基于离散余弦变换的分数阶微分器设计方法

dxnDXA工程科学与技术，国际期刊20（2017）51完整文章基于III型和IV型离散余弦变换Manjeet KumarRawat，Tarun Kumar Rawat电子与通信工程系，贝内特大学，大诺伊达，北方邦201310，印度电子与通信工程系，Netaji Subhas技术学院，Sector-3，Dwarka，新德里110078，印度阿提奇莱因福奥文章历史记录：2015年7月31日收到2016年7月2日修订2016年7月4日接受2016年8月25日在线发布保留字：分数阶微分器有限冲激响应离散余弦变换离散正弦变换离散傅里叶变换A B S T R A C T本文将基于离散余弦变换（DCT）的插值方法用于数字有限冲激响应分数阶微分器（FIR-FOD）的设计。在这里，分数阶数字微分器被建模为有限脉冲响应（FIR）系统，以获得近似分数阶微分器的理想响应的优化的频率响应。然后，利用DCT-III和DCT-IV来确定FIR滤波器的滤波器系数，该滤波器计算给定信号的分数阶导数。为了改善所提出的FIR-FOD的频率响应，使用窗口进一步修改滤波器系数。设计实例表明了该方法的优越性。仿真结果也与现有的FIR-FOD设计方法，如DFT插值，径向基函数（RBF）插值，DCT-II插值和DST插值方法进行了比较。结果表明，所提出的FIR-FOD设计技术使用DCT-III和DCT-IV优于DFT插值，RBF插值，DCT-II插值和DST插值方法的幅度误差。©2016 Karabuk University. Elsevier B.V.的出版服务。这是CCBY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍分数阶微积分由莱布尼茨于1695年发明[1，2]，但直到最近才专注于理论和应用，特别是在科学和工程领域分数阶微积分领域在过去的几十年里保持着巨大的活力分数阶微积分在流体力学[2]、物理学[3]、自动控制[2]、图像处理[1]、电磁学[4]、信号处理[5]和混沌系统[6]等领域中被广泛应用。分数阶微积分的计算复杂性使得其早期研究困难重重。计算能力的进步提供了分数阶微积分的实际实现新的应用不断被发现，现有的应用继续在科学和工程的各个领域中扩展。下面描述分数导数的一些分数阶导数可以应用于语音信号的线性预测[7]、图像去噪、签名验证、图像信号的边缘检测和纹理增强[8，9]、R波检测*通讯作者。电 子 邮 件 地 址 ：manjeetchhillar@gmail.com（ M.Kumar） ，tarundsp@gmail.com（T.K.Rawat）。由Karabuk大学负责进行同行审查ECG信号[10]，一维（1-D）线性相位滤波器设计[11]和二维（2-D）线性相位滤波器设计[12]，无乘法器滤波器设计[13]，正交镜像滤波器组设计[14]和FIR滤波器设计[15]。数字微分器用于求出输入信号的时间导数对于实时应用，微分器必须具有更小的阶数以便于实现。分数阶数字微分器是整数阶微分器的一种扩展形式，在实际应用中具有更大的灵活性[1]。分数阶微积分是传统积分微分方程的推广。整数阶导数Dnf xdnfx（函数的n阶导数fx）具有被广义到分数阶导数Dafxdafx，其中n是整数，a是实数[2]。在过去的几十年里，已经提出了许多分数阶微分器的设计技术[16]。Samadi等人提出了一种基于牛顿级数展开的多项式信号FOD。该方法给出多项式信号的精确分数阶导数[17]。Tseng应用对数和泰勒级数展开来近似可变分数阶积分器和微分器[18]。Tseng还提出了一种使用分数采样延迟的FOD设计，并在高频区域提高了设计精度[19]。Tseng和Lee研究了使用径向基函数等插值技术http://dx.doi.org/10.1016/j.jestch.2016.07.0022215-0986/©2016 Karabuk University.出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页：www.elsevier.com/locate/jestch52M. Kumar，T.K.Rawat/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）51不2ð·Þð Þð Þ ð Þ.