，对于其解析延拓E（ω），关系式E（ω）E<$（ω<$）成立。因此，不必求解散射问题。在负频率下的LEMS，并且给定轮廓相对于实线的镜像对称2.2. 软件架构和功能RPExpand包含两个类。类RieszProjection是这项工作的主要主题。它执行扩展，并可适用于任何数值求解器。它的主要方法是等值线法、展开法和绘图法。这些高级方法允许为了舒适和交互式使用，并将在以下段落中介绍。第二类，散射，作为一个接口，有限元求解器和实现亚纯函数q（ω）的纳米光子问题。该方法轮廓构造的轮廓和存储离散化和权重的求积规则。可用的是高斯-克朗罗德求积法和梯形法则。后者对圆和椭圆呈指数收敛。因此，它通常是选择的方法外轮廓Cr的形状可以选择为多边形、圆形或椭圆形。给定极点的选择和控制其最小值的参数q（ω）= −1q（ω）dω到任何积分点的距离，Cr被构造为k02πiCkω−ω0以最小的面积形成轮廓。对于最佳收敛，轮廓到任何极点的距离应该最大化[14]。在1=2πiq（ω）=1C.C.r∮CRq（ω）ω−ω0q（ω）ω−ω0nM1m=kdωω−ωmdω，ωk−ωm相反，对于包含单个奇点的轮廓Ck，具有小半径的圆产生最准确的结果。最佳半径取决于特征值的精度和线性系统接近极点的条件数。计算上最昂贵的步骤通常是亚纯函数q（ω）在积分点处的求值。沿着Ck和Cr，它们包围孤立的极点和整体感兴趣的区域。如果特征值非常精确地已知，则qk（ω0）的第二个表达式能够丢弃沿Ck的轮廓。利用文[5]中提出的算法，可以利用沿外轮廓的函数值q（ω）来求取或重新计算其内部的特征值.在数值实验中，我们观察到，完全收敛的出于这个原因，建议绘制等高线，以便发现在方法扩展之前可能的问题是用于将目标量q（ω0）分解成模态分量。如果用户需要定义一个自定义函数来计算等值线上的被积函数q（ω），需要注意的是，接下来会有两个不同参数的调用首先，轮廓作为参数传递，然后，Fridtjof Betz，Felix Binkowski和Sven Burger软件X 15（2021）1007633=−Fig. 1. 纳米光子学示例的RP扩展示意图：从物理模型到实频率ω0下归一化衰减率Γ（ω0）的模态扩展。离散化系统用于求解特征值问题并创建散射实例（栗色正方形），其实现亚纯函数q作为FEM求解器的接口。结果被传递给类RieszProjection的构造函数，并从左到右向结果实例（绿色方块）添加信息。公共方法必须由用户显式调用。私有中间步骤说明了接口的用法。结果显示在图的下半部分。场图显示了E（ω0）的x分量在Γ（ω0）极值处的分解。阴影区域在本征模的场图中，代表金刚石盘，以便给出空间延伸的印象第一个调用与目标数量的名称一起。这个想法是解决线性系统一次，并在随后的后处理中导出不同的目标量。展开是通过选定的求积规则的数值积分完成的。在这一点上，支持轮廓的自适应细化，即，如果估计精度低于给定阈值，则将增加积分点的数量。最后，方法图提供了一个即时和全面的访问结果和估计误差。上面描述的三个方法通常可以在不传递参数的情况下使用相反，类实例的属性被更改。方法contours的调用通常只需要一次，因为当相关属性改变时，积分contours会自动调整现有地块也是如此在圆盘对称轴上封闭点源。有关设置的更多详细信息，包括其物理尺寸，请参阅[2]和随代码提供的示例。在第二个例子中，对于相同的物理系统，示出了在电场中的二次量的展开。最后一个例子，来自量子力学领域，描述了通过势阱的传输，更多细节参见[15，16]。这个例子还演示了调整软件以使用自定义线性求解器的可能性。3.1. 第一个例子：归一化衰减率图图1通过标准化衰减率一旦有新的数据可用，这些数据就被更新相比之下，必须总是显式地调用方法expand，以避免不期望的高成本计算。Scattering类是JCMsuite的接口。它旨在确保并行化方面的效率，并提供对预定义数量的扩展的访问。它们可以很容易地在不带参数的情况下调用方法expand来将显示可用数量的列表，用户可以使用鼠标进行选择。