222-埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，272原创文章Mizoguchi-Takahashi型公共不动点定理Muhammad Usman Ali数学系，自然科学学院，国立科技大学，H-12伊斯兰堡，巴基斯坦接收日期：2013年3月29日;修订日期：2013年7月2日;接受日期：2013年2013年10月12日在线提供最近Kamran推广了Mizoguchi和Takahashi关于闭集值映象的结果，并证明了一个不动点定理。本文进一步推广了Kamran的结果，并利用下半连续的概念证明了一个公共不动点定理.2000年数学次级分类：54H25？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍设（X，d）是度量空间. 对于每个xX和AcX，d（x，A）={d（x，y）：yA}。我们用K（X）表示X的所有非空紧子集的类，用CB（X）表示X的所有非空闭有界子集的类，用CL（X）表示X的所有非空闭子集的类. 对任意A，B ~ 2 CL（X），设（max xfsupdx;B;supdy;Ag;i如果存在最大值;A. A; B. B.C.x2Ay2B是 f ： Xfix 和 T ： XfiCL （ X ） 的 公 共 不 动 点 ， 如 果x=fx2Tx。设T：XfCL（X），则f：XfX称为在x 2 X处T-弱交换[1]，如果ffx2Tfx。如果对x02X，存在X中的序列{xn}使得xn Tx n1，则O（T，x0）={x0，x1，x2，. . }是T的轨道：X ∈ CL（X）。如果对x02X和f：XfX存在fX中的序列{fx n}使得fx n2Tx n-1，则O f（x0）={fx1，fx2，fx3，. }被称为T的f-轨道：XfiCL（X）。一个映射g：X！R表示，在n处是下半连续的，如果对每个序列{xn}1;否则：这样的映射称为d诱导的广义Hausdorff度量。一个点x2X被称为T的一个固定点：XfiCL（X），如果x2Tx。点x2X被称为f：Xfix和T：Xficl（X）的重合点，如果fx2Tx。一个点x2x表示电子邮件地址：muh_usman_ali@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier在X中，使得xnfinn，蕴涵g（n）6limin fn！1g（xn）。如果{xn}是一个时间复杂度为O（T，x0）的序列，并且x nfinn蕴涵g（n）6limin fn！1ngn（xn），则称g是T-轨道下半连续的[2].Nadler[3]将Banach压缩原理推广到多值映射，如下所示：定理1.1[3]. 设（X，d）是完备度量空间，T是从X到CB（X）的映射，使得H<$T x;T y<$6rd<$x;y<$;对于所有x;y2X;其中r2[0，1）. T有一个固定的点。1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.08.004关键词不动点;重合点;公共不动点;弱交换映射;下半连续映射;T-轨道下半连续映射12n-1nnnpdfxn;fxn16an-N-1与我们的假设相矛盾由公式2.6，我们得到Mizoguchi–Takahashi’s type common fixedReich[4]以如下方式推广了上述结果定理1.2[4]. 设（X，d）是完备度量空间，T：X∈K（X）是满足H<$Tx;Ty<$6a<$d<$x;y<$d<$x ;y<$;对于每个x;y2X;其中a是（0，1）到[0，1）的函数，使得lim supar 1;for eacht20;1：1：11，存在元素b2B使得0和a（0，1），使得ab c d ed eded 对于t20;s：2：8设N为，df xn-1;fxn：1222-1nr！阿勒特ð Þ¼.[fg]8>fg¼因此，根据T的闭性，我们有fn2Tn。相反，如果n22是f与T的重合点，则g（n）=06liminfg（xn）.由于f在n处是T-弱交换的，则ffn2Tfn。另外我们31224如果6n=2n13n>274M.U. 阿里设（2.12）中有n=1，我们有limdfxn;Txn时间：0：02：13和联系我们1n1如果 x1/4：n2N设g（x）=d（fx，Tx）在n处下半连续，则dfn;Tngn6liminfgx liminfdfx;Tx你好！1n你好！1nn0如果x¼0：定义a：[0，1）fi[0，1），41¼0：8>5如果06t656< 3如果1<测试61如果1测试6<16假设ffn=fn。因此fn=ffn2Tfn。H推论2.3[10]。设（X，d）是完备度量空间，T：X∈CL（X）是满足dy;Ty6adx;ydx;y;foreachx2X和y2Tx;其中a是[0，1）到[0，1）的函数，使得limsupa≠<1;对于每个t2½0;1，然后，(i) 对每个x02X，存在T和n2X的轨道{xn}使得limnxn=n;(ii) n是T的不动点当且仅当函数f（x）：1/4d（x，Tx）在n处T-轨道下半连续。证据这个推论是由定理2.2通过考虑f=I得出的。H实施例2.4. 设X =（，0]具有通常的度量D. 定义f：Xfix和T：Xficl（X），fx¼x=2对于每个x2X;12：14和Tx¼-1;x= 4]对于每个x2X：2：15对于每个x2X和fy2Tx=（-1，x/4]，则我们有日期：2016年12月20日星期一星期六通过对所有的t P 0取一个t1，我们看到定理2.2的所有条件都满足。那么存在x X使得fx Tx，也就是0。此外，ff0=f 0且f在0处是T-弱可换的.因此，f和T有一个共同的固定点。实施例2.5. 设X1：nN0赋予通常的度量d。定义T：Xfixl（X）和f：Xfixx，0，如果x 0>n1;1o如果x1：16n66可以检查对于每个x2X和fy2Tx，我们有dfy;Ty6adfx;fydfx;fy满足定理2.2的所有条件。则存在x X使得fx Tx。此外，ff0 =f 0且f在0处T-弱交换。因此，f和T有一个共同的固定点。确认作者感谢推荐人的建议和谨慎的阅读。引用[1] T.Kamran ， Coincidenceandfixedpointsforhybridstrictcontractions ， J. Math. Anal. Appl. 299 （ 2004 ） 235-241。[2] 朗 格 希 克 斯 ， B.E. Rhoades ， Banach 型 不 动 点 定 理 ，Math.Japon。24（1979）327-330。[3] S.B.小纳德勒多值压缩映射，Paci fic J. 30（1969）475[4] S. Reich，不动点的压缩函数，波尔。UnioneMat.意大利4（5）（1972）26-42.[5] N. Mizoguchi，W.张文，张文辉. Anal. Appl.141（1989）177-188.[6] P.Z.的缩写Daffer，H.张玉明，广义压缩多值映射的不动点，数学学报，2001。192（1995）655- 666中所述。[7] T.H.张，多值映射的公共不动点定理，数学。41（1995）311-320。[8] A.A. Eldred，J. Anuradha，P. Veeramani，关于广义多值压缩 和 Nadler 不 动 点 定 理 的 等 价 性 数 学 Anal. Appl.（2007），http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.01.087。[9] T.Suzuki，（2007），dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.08.022。[10] T. Kamran，Mizoguchi-Takahashi型不动点定理，Comput。57（2009）507-511。>：n1;0oifx1/4：n>6;.2一个不起眼的孩子45624Tx¼n1n
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