Σ2.ΣN-1<不DTA1个;一fmN每平方米ckcos不一D！0k¼0 D1/4。Σ¼[20]、DFT插值[21]、DCT插值[22]和DST插值[23]来近似信号的分数导数。Chen等人报告了用于估计污染信号的分数阶导数的分数阶Savitzky-Golay 微 分 器 [24] 。 Khare 等 人 应 用 DCT-III 插 值 设 计FOD[25]。Kumar和Rawat报告了基于加窗函数的分数阶微分器与径向基函数的近似[26]。Kumar和Rawat还介绍了利用幂级数设计分数阶微分器和最小二乘法，其中FOD被建模为FIR系统其中，aDa表示积分-微分算子，用于计算输入信号关于t的a阶分数阶微分和积分，并且a是运算的初始条件。分数阶导数的结果取决于a和t的界。分数阶微分和积分最常用的定义是在本文中，分数阶导数的Grünwald½t-a=D]k一它给出了幂函数的Grunwald-Letnikov型的分数阶导数[27]。此外，DCT、DST、DFT和DHT有被应用为的设计的矩阵分数阶aDaf其中Ca是二项式系数。Ca的值由下式给出：[28，29]。K K近年来，一类正交变换在数字信号处理领域引起了越来越多的关注使用欧拉伽马函数和阶乘之间的关系离散余弦变换（DCT）[30]是一种正弦酉变换，已应用于许多信号处理应用，如滤波器设计和多速率数字信号处理。DCT在设计中的一些流行应用CaaCa1kkCk1Ca-k1（1k）ð3Þð4Þ自适应滤波器[31]，ECG压缩，语音增强和信道预测[32]，信号压缩，图像编码和aa-1a-2···a-k11·2·3kkP1压缩[33]、超大规模（VLSI）实现[34]等。DCT是鲁棒的近似，可以非常有效地实现，并且可以与被认为是最佳的Karhunen-Loeve变换（KLT）的近似相媲美[35]。本文研究了离散余弦变换在分数阶微分器设计中的应用。分数阶导数的Grünwald-Letnikov定义和DCT插值被用来逼近理想分数阶微分器的脉冲响应。这项工作背后的基本原理是提高设计精度和性能的设计FIR-FOD。这是通过应用DCT-III和DCT-IV来计算给定输入信号的分数阶导数来实现的。此外，所设计的FIR-FOD的性能提高使用窗口的方法。本文的主要贡献是将变换法应用于FIR-FOD的设计中。与现有的基于插值的FIR-FOD设计方法，即DFT插值、径向基函数（RBF）插值、DCT-II插值和DST插值方法进行了比较。此外，还对幅值误差和相位误差进行了分析，论证了拟议的FIR-FOD。本文的结构如下：在第一节详细介绍之后，第二节简要回顾了分数阶导数 在第3节中，其中C是Gamma函数。根据上述定义，三角函数的分数阶导数[36]由下式给出：DaA co sxt/Axacos. xt/pa5三角函数的分数阶导数用于使用DCT计算给定数字信号的分数阶导数。3. 分数阶微分器在这一节中，提出了DCT方法来计算连续时间信号ft的分数阶导数Daf t。 有四种类型的DCT，DCT-I到DCT-IV，它们在间隔末端的边界条件上不同。在这里，我们已经实现了DCT-III，这是相同的离散对称余弦变换（DSCT）与特定的输入数据的预处理，计算复杂度低于DCT的乘法和略多的加法。3.1. 使用DCT-III的给定离散时间序列f <$0; f <$1;. ; f ∈N-1，它们是从连续时间信号f t中采样的。DCT-III定义为[37]给出了用DCT-Ⅲ计算分数阶导数的方法。此外，FIR-FOD使用DCT-III和DCT-IV的设计进行了说明。 设计实例说明了其有效性使用DCT-III和DCT-IV的拟议FIR-FOD的Fr2XN-1Nm¼0ckfmcosp2k1m2Nð6Þ第4款. 最后，在第5节中对本文进行了总结。r2XN-1. p2k1n2. 分数阶导数研究综述f哪里Nk¼0ckFkcos2Nð7Þ在这一节中，简要回顾了分数阶微分器的让ck¼（p1）k¼0ð8Þ首先介绍了分数阶微分器中常用的分数阶微积分的一些基本概念。