3. 说明性实例在这一部分中，首先，通过纳米腔中的光发射器的示例来修改软件的架构。物理系统是一个被空气包围的钻石盘，Γ（ω0）= −2Re[E（r0，ω）·j]/Γb，其描述了在存在谐振器的情况下自发发射的Purcell增强[17]。它被定义为源的总发射功率，用其在均匀块状材料中的衰减率Γb归一化。图的上半部分表示应用类RieszProjection所需的先决条件。如图1中所描绘的物理模型包括空间中的离散化和位于位置r0处并且被建模为偶极发射器J（r）的源。jδ（rr0），振幅向量j[18]。该模型用于初始化类Scattering的实例，该实例实现亚纯函数q作为FEM求解器的接口，并由栗色正方形表示。进而求解Fridtjof Betz，Felix Binkowski和Sven Burger软件X 15（2021）1007634+×| |η（ω0）=P+µ|E|dS=P+2 阿克mxψ（）VE图二. 金刚石圆盘中点源发射的场向远场的辐射。(a)PCE的扩展给出了0.8的NA。参考点对应于实轴上散射问题的解。(b)接近模态贡献的最大值，对应的模态归一化能量将通量密度sk（ω0，θ，θ）/smax作为方位角和仰角的函数作图视锥细胞代表NA。得到特征系统。在图1中，本征系统由标有叉号的本征值和本征向量其x分量显示为位置r的函数在平行于对称轴的平面红色和蓝色对应捕集效率1∫1√ϵ21∫SNASNA分别为正值和负值的计算本征系统不是强制性的，但它允许轮廓的最佳放置。图1中的绿色正方形标志着Riesz投影展开的起点。它表示类RieszProjection的一个实例，在后续步骤中将向该实例添加信息需要使用第2.2节中列出的三种方法进行扩增并显示结果。这些公共方法由用户显式调用标记为私有的阴影区域说明了中间步骤，用户只需要了解自定义设置。在构造轮廓之前，必须提供扩展点ω0，并且必须选择那些预期对目标量有贡献的特征值。基于这些参数，使用getContours，积分点沿着最小封闭椭圆分布。该方法扩展使用接口来解决每个积分点ωj处的散射问题，并在后处理中从所得电场E（j）导出相应的量Γ（j）。这是计算上最昂贵的步骤。使用梯形法则进行积分。结果表明，在选定的频率范围内（从4.0至4.75 PHz），则Γ（ω0）确实由两个选定模式主导。扩展极值处的现场图可以提供对基本物理的定性理解。这里，它们示出了电场的x分量，其与r成比例，因为j已经被选择为平行于x轴。误差估计的基础上直接解决方案在真正的线。相对误差的对数作为用于背景轮廓的积分点的数量的函数绘制，示出了梯形规则的指数收敛。在本例中，使用了16个积分点，以将相对于参考解的最大相对误差Γ（ω0）降低到4× 10−4以下。其被定义为发射到给定的数值孔径（NA）与发射到上半球P中的功率成比例。表面SNA是与给定NA对应的远离散射体的球形圆顶。因此， 到谐振器的远场，其中功率通量密度s（ω0，ω，θ）与E2成比例[18]。尽管有分歧 在远离谐振器的QNM中，已经表明PCE可以严格扩展，因为它是基于二次型[4]。PCE的扩展，在频率范围内，如图2（a）所示。参考解决方案，这是实际频率轴上的散射问题的结果，已被包括在内，以证明收敛到准精确解。在这个例子中，当使用64个积分点时，误差小于5 10−6PCE收盘价较低的原因对于主模，图2（b）显示了归一化能通量密度s k（ω0，ω，θ）/smax的角依赖性在接近共振的选定频率ω0处。圆锥表明NA为0.8，其尖端标志着坐标系的起源。人们观察到，第二模式主要在NA之外发射辐射。请注意，NA外的第二模式的强发射仅覆盖小的因此很容易被高估。3.3. 第三个例子：量子传输问题如[15]中所述的一维量子传输问题的变体已被用于证明非线性本征值问题的数值求解器的能力[5，16]。在这里，它是用来强调配备RP-扩展与线性系统的用户定义的求解器的可能性。此外，该示例以物理上有意义的方式演示了相应特征值问题的解决方案的可视化。在[16]之后，qu在势阱V=-10为|X|π