可在www.sciencedirect.com上在线ScienceDirect电气系统与信息技术学报5（2018）442非线性动态系统APSO整定线性和非线性PID控制器的性能研究苏达尚湾马杜苏丹？辛格？沃苏鲁德里科技大学电气工程系，Bawana Road，Delhi 110042，India接收日期：2016年9月24日;接收日期：2017年11月15日;接受日期：2018年2月4日在线提供2018年摘要针对非线性动力学系统（NLDS）的轨迹控制问题，研究了自适应粒子群优化（APSO）算法在线性PID（L-PID）和非线性PID（NL-PID）控制器中寻找最优增益参数（Kp，Ki，Kd）的性能采用L-PID和NL-PID控制器对NLDS进行了数学建模、稳定性和性能分析结果表明，基于APSO的NL-PID控制器参数整定方法在搜索域、早熟收敛和计算效率等方面均优于仿真分析的各种变量的控制器和系统的响应，如误差，成本函数，和响应的NLDS和他们的比较APSO调整L-PID控制器。© 2018 电 子 研 究 所 （ ERI ） 。 Elsevier B. V. 制 作 和 托 管 这 是 CC BY-NC-ND 许 可 证 下 的 开 放 获 取 文 章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。关键词：线性PID;非线性PID; PID整定;群智能;非线性动态系统1. 介绍在现实世界中，大多数的物理系统是非线性的和动态的，并可能表现出不可预测的行为，由于随机的外部影响。与线性系统相比，这些系统的分析通常是复杂的。如果用线性化技术来研究和设计这些非线性系统，可能会忽视它们性能的本质特征一个非线性系统对于一种输入是稳定的，而对于另一种输入可能表现出不稳定性。没有通用的技术来解决非线性系统。虽然非线性动态系统可以在一定程度上线性化，但不连续性不允许线性近似，特别是对于硬非线性，如库仑摩擦，死区，设备饱和，反冲，滞后和*通讯作者。电子邮件地址：sudarshan valluru@dce.ac.in（S.K. Vandoru），madhusudan@dce.ac.in（M.Singh）。电子研究所（ERI）负责同行评审。https://doi.org/10.1016/j.jesit.2018.02.0012314-7172/© 2018电子研究所（ERI）。Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。S.K. 沃苏湾Singh/电气系统和信息技术杂志5（2018）442443时间延迟（Vidyasagar，1993; Sastry，1999）。因此，非线性分析技术的发展是必不可少的，以预测动态系统的性能，并改变动态系统的不可预测的行为，以满足所需的性能水平所需的控制器。自1942年Ziegler和Nichols提出经验整定规则PID控制的主要优点是结构简单，意义明确，鲁棒性好，易于实现。此外，PID控制器的原理比其他先进控制器更容易理解（Astrom和Hagglund，2001）。针对具有单调瞬态响应的系统的PID和PI控制提出了许多整定方法（Daley和Liu，1999; Dey和Mudi，2009; Huang等人，2001; Padula和Visioli，2012; Piazzi和Visioli，2006）。近年来，基于人工智能的Meta算法如遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等得到了广泛的应用。已经提出了估计的PID控制器的优化调整增益然而，粒子群优化算法在收敛速度、鲁棒性和成本函数方面优于其他Meta算法。在非线性动态系统的控制中，不可避免地会遇到不确定性，过程动态的变化会导致模型参数的不稳定，从而使PID控制器的性能变因此，需要定期重新调整控制器。在这种情况下，控制器仍然缺乏优化的整定规则。这一直是一些新的调整技术的灵感，旨在计算PID增益根据所获得的模型，从而减少了经典的调整技术的优化。本文提出了一种基于群体智能原理的参数鲁棒整定算法，并推导出受鸟群和鱼群的社会行为启发的粒子群优化算法与局部和全局搜索相结合（Banks等人，2008年，2007年）。PSO算法是一种这样的直接搜索优化技术，并且不需要梯度信息，因此可以操作以最小化自然定义的成本函数，而无需复杂的数学运算。 