压裂的独特之处在于1例其他情况从Eq.（6）在Eq. （7）我们得到函数微积分是将积分算子和非整数算子推广到非整数阶的能力。广义连续fr2XN-1N“r2XN-1Nckfmcos. p2k1m#2Ncosp2k1n2N文[1，2]给出了一个积分-微分Davis算子8>da;a>0一¼Da¼一0N-1¼k¼0每平方米2X2k¼0. p2k1m2N. p2k1n2N>：Rtdsa;a0<级ð9ÞXð1ÞcosCkM. Kumar，T.K.Rawat/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）5153N-1XN-1XCkXXaX2ð ÞXXð ÞXaDgn-N-1t¼每平方米hrNCkcos用连续时间变量代替离散时间变量nt，以获得由下式给出的ft为了解决这个问题，索引映射技术通过选择N-12X2. p2k1m. p2k1tgnfN-1f每平方米N-1fmNk¼0ckcos2Ncos2Ngn-1fN-2..ð20Þft f m bm;t10每平方米其中插值基由下式给出：gn-N1f 0一般来说，它可以写为2X2. p2k1m. p2k1tfmgn-N-1m 06m6N-1 21b/m;t/Nk¼0ckcos2Ncos2Nð11Þ通过使用索引映射技术，Eqs。（14）和（18）是相关的。彼此之间在等式的两边应用a阶分数导数（10），我们得到N-1替换Eq。（21）和ftgn-N-1 tt到方程（21）中。（十四）、我们得到DaftXfmDabm;t]12a每平方米N-1gn-N -1-mqmt 22利用分数阶微分的线性性质以及方程。（5）和（12），我们得到令r/N=1/N-m，等式（22）成为N-1Dabm;t2XN-12. p2k1acos. pm2k1cos. pt2k1þpaΣDagn-N-1tXgn-rqN-1-rðtÞ ð23ÞNk¼02N2N2N2ð13Þr¼0此外，设I1/4N-1 N-t，方程（23）减少到从Eqs。（12）和（13），我们得到N-1N-1Dgn-Ign-rqN-1-rN-1-I24Daft fmqm每平方米ðtÞð14Þr¼0比较Eq.（24）Eq.（18）我们得到哪里N-1N-1N-1 .p2k21个国家a. pm2k1Σ. pt2k1pNDagn-IXhrgn-rXgn-rqN-1-rN-1-I25qm2Kk¼0ðþÞNcosðþÞ2Ncos电子邮件*ð15Þ哪里r¼0r¼0在Eq. 式（14）在下一节中被应用于设计分数阶微分器。3.2. 分数阶微分器设计研究了理想分数阶微分方程的频率响应hrqN-1-rN-1-I26替换Eq。（15）在Eq.（26），滤波器系数由下式给出：2XN-12. p2 k1a. pN-1-r2k12N2N. pN-1-I2k1ptor由下式给出Hidxjxae-jxI16×cos2N2a;06r6N-1 27其中I是规定的延迟。在这一节中，目的是通过使用方程的结果来获得（14）其频率响应接近理想响应。FIR滤波器的传递函数由下式给出：N-1根据上述等式，滤波器系数容易计算，而无需应用优化技术。这里，长度为N的滤波器系数h r可以被看作是通过使用矩形窗口获得的。为了提高滤波器的性能，滤波器系数进一步修改使用锥形窗口。为了简单起见，我们使用Hann窗口，其给出为Hzhrz-r17r¼0在第二季第5集。1-cos. 2ppN06r6N-1 28如果在该FIR滤波器的输入处施加信号g n，则其输出是加权平均的的整数延迟样品gn;gn-1; gn-2;. ; gn-N 1，其给出为N-1关于我们h r gn-r18r¼0现在，目标是计算滤波器系数hr，使得滤波器输出yn匹配延迟分数阶导数Dagn-I，即N-1yn'r¼0XC2k¼054M. Kumar，T.K.Rawat/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）51修改的滤波器系数可以通过以下方式获得：hw r h r wr 293.3. 