F-型压缩映射的不动点定理及其推广

v2v2伏伏2Journalof the Egyptian Mathematical Society（2014）22，83埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章半序度量空间S.K. Malhotraa，StojanRadenovic'b，SatishShuklac，*aS.G.S.P.G.数学系印度，MP，b贝尔格莱德大学机械工程学院，Kraljice Marije 16，11120 Beograd，塞尔维亚c应用数学系，Shri Vaishnav技术科学研究所，Gram Baroli Sanwer Road，印度，MP 453331接收日期：2013年3月29日;修订日期：2013年6月6日;接受日期：2013年2013年7月26日在线发布本文的目的是得到F-型压缩的不动点结果，它满足一个比偏序类矩阵空间的自映射单调性更弱的条件。证明了F-扩张映射的一个不动点定理。因此，几个著名的结果被推广。包括一些例子来说明结果。2000年数学学科分类：54时25分; 47时10分; 06 A99分？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 引言和附录Ran和Reurings[1]以及Nieto和Lopez[2，3]证明了具有偏序的度量空间的自映射的不动点的存在性。在半序空间中的不动点结果可用于证明矩阵方程解的存在性和唯一性，也可用于证明常微分方程、积分方程、Fuzzy方程的边值问题，以及L-*通讯作者。电 子 邮 件 地 址 ： skmalhotra76@gmail.com （ S.K.Malhotra ） ，radens@b e otel.net（S.Radenovic′），satishmathe matics@yah oo.co.in（S。Shukla）。同行评审由埃及数学学会负责空间等（参见[1Ran和Reurings的结果[1] [2,3]和[24]的作者，都有自己的作品。[4，5，8，12在所有这些文件中，关于定义在空间上的偏序的单调性条件是必需的。以下是其中一个典型的结果。定理1（[1，2]）. 设（X，）是有向（向上或向下）的偏序集，d是X上的度量，使得（X，d）是完备度量空间。设f：Xfix是一个映射，满足以下条件：(i) f在X上关于v是单调的（非减或非增）(ii) 存在x0X使得x0 fx0或fx 0x0;(iii) 存在k（0，1）使得对所有x，yX，yx，d（fx，fy）≤kd（x，y）;(iv) (a)f是连续的，或1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.06.010制作和主办：Elsevier关键词部分度量空间;类度量空间;F-收缩;公共不动点;偏序84S.K. Malhotra等）的情况）- - -一种×！.ðÞ¼.ðÞ¼(b)如果一个非减序列{xn}收敛于x2X，则对所有n，xnvx。则f有一个不动点x*2 X。最近，偏序集上的不动点结果是通过比f的单调性更弱的性质来研究的（见[8，13，18，19]）。我们从这些文件中陈述以下事实。设（X，v）是一个偏序集，x，y2X.如果x，y是可比的（即，xvy或yvx成立），那么我们就写x=y。引理2[18].考虑偏序集（X，v）上的自映射f的以下性质：1. f是单调的（非递减或非递增），即，xv y） fxv fyfor all x，y2 X或yv x） fxv fy for all x，y2 X;2. x=y）fx=fyforx，y2X;3. x=fx）fx=ffx对于x2X.然后是123.相反的含义一般不成立。另一方面，Matthews[20]引入了部分度量空间的概念，作为数据流网络指称语义研究的一部分。在这个空间中，通常的度量被部分度量所取代，而部分度量具有一个有趣的性质，即空间中任何点的自距离都不可能为零。