为了增强PSO的性能能力，不同的变体如自适应PSO（APSO）（Zhan等人，2009年;Hu等人，2013;Chen等人，2015）、规范PSO（CPSO）（Tsujimoto等人，2011;Jin 'no等人， 2014），以及完全知情的PSO（FPSO）（Mendes等人， 2004年提出的新算法，以加快收敛速度，避免陷入局部最优解。Akihiro等人（2008）提出了一种简单的PID控制线性对象的PSO算法，并在PID整定工具上获得了系统辨识针对一类非线性PID控制系统，Chang和Shih（2010）提出了一种改进的PSO算法。Panda等人（2012）使用简化的PSO算法确定自动电压调节器的线性PID控制器参数。Jaafar等人（2012）针对非线性龙门起重机系统开发了一种改进的PSO算法调整的线性PID控制器。一项比较研究已经由Vagrusu等。（2015）针对非整定的线性PID，NARMA L-2和标准PSO整定的线性PID控制器，并分析了对非线性动态系统的影响不同于现有文献，本文的工作分析了一个非线性动态系统的自适应粒子群算法调整的线性和非线性PID控制器。本文的主要目的是研究和比较的性能的非线性动态系统使用自适应粒子群算法来寻找增益的L-PID，NL-PID控制器。第二部分分析了参考非线性动力系统的建模和稳定性。第3节讨论了自适应粒子群算法整定L-PID和NL-PID控制器，以找到最佳的Kp，Ki，Kd增益。第4节介绍了非线性动态系统的线性和非线性PID控制器的设计，然后对L-PID和NL-PID控制器在参考非线性动态系统中的性能进行了比较研究第5节提出结论。2. 系统建模与稳定性分析非线性动力系统（NLDS）是用状态方程、微分方程或差分方程来表示的。本文中考虑的参考非线性动力系统（Kajan，2008）由方程表示其中y（t）是输出，u（t）是系统的输入。该系统是一个非线性、非齐次的系统，它不产生一个能模拟精确解的有界解。如果已知因变量的某个初始解，则只能确定该解，否则，如果计算平衡点，并且在零输入的情况下执行系统的相平面分析，则u（t）以图形方式分析系统行为。d2y dy3dt2+ 0。7 dt+0. 2 y+0。3y=u（t）（1）444S.K. 沃苏湾Singh/电气系统和信息技术杂志5（2018）4421== −−11号线ΣΣ⎣⎦1111其中Q<$=−（AT P+P<$A）P和Q是对称正定矩阵，A是系统的雅可比矩阵→∞→∞F11号2号线X2-0。2比0。九乘二-0。712111 211NLDS无法求出解析解，而系统方程可以用经典的四阶龙格-库塔法进行数值求解，无需计算高阶导数即可当量（1）改写为y+0. 7y+0. 2y+0。3y3−u（t）=0（2）假设初始条件为y（0）=0.1，y_（0）=1，u（t）=t，则y（0.2）用龙格库塔法确定，精确到小数点后四位，可解为y=0.2872和y_（0）=0.8773。在状态空间表示中，可以通过两个状态变量y和ystec来描述特定状态，使得xstec 1x2和xtec20的情况。7×20的情况。2x10的情况。3x3u（t）。通过广义Krasovskii定理（Slotine和Li，1991），假设连续控制律u=ky，对NLDS进行了Lyapunov稳定性分析。因此，当k= 1时的系统条件被确定并被重写为等式2。（3）及（4）xstec1=f1（x）=x2（3）xstec 2=f2（x）=−0. 7x2-0。2 x1-0。3x3（四）让我们选择一个正的李雅普诺夫函数V（x），如V（x）= x T Px，其中P是一个正定实对称矩阵。由于Lyapun ov函数V（x）是定的，因此对于渐近稳定性，Vstec（x）是非定的.Vstec=xT（ATP+PA）x（5）Vstec（x）=−xTQx（6）1996年1月1日1110 11这里A=也P=A =0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000- 0。2比0。9x2英寸Q= −-0。2比0。9 x2−1。4（八）利用Sylvesterdet |Q| = −（0. 2 + 0。九乘二）二（九）因为Q是n次gative定的，那么Vtec必须是n次gativeVstec（x）=−0。33x2-0。42x2-0 58x4−0 06 x6+1。10x1x2+1。26 x2x2+1。54x3x2+0。