基于DCT-IVFIR分数阶微分器也可以使用DCT的其他变体来设计，其中之一是DCT-IV，其在频偏信道和图像处理中的多载波调制器中找到其在本节中，应用DCT-IV以使用与在前面的节中使用的类似的方法来获得滤波器系数。M. Kumar，T.K.Rawat/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）5155理想DCT−III理想DCT−IIIð Þ.Σ半个小时后，¼ ¼¼hrNcos0.4给定离散时间序列f <$0; f <$1;. ; f ∈N-1，它们是从连续时间信号f t中采样的。DCT-IV定义为[37]21.8r2XN-1N n¼0. p2k12n14N1.6ð30Þ1.4fr2XN-1Nk¼0弗里克·巴科斯p2k12n14Nð31Þ1.21使用与DCT-III相同的方法，我们获得了DCT-IV的滤波器它们是由0.82XN-1。p2 k1a. p2N-r-12k1k¼02N4N0.6×cos。p2N-I-12k1p324. 设计实例在这一节中，FIR分数阶微分器的设计使用DCT-III和DCT-IV。为了评估使用DCT-III和DCT-IV的拟议FIR-FOD的性能，给出了两个设计实例。用幅度误差、相位误差和积分平方误差来衡量该方法的性能。此外，本节还研究了延迟值I和分数阶数a对所设计的FIR-FOD性能所有的仿真都是在MATLAB中完成的7.11 版 本 采 用 Intel Core （ TM ） i5 处 理 器 ， 3.20 GHz ， 4 GBRAM。例1.在这个例子中，我们实现了变换方法，即DCT-III和DCT-IV，以设计分数阶微分器。设计参数选择为滤波器长度N1/460、滤波器阶数a1/40：5和延迟I1/430。FIR-FOD的理想幅度和相位响应分别由xa和90a给出4.1. 基于DCT-III的设计在这里，FIR分数阶微分器的设计使用DCT-III。首先，FIR-FOD的滤波器系数使用等式（1）计算（27）.然后，等式中定义的Hann窗口。公式（28）用于修改计算的滤波器系数。图1描绘了使用DCT-III的所提出的FIR-FOD的幅度响应。标准化相位响应90\H ejwxI= 0： 5p，使用DCT-III设计的FIR-FOD如图所示。 二、4.2. 基于DCT-IV的设计在这里，FIR分数阶微分器的设计使用DCT-IV。首先，FIR-FOD的滤波器系数使用等式（1）计算（32）.然后在等式中定义Hann窗口。公式（28）用于修改计算的滤波器系数。的幅度响应使用DCT-IV的所提出的FIR-FOD在图3中被证明。使用DCT-IV设计的FIR-FOD的归一化相位响应如图所示。 四、使用DCT-II [22]和上述参数的拟议FIR-FOD的幅度和相位响应已绘制在图11和12中。分别为5和6。从图1和图2所示的图形结果来看，通过比较图1 -6，可以得出结论，所提出的使用DCT-III的FIR-FOD在幅度误差方面优于其他类型的DCT。然而，相位响应的比较表明，DCT-IV给出了比其他稍好的结果。最后，可以得出结论，基于DCT-III的0.200 0.5 1 1.5 2 2.5 3频率（Hz）Fig. 1.使用DCT-III设计的FIR-FOD的幅度响应N：60;I： 30和A：0： 5。60504030201000 0.5 1 1.5 2 2.5 3频率（Hz）图二.所设计的FIR-FOD的相位响应使用DCT-III，N：60;I： 30和A：0： 5。FIR-FOD在幅度响应方面产生了更好的结果，并且在相位响应方面具有可比性。4.3. 建议的外物发展工程与其他已报告工程我们使用现有的FOD设计方法评估了所提出的FIR-FOD的性能，即频率响应近似方法[38]，分数采样延迟方法[19]，DFT插值方法[21]，径向基函数插值方法[20]，DCT-II插值方法[22]和DST插值方法[23]。在这里，使用不同类型的DCT的FIR-FOD的频率响应的比较分析被证明以设计参数为N60，I 30和 0： 5。 图7描绘了基于不同类型的DCT插值方法的设计的FIR-FOD的幅度响应的比较。