埃及数学学会：非线性偏微分方程的精确解方法及应用

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，214埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章数学物理中几类非线性偏微分方程的解舒克里·加奈尼Damanhour大学理学院数学系，Bahira 22514，埃及接收日期：2015年1月7日;修订日期：2015年2月14日;接受日期：2015年2月17日2015年5月8日在线发布本文将改进的简单方程（MSE）方法应用于一类非线性偏微分方程，即一类非线性偏微分方程组，一类由Jaulent-Miodek族生成的（2 + 1）维非线性模型，以及一类具有两个幂次非线性项的广义KdV方程。结果以简洁的方式得到了所考虑的非线性方程的含参数精确行波解。当这些参数取特殊值时，得到了孤立波解结果表明，所提出的技术提供了一个更强大的数学工具，用于构建数学物理中的各种非线性偏微分方程的精确解。数学学科分类： 35C05; 35L05; 35Q99版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍近年来，一些方法已被用于求解非线性偏微分方程的精确解，如逆散射方法[1，2]，达布变换[3，4]，广田双线性方法[5，6]，Backlund 变换方法[7-9] ，指数函数方法[10-11]，等。[12]、（Gr/G）-展开法[13-（−（））-展开法[21同行评审由埃及数学学会负责方法[24，25]，修正的简单方程法[26然而，到目前为止，还没有找到一个统一的方法，可以用来处理所有类型的非线性偏微分方程为了获得更多不同类型的精确解，这些方法的增强是一个具有挑战性的课题。本文的组织如下：首先介绍了修正简单方程（MSE）方法[26然后将这种方法应用于三个不同的模型方程，其中两个是（2 + 1）维非线性方程组，即非线性偏微分方程组和Jaulent-Miodek族生成的非线性模型最后给出了一些结论S1110-256X（15）00026-7 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.02.005制作和主办：Elsevier关键词改进的简单方程法;行波解;非线性偏微分方程数学物理215=M/==/=/=0xxz.αiW（W）W（W）r（W−W2（W −3W2 + 2 W3.Σ/=/===222. MSE方法考虑形式为以下的一般非线性PDE：P（u，ut，ux，u xx，ut t，u xt，u xxx，. . . ）= 0。（1）其中P在其自变量中是多项式步骤1.求方程的孤立波解。(1) 以−（ω+p2n+nα1q2）<$（n）+（n+nα1c2）<$rr（n）+β1<$3（n）+γ1（）（）=0，（8）（α2d2−β2c2+1）<$ rr（ε）+γ2（<$2（ε））rr=0.（九）对公式（9）进行两次积分，并考虑积分常数等于零，我们发现：v x，y，t）=（）= −γ22（）。（十）（。αd2−βc2+1<$u（ x，t）=U（ z），z=x-ct+t，（2）其中，k是任意常数，并且将（1）变换为非线性常微分方程（ODE），将（10）代入（8），得到rr（Q（U，U r，U rr，U rrr，. . . ）= 0。（三）哪里ω+p2n+nα1q2=−β1。α2d2−β2c2+1<$122+γ1γ2其中，撇号表示相对于λn+nα1 c 二、μ=. n+ nαc2 π。αd2-βc2+1.（十二）步骤2. 我们假设（3）有形式解为将mrrr（mrrr）与mr3（mrrr）进行平衡，得到M1。 因此我们有正式的解决方案，.. Wr（z）ii=0时W（z）.r（、（十三）其中αi，（i 0，1，. . . ，M）为常数，使得αM0.