54x5x2（10）若P和Q是n阶对称半定矩阵，使得n× x=/0，则矩阵是n阶半定矩阵在原点的某个邻近区域 如果该区域是整个状态空间，并且如果另外V作为||X||01S.K. 沃苏湾Singh/电气系统和信息技术杂志5（2018）442445−则非线性动力系统在平衡点（0.816，0）和（0.816，0）处渐近稳定。虽然它的线性近似仅是边缘稳定的，因此在没有控制信号u（t）的情况下，NLDS是不可控的。NLDS的瞬态和稳态响应如图所示。 1表示系统阻尼不足。将实际响应与代表受控变量的实际期望响应的参考轨迹进行比较该方法不仅显示了欠阻尼系统的跟踪性能，而且还发现了与期望参数不相同的自适应参数值，跟踪是通过控制器的时间渐进整定来实现的3. 自适应粒子群算法在L-PID和NL-PID控制器参数整定中的应用粒子群优化算法是一种基于种群的超启发式算法，它的动机是动物和昆虫的社会行为和群体智能，如自然界中的鱼群、鸟类和动物放牧调查446S.K. 沃苏湾Singh/电气系统和信息技术杂志5（2018）442我我我（一）分别。每个质点的速度和位置都是随机向量，我我1我我2我我我我Fig. 1. 非线性动力系统响应从一些初始猜测开始的搜索空间的搜索是由多个被称为粒子的代理实现的，并且人口被称为群。 APSO算法（Christian Blum，2008; Zhan等人， 2009）初始化为搜索空间中的一组任意粒子，然后通过更新世代开始搜索最优解。在每次迭代中，搜索空间中的粒子通过使用两个最佳值来调整它们的位置。第一个最佳值来自它迄今为止所达到的最大适应度（自我经验），它被存储为pBest，而其他最佳值则由任何粒子跟踪在人口中（社会经验），这被称为邻里最佳或nBest。当算法找到这两个最佳值时，它更新其速度和位置。群大小包括N个粒子，其中每个粒子i∈1，2，. . . ，N具有具有速度和位置向量的D维解空间，例如Vi =[v1，v2，. . 、.中， v D]和X=[x1，x2，. . 、.中， X D我我我分别为粒子“i”的维度d的当前更新的解空间（Zhan等人，2009年）。新的速度和位置矢量由（11）和（12）vd=ωvd+c1randd（pBestd−xd）+c2randd（nBestd−xd）（11）xd=xd+vd（十二）这里ω是惯性加权因子，1 2在0和1之间生成的分布式随机数惯性权重随着迭代世代逐渐下降Gω=ωmax−（ωmax−ωmin）G（13）其中g和G分别是世代索引和预定义的最大世代数。由方程式（11）pBesti是第i个粒子的最佳适应度位置，nBest是邻域最佳位置。这里gBest用于全局PSO，lBest用于局部PSO而不是nBest。为了研究收敛速度和避免局部最优，惯性权重已被收缩系数取代，并且（11）中的速度更新可以修改为（14）和（15）。vd=χ[vd+c1randd（pBestd−xd）+c2randd（nBestd−xd）]（十四）我我. 2012年10月2日（1我2）（i2i）2 4（）。（十五）. −c1+c2−c1+c2−c1+c2。用于搜索L-PID和NL-PID控制器的最佳参数增益的APSO算法的伪代码可以概括如下χ=S.K. 沃苏湾Singh/电气系统和信息技术杂志5（2018）442447图二.基于NLDS的APSO整定线性PID控制器。i.以L-PID/NL-PID控制器参数范围为目标函数，包含粒子参数J（i），i=（KP，KI，KD）Tii.对于加速度因子c1=c2= 2.0，g= 0，ω= 0.9，将位置Xi和速度Vi的位置初始化为控制器参数KP，KI，KD，每个控制器参数表示实参数空间中的粒子位置向量的维度。估计算法的进化状态，自适应控制参数。通过高斯扰动在收敛状态下进行精英学习操作。iii.对于每个粒子i，通过评估目标函数J（i）来测试适应度iv.设置初始局部最佳lBest和全局最佳gBestv.当没有达到停止标准时，我对每个粒子都这样做生成新的粒子速度和位置i评估新位置的目标函数更新每个粒子端查找当前全球最佳end whilevi.输出优化后的全局最优4. NLDS的APSO整定线性和非线性PID控制器设计非线性动态系统的控制器设计和整定可以采用传统方法或智能传统的PID控制器的调整，通过服从启发式直观的齐格勒-尼科尔斯规则，以获得稳定的控制在附近的工作点。在传统的自动控制系统中，自校正控制器还没有足够先进，以满足动态系统的长期性能的参数变化的影响。在这些情况下，用于开发动态模型的系统识别和智能技术基于一些先进的生物启发的调整算法，以实现整个操作包线的最佳整体性能。