基于不同类型的DCT插值方法的所提出的FIR-FOD的相位响应的比较示于阶段（度）幅度F丰纳科斯4晚2场56M. Kumar，T.K.Rawat/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）51理想DCT−IV理想DCT−IV理想DCT−II理想DCT−II阶段（度）21.81.61.41.210.80.60.40.200 0.5 1 1.5 2 2.5 3频率（Hz）21.81.61.41.210.80.60.40.200 0.5 1 1.5 2 2.5 3频率（Hz）图3.幅度响应所设计的使用DCT-IV的与N：60;I： 30和A：0： 5。图五. 使用DCT-II[22]设计的FIR-FOD的幅度响应，N：60;I： 30和A：0： 5。606050504040303020201000 0.5 1 1.5 2 2.5 3频率（Hz）见图4。所设计的FIR-FOD的相位响应使用DCT-IV，N：60;I： 30和A：0： 5。1000 0.5 1 1.5 2 2.5 3频率（Hz）见图6。使用DCT-II[22]设计的FIR-FOD的相位响应，N：60;I： 30和A：0： 5。图8.第八条。 根据图中的图形结果。 7，很明显，所提出的FIR-FOD设计方法使用DCT-III产生较小的幅度误差相比，其他DCT插值为基础的方法。从图8可以看出，与其他类型的DCT方法相比，使用DCT-IV的所提出的FIR-FOD设计方法给出了相位响应的最佳近似。表1总结了现有方法报告的幅度误差，如频率响应近似法[38]、分数采样延迟法[19]、DFT插值法[21]、径向基函数插值法[20]、DCT插值法[22]和DST插值法[23]。Zhao等人将频率响应近似法应用于10阶FIR-FOD的设计，并报告了0.623的最小幅度误差[38]。而使用DCT-III和DCT-IV 的FIR-FOD 方法观测到的幅度误差要小得多Tseng描述了80阶FOD的设计，应用分数采样延迟和0.2587的幅度误差获得[19]。采用低阶FOD设计时，所提出的方法得到的幅值误差较小. Tseng和Lee利用DFT插值方法设计100阶FOD，误差为0.0225[21]。Tseng和Lee报告，当应用高斯径向基函数插值时，10阶、60阶、80阶和100阶FOD的最小震级误差分别为0.0550、0.0529、0.0371和0.0356[20]。Tseng和Lee采用DCT内插设计100阶FOD，最小幅度误差为0.0122[22]。Tseng和Lee还实现了DST插值技术用于100阶FOD的设计，实现的误差为0.0169[23]。从表1中可以注意到，对于60阶所提出的FIR-FOD设计，DCT-III和DCT-IV分别存在0.0095和0.0120的幅度误差。从表1和图如图7和图8所示，可以推断，使用DCT-III的所提出的FOD比其他现有FOD更好。幅度阶段（度）幅度M. Kumar，T.K.Rawat/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）5157理想DCT−IIDCT−IIIDCT−IV- - Þ¼¼¼21.81.61.4实施例2.在这个例子中，我们评估所提出的FIR-FOD的性能与延迟值30- 50和顺序0 - 1。所设计的FIR-FOD的性能根据频率响应的整数平方根误差来测量，该误差由下式给出：ssZpHxHxdx3310.80.60.40.200 0.5 1 1.5 2 2.53频率（Hz）首先，所提出的FIR-FOD的性能是用不同的延迟I值测量的。为此，命令被固定为0： 5和N80的情况下，计算了不同延迟值的积分平方根误差。图9描绘了使用具有不同延迟值的DCT-III设计的 FIR-FOD使用具有不同延迟值的DCT-IV设计的FIR-FOD的积分平方根误差如图10所示。我们可以观察到，对于特定的延迟范围，误差减小，在这种情况下，在I40处获得最小误差。在不同的延迟值下，所设计的FIR-FOD与DCT-II、DCT-III和DCT-IV的积分平方根误差的比较如图1A和1B所示。 11和12人们可以推断基于DCT-III的 FIR-FOD设计方法是最好的图7.第一次会议。