函数W（z）是稍后确定的未知函数，使得其中A0和A1是常数，由A10确定。也必须确定函数W（r），其中Wr（r）0。很容易看出Wr（z）/=0。.WRRW r2（三）、RR.WrrWr WrrWr3步骤4.我们把（4）代入（3），计算所有的必要-序列导数U r，U rr，U rrr，. . . 然后我们考虑函数W（z）。作为这个替换的结果，我们得到一个多项式W−j（z）（j = 0，1，.）。. . ），以及W（z）的导数。将（13）W0： −λA0−μA3=0，（16）使W−j（z）（j= 0，1，.）的所有系数相等。. . ），至-1准R2R零产生一个方程组，可以求解该方程组以获得αi和W（z）。最后，将αi和W（z）及其导数Wr（z）的值代入（4），得到（1）的精确解。3. 应用例1.由[34-36]给出的非线性偏微分方程组是iu t+ n（u xx+ α1u yy）+ β1|u|2 u + γ1uv = 0（5）α2v tt+（v xx−β2v yy）+ γ2|u|2= 0（6）其中n，αi，βi，γi（i1，2）为实常数，n0，β10，γ10，γ20.[36-38]中示出了（5）和（6）的重要情况，即非线性薛定谔方程[36]、Davey-Stewartson（DS）方程[37]和广义Zakharov（GZ）方程[38]。首先，我们将使用变换公式来提取（5）和（6）U（ z）=、（四）步骤3.我们通过平衡最高阶导数和非线性项来确定（4）中的正整数M。，（十四）.（十五）216S. 加奈尼11、、、0女： A1W−λA1W− 3 A0A1μW = 0，（17）W−2：−3A1WrWrr− 3A0A2μWr2= 0，（18）W−3：2A1Wr3−μA3Wr3= 0，（19）从（16）和（19）中，我们可以推断：A0=0，A0= ±λ/μ，A1= ±2/μ（20）从（17）和（18），我们得到Wrrr/Wrr= −41，（21）哪里41=（λ +3 A2μ）/（A0A1μ）。（二十二）积分（21），我们得到Wrr=C1e−41<$，（23）其中C1是积分常数。从（18）和（23），我们得到Wr= −m1e−41（24）哪里u（ x，y，t）=eiθ（），v（ x，y，t）=（），（七）m1= C1/（A0A 1μ）。（二十五）θ=px+qy+εt，θ=x+cy+dt+θ0其中p、q、ε、c、ε0和d是实常数。将（7）代入（5）和（6），我们可以知道d=−2n（ p+α1qc），和，满足方程对（24）式中的积分，我们得到：W（m）=C2+（m1/41）e−41m，（26）其中C2是积分常数。数学物理217=−，=± =±（n+nαc）1++2 1，+−+1 2 2 1，− −++++++2 1−==+1221[2（ωp2nna1q2）]/（nna1c2），得到了系统的精确解.（5）和（6），可以写成xx−x−4400xxxy、×coth（x+cy+dt+0）v x y t1221 2将W和Wr的值代入（13），我们得到（. m1e−41/。C2+m1e−41。（二十七）另一方面，如果我们设置C21，则解（29）和（30）简化为孤立波解如下：、41u2（x， y，t）= ±（α2d2−β2c2+1）（ω+p2n+nα1q2）−β（αd2−βc2+1）+γ γ案例1. 当A0= 0时，解（27）崩溃，因此122001年，2 1 2p2 n n q2案件被驳回。案例2. 当A0<$λ/μ，A12/μ时，其中λ和μ为在（12）中给出，将A0和A1的值代入（27）和简化，我们得到精确解如下：ω++α12×exp[i（ px+qy+εt）]。（三十三）γ（ωp2nα q2）2（，，）=−β（αd2−βc2+1）+γ γx，y t，（α2d2−β2c2+1）（ω+p2n+nα1q2）122212α1，ω+p2n+nα1q2n1（， ）=±−β（αd2−βc2+1）+γ γ×coth22（n + nαc2）（x + cy + dt +dt0）≠ 0.