毛皮-因此，Matthews证明了Banach压缩原理（X，p）收敛到一个点x2X当且仅当p（x，x）=limnfi1p（xn，x）。 序列{xn}in（X，p）称为p-柯西序列，如果存在limn，m∈1p（xn，xm）且是有限的. 称（X，p）是完备的，如果每个p-柯西序列{xn}在X中收敛到一个点x2X，使得p（x，x）=li mn，mfi1p（xn，xm）.定 义2[21] 。 非空 集 合 X 上的类度规是 一 个 函 数 r ：X×X！使得对于所有的x，y，z2X：（r1）r（x，y）=0蕴涵x=y; （ r2 ） r （ x ， y ） =r（y，x）;（r3）r（x，y）6r（x，z）+r（z，y）.类度量空间是一个对（X，r），使得X是一个非空集，r是X上的类度量。注意，一个类度量满足度量的所有条件，除了r（x，x）对于x2X可能是正的。X上的每一个度规类r生成X上的拓扑sr，其基是开r-球Br x;sfy2 X：jr x; y-r x; xj0：X中的序列{x n}收敛于点x 2 X当且仅当li mnf1r（xn，x） =r（x，x）。 序列{xn}称为r-柯西，如果limn，m∈1r（xn，xm）存在且有限。称度量空间（X，r）是r-完备的，如果对每个r-柯西列{xn}，存在x2X使得limrxn;xrx;xlimrxn;xm：在部分度量空间中是有效的，可用于程序设计你好！1n！1核查。最近，Amini-Harandi[21]通过引入类度量空间推广了部分度量空间，并在这类空间中证明了一些不动点定理。在[22]中，Wardowski引入了一个新的F-压缩的概念，并证明了一个不动点定理，该定理以不同于完备度量空间中文献中已知结果的方式推广了Banach压缩原理。本文考虑了一类更广义的F-压缩映射，并证明了这类映射在度量空间中的 公 共 不 动 点 定 理 。 我 们 推 广 了 Wardowski[22] ，Matthews[20]，Ran和Reurings[1]，Nieto和Lopez[2]和最近的结果- Dori c 'etal. [18]第18话，我的一个秘密G类 度规中的弱压缩具有偏序的空间。 本文结果不仅是新的，在设置类似公制的空间，在度量空间和部分度量空间中。注意，每个部分度量空间都是类度量空间，但反过来可能不正确。例如1[21]。让X={0，1}，r：X XR定义为：rx;y2; ifxy 0; 1;否则：则（X，r）是类度量空间，但它不是部分度量空间，如r（0，0）∈r（0，1）。实施例2. 设X ^R; k P 0且r：X × X！ Rbe定义通过. 2 k; ifx<$x<$0;k;否则：首先，我们回顾一些关于部分度量和类度量空间的定义和事实。定 义 1[20] 。 非 空 集 X 上 的 部 分 度 量 是 函 数 p ：X×X！ R（R代表非负实数），使得对所有x，y，z2 X：(p1)x=y当且仅当p（x，x）=p（x，y）=p（y，y）;(p2)p（x，x）6p（x，y）;(p3)p（x，y）=p（y，x）;(p4)p（x，y）6p（x，z）+p（z，y）-p（z，z）.部分度量空间是一个对（X，p），使得X是一个非空集，p是X上的部分度量。一个序列{xn}，则（X，r）是度量空间，但对k> 0，它不是部分度量空间，如r（0，0）≤r（0，1）.实施例3. 设X ^R=X，r = X × X！ 定义为：rx; y2 x;if x¼ y;maxfx;yg;否则：则（X，r）是类度量空间，它不是部分度量空间，因为r（1，1）=2∈r（0，1）=1。定义3.如果一个非空集合X具有偏序一个子集rx;y半序度量空间中不具单调性的不动点结果852=v公司简介vK2v--X的A称为良序的，如果A的所有元素都是可比较的，即，对所有的x，y，A，我们有x，y。A称为g-良序，如果A的所有元素都是g-可比较的，即， 对于所有的x;y2 A，我们有gx=gy。在平凡的情况下，即，对于g=IX（X的恒等映射），g-阱有序性退化为良有序性.