目前，粒子群优化的自适应评价设计PID控制器的研究人员之间的自动化的设计和调整过程中的一个有用的程度，4.1. APSO整定线性PID控制器一个一般的APSO调谐线性PID配置与NLDS显示在图。 2，其将所需输出信号馈送到NLDS，实际输出与所需输出信号之间的误差连同控制器比例增益（K p）、积分增益（Ki）和微分增益（Kd）一起产生输出控制信号u（t），如等式2所给出。（十六）及（十七）e（t）=yd（t）−y（t）（16）u（t）=Kpe（t）+Kipe（t）dt+Kdestec（t）（17）448S.K. 沃苏湾Singh/电气系统和信息技术杂志5（2018）442图三. L-PID控制器见图4。 L-PID输出控制信号。其中u（t）是馈送到NLDS的L-PID控制输出，e（t）是误差或设定点，y（t）是NLDS输出，yd（t）是期望输出。L-PID的内部系统结构设计及输出控制信号如图1和图2所示。分别为3和4。PID控制基于线性控制理论，因此当用于实际线性系统时是有效的。然而，当系统具有非线性或系统参数在很大范围内变化时，线性PID的性能会大大恶化发生这种情况是因为提供给系统的参考输入通常不连续或平滑，因为它们受到干扰或噪声信号的影响，而系统的输出由于该控制器直接以连续平滑输出为目标，忽略了系统的惯性影响，在实际应用中会产生不可预料的振荡此外，参考信号通常是不可微分的信号，这使得实现误差的微分信号成为问题常规PID的线性组合会导致超调量与参考值之间的冲突初始时，高的Kp值会增强系统响应。然而，随着误差开始减小，Kp值也必须自动改变，以减少过冲。同样，当误差减小时，并且误差的变化率增大时，Kp必须逐渐减小以减小过冲，并且当误差的变化减小时，Kp必须逐渐减小以避免过冲。然而，由于PID的线性组合，这是不可能的。因此，我们需要控制这样的非线性动态系统的PID控制器的自整定与APSO算法，以满足目标性能函数。目标是优化Kp、Ki和Kd参数以控制NLDS，从而使误差最小化因此，性能目标函数J（θ）可以被认为是等式中给出的积分平方误差。（十八）J（θ）=i[e（θ，i）]2di（18）S.K. 沃苏湾Singh/电气系统和信息技术杂志5（2018）442449图五. (a)APSO算法的收敛性。(b)L-PID控制NLDS的APSO最佳增益演化。(c)采用APSO整定L-PID控制器的NLDS轨迹响应。(d)APSO调谐的L-PID控制的NLDS响应与期望响应之间的绝对误差。(e)最小成本函数，响应和迭代误差。其中θ= [Kp，Ki，Kd]。采用APSO算法对NLDS的L-PID参数进行整定，在对模型参考期望信号进行最优跟踪时，L-PID能传递当前最优值，且收敛速度较快。在群规模（N）为10，问题维数（D）为3，最大迭代次数（i）为10，认知学习因子（c1）为2.0，社会学习加速因子（c2）为2.0，代表当前进化世代数的世代指数（g）初始取为0，惯性权重（ω）为0.9的条件下，分别考虑了群APSO算法在10次迭代过程中对目标函数的收敛性和适应度行为如图5（a）所示。从图5（a）可以理解，PSO算法递归地避免局部最优，并在经过5.98 s的五次迭代后达到最优解APSO算法基于误差信号e（t）估计最佳Kp、Ki和Kd参数，如图5（b）所示，Kp= 56.451405，Ki=61.772470，Kd具有L-PID的NLDS的响应由APSO算法调谐，如图5（c）所示，并且系统响应450S.K. 沃苏湾Singh/电气系统和信息技术杂志5（2018）442e.=∈ −∈⎧⎨|e|αs ign（e）|γ|≥δppp我我 我 我 我D DDDD DT见图6。NLDS与APSO调整NL-PID控制器。如图5（d）所示。最小成本函数，响应，和误差的APSO调整L-PID控制NLDS参考迭代显示在图。 5（e）.4.2. APSO整定非线性PID控制器PID控制器是动态系统控制中最常用的控制器虽然L-PID控制器通常足以控制纯线性操作模式下的动态系统，但对于高性能控制，L-PID控制器的能力和鲁棒性不足。这促使作者提出了一种非线性PID控制器，它的行为更好地与系统的变化。带有NLDS的一般APSO调谐NL-PID配置如图所示。 六、一般的NL-PID控制结构可以由方程表示。（十九）f（e，α，δ）= ⎩δ1−α|γ|<δ（十九）符号（e）1，e≥ 0-1、e0<级其中e是误差信号，δ描述函数f的线性范围，这里函数f可以容纳由α确定的更大范围的非线性特性。