（n n α c2） αd 2 β c21 C1998年， β1（α2d 2β2c21）γ1γ2）（ωp2 nnα1q2）e−41（x +cy+dt+10（三十四）将这些结果与文献[34×C++（n+nα1c2）C1 e−4（x+cy+dt+）。（二十八）22（ω+p2n+nα1q2）实施例2. 生成的（2 + 1）维非线性模型[39]第39话：你是谁由于C1和C2是任意常数，因此，如果我们设置C1=u. u2u33 .第三章。1−1uu−1u（三十五）wherex−1 is将nx的inverse设为nxnx−1=nx−1nx=1，=u（ x， y，t）= ±（α2d2−β2c2+1）（ω+p2n+nα1q2）−β1（α2d2−β2c2+1）+γ1γ2（x−1f）（x）ity。xf（ t） dt，在finn处的衰减条件下，−∞×1000×1000e−41（x+cy+dt+0）.+e−41（x +cy+dt+0）Liu和Yan在[40]中使用定性方法研究了该模型定性分析方法Wazwaz在[39]中导出了该方程的多重扭结解和多重奇异扭结解×exp[i（ px+qy+εt）]，（29）γ（ωp2nα q2）v（ x， y， t）=−β（αd2−βc2+1）+γ γ1 0模型[41]此外，在[41]中，Taha和Noorani获得了用（Gr/G）展开法求出了（35）的现在，我们对该模型进行分析，以提取其精确解为此，我们引入了势u（ x， y， t）=v（ x， y， t），（36）×1000×1000e−4（x+cy+dt+dt）+e−41（x+cy+dt+0）2.（三十）X将（35）转化为因此，精确解（29）和（30）变成了1v +v32-V V3 3+v+vv=0（37）孤波解：xt4 x x x x2xxx16岁4x x yu，（α2d2−β2c2+1）（ω+p2n+nα1q2）1221 21222t= −4YY+、ΣΣ218S. 加奈尼1++2 1122（n+nαc2）（x+cy+dt+θ0）421641221 2×tanh22（n+nαc2）（x+cy+dt+θ0）、假设设v（ x， y， t）v（t），其中c是波速，t是任意常数。把波变量1（x， y，t）= ±−β（αd2−βc2+1）+γ γω1，ω+p2n+nα1q2将x=x+y+ct+x =0代入（37），cvrr+1vrrrr−3（vr）2vrr+3vrr+3vrrvr=0.（三十八）×exp[i（ px+qy+εt）]，（31）γ（ωp2nα q2）v1（x， y， t）=−β（αd2−βc2+1）+γ γ对公式（38）进行积分，并考虑积分常数为零，我们发现：16c vr+ 4vrrr− 8（vr）3+ 3vr+ 6（vr）2= 0（39）2α1，ω+p2n+nα 1q2n=w，（40）当C2=1时。（三十二）16c w+ 4wrr− 8w3+ 3w+ 6w2= 0（41）新丹将（40）代入（39），我们得到数学物理2190/=/=/=100= −−8.m=2C/A−4AA。（52）2110=±=====0140011/=24-8A0+ 3A+6A0= 0，（43）40（）=014与前面的例子一样，我们假设以下解公式：=A + A。Wr（），（42）u（x，y，t）=. 3 + 16 c×××1−cot h.. 3+16c（x+y+ct+）（58）其中A和A是待确定的常数，A0。u（x，y，t）=. 3 + 16 c因此，我们得到以下方程W0：16cA 0302×−1±tan h。. 3+16c（x+y+ct+）（59）W−1：16cA1Wr+ 4A1Wrrr− 24A2A1Wr+3A1Wr+ 12A0A1Wr= 0，（44）11案例2. 当A00，A1 0，Wr0时，则我们从（44）和（42）推导出：. 