但是，对于非平凡的情况，即，当gnIX时，g-良序性和良序性的概念是独立的。实施例4.设X={0，1，2，3，4}，"“是上的偏序关系X已定义通过={（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（1，2），（2，3），（1，3），（1，4）}。让一个0; 1; 3;B1; 4和g：Xfix定义为g0= 1，g1= 2，g2= 3，g3= 3，g4= 0。很明显，A不是良序的，但它是g-良序的，而B不是g-良序的，但它是良序的。以下引理的证明与度量情形类似，为了完整起见，我们给出了证明。引理3. 设（X，r）是度量空间，{xn}是X中的序列. 如果序列{xn}收敛于某个x 2 X，且r（x，x）=0，则对于所有y 2 X，lim nf 1r（xn，y）= r（x，y）。证据 令li mnf1r（xn，x） =r（x，x）=0，即，对于每个e> 0，存在n02N，使得rxn;xeforalln>n0：现在（r3）我们有r（xn，y）6r（xn，x）+r（x，y），r（x，y）6r（x，xn）+r（xn，y），即，rxn;y-rx;y6rxn;x和rx;y- rxn;y6rx;xn：因此，<$r（xn，y）r（x，y）<$6r（xn，x），因此<$r（xn，y）r（x，y）<对所有n>n0成立，结果如下。H与[22]类似，我们有以下定义。定义4. 让F：R！R是一个映射，满足：(F1)F是严格递增的，也就是说，对于a;b2R∈ R，使得ab蕴涵F（a）F（b）;（F2）对于每个正数序列 {an}，limnfi1an=0当且仅当limnfi1F（an） =-1;（F3）存在k2（0，1）使得lima！我的天啊我的天啊对于函数F的例子，我们参考[22]。我们用F表示满足性质（F1）-（F3）的所有函数的集合Wardowski在[22]中定义了F-收缩如下。第五章.设（X，q）是度量空间.一个映射T：Xfix称为F-压缩，如果存在F2 F且s>0，使得对于所有x，y2X，q（Tx，Ty）>0，我们有sFqTx;Ty6Fqx;y：第六章.设（X，r，）是半序度量空间，f，g：Xfix是映射.设s>0，F是这样的：rfx;fy>0）sFrfx;fy6Fmaxfrgx;gy;rgx;fx;rgy;fyg186S.K. Malhotra等22v2vf2g=22对所有的x，y，2，X，且gx=gy。则称映射f为有序F-g当g=IX时，F-g-弱压缩约化为有序F -弱压缩.显然，序F-g-定义7[23]。 设f和g是非空集合X的自映射，C（f，g）= {x X：fx=gx}.对（f，g）称为弱相容的如果fgx=gfx为所有XC（f，g）。如果对于X中的某个x，w=fx=gx，则x称为f和g的重合点，w称为f和g的重合点。下面的引理将有助于证明我们的主要结果。引理4. 设（X，r，）是半序度量空间，f，g：Xfix是映射，使得f是序F-g-弱压缩. 如果v2X是f和g的重合点，则r（v，v）= 0.证 据 设 v2X 是 f 与 g 的 重 合 点 ， 则 存 在 uX 使 得fu=gu=v.如果r（v，v）>0，则从（1）可以得出：s F rv; v s F rfu;fu6F最大值frgu;gu;rgu;fu;rgu;fug6F最大值frv;v;rv;v;rv;vg四分之一F rv;v：这是一矛盾因此，我们认为，我们必须有r（v，v）= 0. H2. 主要结果下面的定理是一个有序的不动点结果偏序度量类空间中的f-g定理5. 设（X，r，）是一个偏序度量空间，f，g：Xfix是映射使得f（X）cg（X）和g（X）是r-完备的.假设以下等式成立：(i) 如果x，y2X使得gx=fx=gy，则fx=fy;(ii) 存在x02 X使得gx0= fx0;(iii) 存在F2 F和s>0，使得对于所有x，y2X满足gx=gy，我们有rfx;fy>0）sFrfx;fy6Fmaxfrgx;gy;rgx;fx;rgy;fygx2(iv) 如果{xn}是在（X，r）中收敛于x X序列，且xn：nN是良序的，则对足够大的n，x n x。