使用DCT-II[22]、DCT-III和DCT-IV设计的FIR-FOD的幅度响应比较，N：60;I： 30和A：0： 5。60504030201000 0.5 1 1.5 2 2.5 3频率（Hz）报道文学。其次，所提出的FIR-FOD的性能测量与不同的分数阶值为此，阶数固定为N<$80，延迟I<$40，积分平方根误差为图8.第八条。使用DCT-II[22]、DCT-III和DCT-IV设计的FIR-FOD的相位响应的比较，其中N：60;I： 30和A：0： 5。图9.第九条。 给出了不同延迟值I.表1与其他文献工作所得震级误差的比较参考方法类型滤波器阶数幅度误差Zhao等人（2005年）[38]频率响应近似–100.6232006年，曾恩（Tseng）分数采样延迟–800.2587Tseng和Lee（2010）[21]DFT–1000.0225Tseng和Lee（2010）[20]RBF高斯100.0550RBF高斯600.0529RBF逆复合二次600.0583RBF高斯800.0371RBF高斯1000.0356Tseng和Lee（2013）[22]DCTii型1000.0122Tseng和Lee（2013）[23]DSTi型1000.0169本研究DCTiii型600.0095DCTiv型600.0120理想DCT−IIDCT−IIIDCT−IV幅度阶段（度）1.2¼0jð-d拉吉ðÞ58M. Kumar，T.K.Rawat/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）51图10个。给出了不同延迟值I时采用DCT-IV的FIR-FOD误差曲线。见图11。对于不同延迟值I，使用DCT-III和DCT-IV与DCT-II[22]设计的FIR-FOD的误差比较。图12个。使用DCT-III和DCT-IV与DCT-II[22]设计的FIR-FOD在不同延迟值I的误差s方面的比较。图十三.对于不同分数阶值a，使用DCT-III的所提出的FIR-FOD的误差曲线s。图14.给出了不同分数阶数a时采用DCT-IV的FIR-FOD的误差曲线。图15.对于不同分数阶值，使用DCT-III和DCT-IV与DCT-II[22]设计的FIR-FOD的误差比较a.M. Kumar，T.K.Rawat/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）5159图十六岁使用DCT-III和DCT-IV与DCT-II[22]设计的FIR-FOD在不同分数阶值a的误差s方面的比较。用不同的分数阶值计算。图13描绘了使用具有不同分数阶值的DCT-III设计的FIR-FOD的积分平方根误差。用不同分数阶数的DCT-IV设计的FIR-FOD的积分平方根误差如图所示。 十四岁从结果可以得出结论，随着滤波器阶数的增加，误差减小。在不同的分数阶数值下，所设计的FIR-FOD与DCT-II、DCT-III和DCT-IV的积分平方根误差的比较如图2和3所示。15和16。5. 结论本文将离散余弦变换应用于FIR分数阶微分器的设计。这里，DCT-III和DCT-IV被合并以模拟分数阶系统，使得输出非常接近实际系统输出。为了评估所提出的FIR-FOD的性能，被认为是一个积分平方误差函数。对不同延迟值和分数阶数的FIR-FOD进行了比较研究。另一项研究已经执行了拟议的FIR-FOD与现有的FIR-FOD设计方法，如DFT插值，径向基函数（RBF）插值，DCT-II插值，DST插值方法。仿真结果证实，所提出的FIR-FOD使用DCT-III给出了最好的结果相比，其他类型的DCT的幅度误差。然而，所提出的使用DCT-IV的FIR-FOD在相位误差方面优于其他类型的DCT。从图形结果可以清楚地看出，延迟值的变化反映了所设计的FIR-FOD的性能的变化。此外，所提出的方法需要探索作为一个未来的范围，为2-D FIR分数阶微分器的设计。分数阶希尔伯特Transformer和分数阶积分器的设计也是今后研究的重点。引用[1] S. 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