16c−24A2+ 3+ 12AWr+ 4Wrrr= 0（60）00W−2：−12A1WrWrr− 24A0A2Wr2+ 6A3Wr2= 0，（45）（4A0−A1）A1Wr+ 2Wrr= 0（61）W−3：8A1Wr3− 8A3Wr3= 0（46）从（43）和（46），我们发现，A0=0，8A2− 6A0−（ 16c+ 3）= 0， A1=±1，（47）从（44）和（45），我们得到Wrrr/Wrr= −42，（48）哪里42=. 16c−24A2+3+12A0/。2A3−8A0A2。（四十九）在（47）的帮助下，我们可以将（60）简化为以下形式：（3− 8A0）A0Wr+ 2Wrr= 0。（六十二）根据（61）和（62），我们有Wrrr/Wrr=43（63）其中43（8A2 3A0）/ [A1（A14A0）]。整合（63）和使用（61），我们推断，Wr=m e43（64）0 1 1积分（48），我们得到Wrr=C1e−42<$，（50）其中C1是积分常数。从（45）和（50），我们得到3其中m3=2C1/ [A1（A1−4A0）]，然后W=C2+（m3/43）e43π，（65）其中C1和C2是积分常数。根据（42）、（64）和（65），我们得到了精确解wA1 . 8A0−3e43一4ACe（66）哪里1−0式中A0=3±0.9 + 8（3 + 16 c）。2+43分钟21对（51）式中的积分，我们得到：−如果C21，则解（66）变为以下公式：w3（λ）=A0λ1+.8A0−3。1+tan h.. A0（8A0−3）1W（m）=C2−（m2/42）e42m，（53）其中C2是积分常数。将W和Wr的值代入（42），我们得到2A1− 8A0- 是 的8A0−3。2 A2 −8A0A1.A0（8A0−3）101ΣΣΣ（67）..m2双螺杆泵42w4（）=A01+2A1− 8A01+ coth. 2A2−8A AA整流器（68）案例1. 当A00，A1 0，Wr0时，则（35）的精确解具有下式：w（）W（W）Wr=m2e−42（51）+、w（λ）=A0+A1（m2e−42）/C2−e−42.（五十四）220S. 加奈尼± −8¸0但是w dv/ d，然后vwd，u v/x，我们找到了（35）的精确解，可以写为W. 3 + 16 c。e−42- 是的（55）. 8A−3A（）=2C2−e−42u3（x， y， t）=A0+A00±2 −8A0如果C2= ±1，则精确解（55）被转换为×。1+tan h. A0（8A0−3）（x+y+ct+）（69）0以下公式：（2 8A0）W. 3 + 16c。1科特湖3+ 16c电子邮件（56）（66）1（）=4-±4μ m，.8A-3分钟. 3 + 16c。. 3+ 16c电子邮件u4（x， y， t）=A0+A0w2（ω）=−41 −tanh ±4，（57）2 8A0×。1+cot h. A0（8A0−3）（x+y+ct+）分别但w=dv/d，则v=wd，且u=v/x，我们（28A0）0（七十）求（35）的精确解，其中，A0=3±133 + 128 ℃，如（47）中所给出。数学物理2212222⎤.2= ±22=0.=+/=001= ±nBΣ⎥11+ 2 2⎦11等式（58）、（59）和（69）、（70）是由它不能通过[39因此，从（76）和（80），我们得到A0=0，bn（ n+ 1）A0−an（2n+ 1）A0+cn（2n+ 1）（n+ 1）=0，实施例3. 一类二次幂非A1，2n2+3n+ 1（81）让我们在这里考虑情况A =0，A= ±1，2n2+3n+1，且u+n2n0 1n bt（au−bu） ux+uxxx=0（71）只留下了A0/=0的情况给读者。这个方程描述了非线性长声波的传播。如果不假定振幅很小，则（71）可用作描述非线性波沿特征线传播的弱色散效应的近似模型。因此，从（77），我们推断，2c nWr−Wrrr= 0（82）该方程的通解由下式给出：W（n）=C0+C1er1n+C2er2n，（83）方向[42，43]。