假设F是连续的，则对（f，g）有一个重合点v X且r（v，v）=0。此外，如果对（f，g）的重合点的集合是g-良好有序的，则对（f，g）具有唯一的重合点此外，如果对（f，g）是弱相容的，则存在对（f，g）的唯一公共不动点。半序度量空间中不具单调性的不动点结果87P2IN2ð Þ ¼=-你好！12KKKK2···==2证据 开始 与 给定 x02X和 利用了因为，k（0，1），所以级数11收敛，1/4i=kf（X）cg（X）我们定义一个序列{yn}= {gxn}，ynfxn-1 对于所有n2N：由于gx0=fx0=gx1且（i）成立，我们有fx0=fx1，即，gx1=fx1=gx2所以fx1=fx2。重复这个过程，我们得到gxngxn+1，即，yn yn+1for allnN.我们将证明对（f，g）有一个重合点。通过上述不等式，我们有limryn;ym0：n; m！1因此序列{yn}={gxn}是g（X）中的r-柯西序列. 利用g（X）的r -完备性，存在u，v X使得v=gu，limry;v limrgx;gu limry;yrv;v 0：如 果 r （ yn ， yn+1 ） =0 ， 则 yn=yn+1 ， 即 ，gxn=fxn-1=gxn+1=fxn所以xn是重合点gxn=fxn是（f，g）对的重合点n你好！1n你好！1nMn; m！1ð9Þ设对所有n2N，r（yn，yn+1）>0.由于，对于所有n2N，gxn=gxn+1，我们从（2）得到，sFryn;yn1sFrfxn-1;fxn6Fmaxfrgxn-1;gxn;rgxn-1;fxn-1;rgxn;fxng1/4F最大值fryn-1;yn;ryn-1;yn;ryn;yn1¼F最大值fryn-1;yn;ryn;yn1量程：13量程如果存在n2N使得max{r（yn-1，yn），r（yn，yn+1）}=r（yn，yn+1），则从（3）可以得出，sFryn;yn1Fryn;yn1Fry nass>0：如，F2 F，由（F1），我们有r（yn，yn+1）r（yn，yn+1）。这是一个矛盾。因此，我们必须有max{r（yn-1，yn），r（yn，yn+1）}=r（yn-1，yn），然后，我们得到我们将证明v是f和g的重合点。如果r（fu，v）=0则fu=v=gu且v是f和g的重合点。 假设r（ fu， v）> 0， 则不失一般 性，我 们可以假设存 在n12N，使得对于所有n > n 1，r（fxn，fu）>0。根据假设（ iv） ， 存 在 n22N 使 得 y n v， 即 gx n gu ， 对 于 所 有n>n2，因此使用（2），我们得到sFryn1;fusFrfxn;fu6Fmaxfrgxn;gu;rgxn;fxn;rgu;fu g1/4Fmaxfryn;gu;ryn;yn1;rv;fug;对于所有n>n2。当r（fu，v）>0时，根据（9），存在n32N，maxfryn;gu;ryn;yn1;rv;fug<$rv;fuforalln>n3：从（3），Fryn;yn16Fryn-1;yn-s：4重复这个过程，我们得到因此，对于所有n>max{n1，n2，n3}，我们有sFryn1;fur6Frv;fu：利用F，（9）的连续性和引理3，我们从上面Fr y; y2006年6月;年-年6月;年电子-2s不平等nn1n-1nn-2n-1f;f;f6Fr v;fu6··· 6Fry0;y1-ns：5设n∈1 为上述不等式，我们得到limn∈1F（r（yn，yn+1））=-1，当F2F时，由（F2），我们有limryn;yn10：6再次，通过（F3），存在k2（0，1），使得时间0：07þð ðÞÞð ð联系人：这是一个矛盾。因此，我们必须使r（fu，v）= 0，即，fu=gu=v. 因此，v是f和g的重合点。假设，f和g的重合点的集合，即，C（f，g）是g-良序的，v0是f和g的另一个重合点，则存在u0X使得fu0=gu0=v0。 