因此，现在由NL-PID生成的控制信号（二十）u（t）=Kef（e，α，δ）+Kf（e， α， δ）dt+Kf（e， α， δ）de（二十）函数f（α，δ，e）表示误差反馈的速率，为了补偿所考虑的系统的非线性，αp的值取在αp[0，1]的范围内，因为当误差高时系统需要具有较低的增益，反之亦然。在αi[1，0]的范围内，利用αi可以纠正积分项的积分饱和问题微分项的值选择为αd> 1，使得当达到稳态时，微分项的影响减小。NL-PID的系统结构设计和控制信号如图1和图2所示。分别为7和8。NL-PID控制信号的幅值几乎是L-PID控制信号的一半。在给定期望的模型参考轨迹的情况下，采用相同的APSO算法对NLDS配置的NL-PID进行整定。APSO算法在目标函数上的10次迭代的收敛性和适应度行为如图所示。 9（a）。 从图 9（a）可以观察到，APSO算法定期避免局部最优，并且仅在三次迭代之后达到最优解，所用的时间为22.9秒APSO算法基于误差信号e（t）估计最佳 Kp、Ki、Kd增益参数为如图9（b）所示的Kp= 94.994981、Ki=3.878118、Kd= 38.292221。图9（c）示出了系统响应和期望轨迹响应之间的绝对误差e（t），ppS.K. 沃苏湾Singh/电气系统和信息技术杂志5（2018）442451∞见图7。 NL-PID的结构设计见图8。 NL-PID输出控制信号。表1无控制器、有APSO、整定L-PID和NL-PID控制器的NLDS性能参数控制器Rise time（tr），s Settling time（ts），s Peak over shoot（Mp）% Steady state error（ess）% NLDS without control 1. 75 140 0. 5APSO调谐L-PID 2.17 0.2749 0.0002 0.43APSO调谐NL-PID 2.16 0.0479图 9（d）。APSO整定的NL-PID控制的NLDS的最小代价函数、响应、误差和迭代次数如图所示。 9（e）.4.3. APSO整定线性与非线性PID控制器的比较研究通过对NLDS的仿真研究，比较了所考虑的参考轨迹是NLDS的模型参考由于扰动、未建模动态和参数变化的存在，系统原本是不稳定的。图图5（c）和图9（c）示出了具有APSO调谐的L-PID的系统轨迹跟踪响应，APSO调谐的NL-PID控制器关于各种性能标准（如上升时间、稳定时间、峰值过冲和稳态误差）的系统轨迹跟踪响应已经通过NLDS的动态响应分析来确定，并总结在表1中。5. 结论自适应粒子群优化的L-PID和NL-PID控制器已经成功地开发和测试其性能的建立时间，峰值超调和稳态误差的NLDS。仿真452S.K. 沃苏湾Singh/电气系统和信息技术杂志5（2018）442见图9。(a)APSO算法的收敛性。(b)基于APSO算法的NL-PID控制NLDS的最佳增益演化。(c)APSO整定NL-PID控制器的NLDS响应。(d)APSO调谐的NL-PID控制的NLDS响应与期望响应之间的绝对误差。(e)最小成本函数，响应和误差与迭代有关。结果表明，在广泛变化的操作条件下，与NLDS控制器的功效。与APSO整定的L-PID控制器相比，APSO整定的NL-PID控制器具有调节时间几乎为零的优点，从而使响应更快地稳定而没有任何超调。APSO整定NL-PID控制器的性能研究这些研究还表明，APSO算法的NL-PID控制器的整定策略提供了更好的可搜索性，更快的收敛速度和计算效率。引用Akihiro，O.，Nakazawa，C.，松井，T.，2008. 基于粒子群算法的PID参数整定方法的研究在：IEEE控制，自动化系统国际会议，首尔，韩国，pp。1917-1920年。Astrom，K.J.，Hagglund，T.，2001年PID控制的未来 控制工程师 Pract. 9，1163-1175.S.K. 沃苏湾Singh/电气系统和信息技术杂志5（2018）442453班克斯，A.，文森特，J.，阿尼亚科哈角，2008. 粒子摆动优化综述。第二部分：背景和发展。国家计算机。7，109-124.班克斯，A.，文森特，J.，阿尼亚科哈角，2007年 粒子摆动优化综述。第一部分：背景与发展。Nat. 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