通过引理4，我们有r（v0，v0）=0，同样当C（f，g）是g-良序时，我们有gu=gu0。因此，如果r（v，v0）>0，则从（2）可以得出：你好！1nn1nn1从（5），我们得到半个月;y6-氨基-1，3-二氢-2，4-二氢-2，6-二氢-2，8-二氢-2[001pdf1st-31files]sFrv;v0sFrfu;fu06Fmaxfrgu;gu0;rgu;fu;rgu0;fu0gn60：n1nn= 101nn16Fmaxfrv;v0;rv;v;rv0;v0gFrv;v0当s>0时，利用上述不等式中的（6）和（7），我们有这是一个矛盾。 因此，我们必须使r（v，v0）=0，即，v=v0. 因此，巧合是独一无二的。limnn½ry;y[001pdf1st-31files]此外，如果对（f，g）是弱相容的，则有你好！1nn1因此存在n0所有n>n0，即，12N使得n[r（yn，yn+1个88S.K. Malhotra等nMnn1n1n=2M-1M）]k1，<存在wX使得fu= fgu == w。所以w是另一个对（f，g）的重合点并且通过唯一性w=v，即，fv=gv=v。因此，对（f，g）有一个唯一的公共固定点v和r（v，v）= 0。Hryn;yn1n1=k 对于所有n>n0：108对于m;n2N，其中m>n，从（8）可以得出：ry;y6ry;yry;y···ry;y61 23456X11：1=k1=k在上述不等式中取g=IX，我们得到了序度量空间中F-弱压缩的不动点结果推论6.设（X，r，v）是一个偏序r-完备空间n1=k简体中文1000吨联系我们 i1=k类度量空间，设f：Xfix是一个映射，以下保持：半序度量空间中不具单调性的不动点结果8922vf2g=2=22f2g=222.！¼[2]2=0的整数;ifx 1;33101030105你好。我知道了。 Σ¼(i) 如果x，y2X使得x=fx，则fx=ffx;(ii) 存在x02X使得x0=fx0;(iii) 存在F2 F和s>0，使得对于所有x，y2X满足x=y，我们有rfx;fy>0）sFrfx;fyx（1，2]，因此C（f，g）不是g-良序的，并且重合点不是唯一的。注意，如果d是X上的通常度量，则在点我们有，d fx;fy d f1;f7 7，dgx;gyd.g1;g7±1。 因此，不存在s>0，6Fmaxfrx;y;rx;fx;ry;fyg;10(iv) 如果{xn}是在（X，r）中收敛于x X序列，且xn：n N是良序的，则对足够大的n，x n x。则f有一个不动点v X且r（v，v）=0。此外，f的不动点集是良序的当且仅当f有唯一的不动点。推论7. 设（X，r，）是一个偏序度量空间，f，g：Xfix是映射使得f（X）cg（X）和g（X）是r-完备的.假设以下等式成立：(i) 如果x，y2 X使得gx= fx= gy，则fx= fy;使得对于所有x，y，X，y，x，y，s+F（d（fx，fy））6F（d（gx，gy））。因此，推论7的度量版本不适用。同样地，我们得出结论：不存在k2[0，1）使得对所有x，y2X，x=y，d（fx，fy）6kd（gx，gy），因此[18]的结果不适用。下面的例子表明，度量空间中的序F-弱压缩类比通常的度量空间中的序F-弱压缩类更一般，并且它提供了度量空间中满足推论6的所有条件但不具有单调性的序F实施例6. 设X ={0，1，2，3}，定义r：X × X！ 雷比.2 x;if x ¼ y;(ii) 存在x02 X使得gx0= fx0;(iii) 存在F2 F和s>0，使得对于所有x，y2X sat-rx;ymaxfx;yg;否则：如果gx= gy，我们有rfx;fy>0）sFrfx;fy6Frgx;gy;11(iv) 如果{xn}是在（X，r）中收敛于x X且x n：n N是良序的，则x nx对于足够大的n。假设F是连续的，则对（f，g）有一个重合点v X且r（v，v）=0。此外，如果对（f，g）的重合点的集合是g-良好有序的，则对（f，g）具有唯一的重合点。此外，如果对（f，g）是弱相容的，则存在对（f，g）的唯一公共不动点。下面的例子说明了当推论7的通常度量版本以及[18]的主要结果不适用而我们的推论7适用时的情况。实施例5. 设X =[0，2]，定义r：X × X！ 雷比8>0;如果x^y^2;¼则（X，r）是r-完备度量类空间。 定义X上的偏序关系''v ''和f，g：X fix，v <$f10;00;01;02;03;04; 05; 06; 07;08;09; 0F012第三章：001 2现在，很容易验证条件（10）满足s 0; log 3和F（a）= log a。Corol-lary 6的所有其他条件都满足，0是f的唯一不动点。另一方面，如果d是X上的通常度量，则在点（x，y）=（1，2）处，我们有d（f 1，f 2）=1和d（x，y）= d（1，2）= 1，d（x，fx）=d（1，f1）=1，d（y，fy）=d（2，f2）=1，因此不存在s>0和F2F使得sFdfx;fy6Fmaxfdx;y;dx;fx;dy;fyg：因此，f在通常的度量空间（X，d）中不是F注意f相对于v既不是单调递增的也不是单调递减的rx;y2x;ifx y;>：maxfx;yg;否则：定义8. 设（X，r，v）是一个偏序度量类空间，f：Xfix是一个映射，s>0且F2F使得则（X，r）是r-完备度量类空间。部分定义X上的序关系v <$fx;y：x;y2½0;1]，其中xPyg [fx;y：x;y2<$1;2]，x6yg;rx;y>0）Frfx;fyPFrx;ys 12对所有x，yX，其中x，y，则称f为序F-扩张映射.在下一个定理中，我们证明了r-完备度量空间中F联系我们8>x;ifx2½0;1;>：2;ifx2<$1;2]：和公司简介2x;ifx2½0;1];2;ifx2<$1;2]：定理8. 设（X，r，v）是一个偏序度量空间，f，g：Xfix是映射使得f（X）sg（X）和g（X）是r-完备的.假设以下等式成立：然后，集合C（f，g）不是g-良序的，并且所有其他条件都是g-良序的。推论7的条件满足s2（0，log2]，F（a）=loga，0，2是两个重合点，也是两个公共固定点的对（f、g）。注意的C（f，g）={0}<$（1，2]和（g0，gx），（gx，g0）Rv对所有(I) 如果x，y2X使得fx=gx=fy，则gx=gy;(II) 存在x02 X使得fx0= gx0;(III) 存在F2 F和s>0，使得对于所有x，y2X满足gx=gy，我们有.90S.K. Malhotra等f2g=222==2=8><>：2S. ;ifx2½0;1;. ;ifx2½0;1;.Σ=-vvf2g=2rgx;gy>0）Frfx;fyPFrgx;gys;13(IV) 如果{xn}是在（X，r）中收敛于x X的序列，且xn：nN是良序的，则x n x充分地 大的;假设F是连续的，则对（f，g）有一个重合点v X且r（v，v）=0。此外，如果对（f，g）的重合点的集合是g-良好有序的，则对（f，g）具有唯一的重合点此外，如果对（f，g）是弱相容的，则存在对（f，g）的唯一公共不动点。证据 开始 与 给定 x02X和 利用了f（X）sg（X）我们定义一个序列{yn}= {fxn}，yn-1/4gxn-1/4fxn对于所有n2N：由 于fx0=gx0=fx1 且 （I） 成 立， 我 们 有gx0=gx1 ， 即 ，fx1=gx1=fx2所以gx1=gx2。重复这个过程，我们得到gxn-1gxn，即对所有nN，yn-1yn。我们将证明对（f，g）有一个重合点如果对任意n ， r （ yn ， yn+1 ） =0 ， 则yn=yn+1所 以gxn=fxn+1=gxn+1=fxn+2所以xn+1是重合点，gxn+1是（f，g）对的重合点。假设，对于所有n，r（yn，yn+1）>0，则对于所有n2N，gxn-1=gxn，由（13）得出：ryn-1;ynrfxn;fxn1PFrgxn;gxn1s¼Fðrðyn;ynþ1ÞÞþs;也就是说，Fr y; yr6r y; y-s：这是一个矛盾。因此，我们必须使r（v，gu）=0，即，gu=fu=v. 因此，v是对（f，g）的重合点假设，f和g的重合点的集合，即，C（f，g）是g-良序的，并 且 v0 是 f 和 g 的 另 一 个 重 合 点 ，即 ， 存 在 u0X使得fu0=gu0=v0。通过与引理4中使用的类似过程，可以容易地证明r（v0，v0）=0，并且当C（f，g）是g-良序时，我们有gug u0. 如果r（v，v0）>0，则从（13）可以得出：Frv;v0rv;fu0pFrgu;gu0sFrv;v0s;即，F（r（v，v0））+s6F（r（v，v0）），矛盾. 因此，我们必须使r（v，v0）=0，即， v=v0. 因此，（f，g）对的重合点是唯一的。此 外 ， 如 果 对 （ f ， g ） 是 弱 相 容 的 ， 则fv=fgu=gfu=gv=w（比方说）。因此，w是对（f，g）的另一个重合点，并且通过唯一性w=v，即，fv=gv=v。因此，对（f，g）有唯一的公共不动点v且r（v，v）= 0。H下面是一个简单的例子来说明上面的结果。实施例7. 设X =[0，1]，定义r：X × X！ R乘以0;如果x^y^1;r=x;y=2x;ifxy;maxfx;yg;否则：则（X，r）是r-完备度量类空间。在X和f，g：X上定义一个偏序关系'' v ''，nn1n-1ny2[0，1），其中xPy}[{（1，1）}，由于g（X）是r-完备的，且f（X）g（X）遵循定理5中的类似过程，我们得到存在u，vX使得v=fu，联系我们X31个;ifx 1;和公司简介X71个;如果x1：limryn;v limrfxn;fu limryn;ymrv;v 0：然后，集合C（f，g）不是g-良序的，并且所有其他条件都是g-良序的。tions 的 定理 8 是 满意 其中s20; log7和你好！1你好！1n;m！1ð14Þ3F（a）=loga和0，1是两个重合点，对（f，g）的公共不动点注意C（f，g）={0，1}我们将证明v是f和g的重合点。如果r（gu，v）= 0则fu = v = gu且v是f和g的重合点。 假设r（gu，v）> 0，则不失一般性，我们可以假设存在n02 N，使得对于所有n > n 0，r（yn，gu）> 0。根据假设（IV），存在n12N使得yn v，即 gx ngu，对于所有n> n1，因此使用（13），我们得到Fr yn-1; fuFr fxn; fuPFr gxn; gurs[咒语]也就是说，Fryn;gurs6Fryn-1;fusfor alln> maxfn0;n1g：根据（14）和引理3，对于e=r（gu，v）>0，存在n22N，使得r（yn-1，fu）e=r（gu，v），对于所有n>n2。因此，对于所有n>max{n0，n1，n2}，我们有F rn; gunsFr gu; vn：<利用F，（14）的连续性和引理3，我们从上述不等式得到：Fr v; gursFr gu; v：<和（g0，g1），（g1，g0）R，因此C（f，g）不是g-良序的，重合点不是唯一的.对g = IX，得到了度量空间中F -扩张映射的不动点定理.推论9。设（X，r，）是一个r-完备的偏序度量空间，f：X fix是一个满射。假设以下等式成立：(I) 如果x，y2X使得fx= fy，则x= y;(II) 存在x02 X使得fx0= x0;(III) 存在F2 F和s>0，使得对于所有x，y2X满足x=y，我们有rx;y>0）Frfx;fyPFrx;ys;(IV) 如果{xn}是X中收敛于x X的序列，且xn：n N是良序的，则x n x充分地 大的;假设F是连续的，则映射f有一个不动点v2 X，且r（v，v）=0。此外，一组固定点的半序度量空间中不具单调性的不动点结果91映射f是良序的当且仅当映射f有唯一的不动点。确认作者非常感谢审稿人有用的重新标记和有趣的评论。引用[1] A.C.M. 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