波变量λ=x-ct+λ0，积分一次，其中r1， 2=±1002cn和Ci（i=0，1，2）是任意常数。（71）转换为ODE因此，（71）的精确解具有以下形式：a B1，2n2±13n1n−Cu+ n+1 un+1− 2n+ 1 u2n+ 1+urr=0，（72）=++u（ x， t）=nb（84）在（72）中平衡u2n+1和urr，我们发现M1/n。我们使用以下转换：u= v1/n（73）将（73）代入（72），−cn（2n+ 1）（n+ 1）v2+an（ 2n+ 1）v3−bn（ n+ 1）v4+n（2n+ 1）（n+ 1）vvrr+（ 1−n2）（ 2n+ 1）vr2= 0。（74）用v4平衡vvrr得到M1.改进的简单方程法允许使用有限展开v（） A0A1Wr（），（75）W（W）其中A0和A1是待测常数，A10。通过前面示例中的类似过程，我们得到W0：−cn2（2n+ 1）（n+ 1）A0+an2（ 2n+ 1）A3C r er1（x−ct+0）C r er2（x−ct+0）×C0+C 1er1（x−ct+0）+C 2er2（x−ct+0）将（84）式的解与文献[42]中的解进行比较，我们发现我们的解是新的。备注。对于n1，a 6，b 6，解（84）是加德纳方程的两个模型的解：ut+6uux± 6u2ux+uxxx= 0，它描述了浅海中的内孤立波。这些模型是依赖于三次非线性项符号的正负Gardner方程。4. 结论本文通过一个非线性偏微分方程组，一个（2 + 1）维非线性偏微分方程组，利用改进的简单方程（MSE）方法，成功地求解了一类非线性偏微分方程的精确解和孤波解。24-bn（ n+1）A0= 0（76）W−1：−2A0A1cn2（ 2n+ 1）（n+ 1）Wr+ 3A2A1an2（ 2n+1）Wr-4 A3A1bn2（n +1）Wr+ nA0A1（2 n +1）（n +1）Wrrr= 0（77）W−2：−cn2（2n+ 1）（n+ 1）A2Wr2+ 3A0A2an2（ 2n+1），Wr2− 6A2A2bn2（n+ 1），耳模型产生的Jaulent-Miodek族，和广义KdV方程的两个幂非线性。这种方法给出的自由参数解对解释化学物理中的某些物理现象可能有重要意义。通过对自由参数进行适当的取值，得到了孤立波解由于该方法简单、有效，并可应用于许多其它的非线性系统，0- 1非线性偏微分方程，特别是具有不同幂的方程线性度[42]222S. 加奈尼1111111Wr2−3A0A1n（ 2n+ 1）（n+ 1）WrWrr+n（ 2n+ 1）（n+ 1）A2WrWrrr+（1−n2）（ 2n+ 1）A2Wrr2= 0（78）W−3：an2（2n+ 1）A3Wr3− 4A0A3bn2（n+ 1）Wr3+2A0A1n（ 2n+ 1）（n+ 1）Wr3− 3A2n（ 2n+ 1）（n+1）Wr2Wrr-2A2（ 1−n2）（ 2n+ 1）WrrWr2= 0（79）W−4：−bn2（n+1）A4Wr4+ 2A2n（ 2n+ 1）（n+ 1）Wr4法律的非线性，可以在未来的工作。确认作者要感谢审稿人的有益评论，这些评论导致了本文的一些改进。引用1[1] M.J. Ablowitz，P.A.C l a r k s o n ，孤子，非线性演化+A2（1−n2）（ 2n+ 1）Wr4= 0（80）方程与逆散射，剑桥大学出版社，剑桥，1991年。数学物理223−−[2] R. R.R.比尔斯柯夫曼，一阶系统的散射和逆散射，通讯。Pure. Appl.Math.37（1984）39-90.[3] V.B. Matveev，硕士张文，达布变换与孤子，北京，1991。[4] 范伟，一个与某些著名方程显式相关的完全可积多哈密顿系统的族，数学物理学报，42（2001）4327[5] R. Hirota ， J. 萨 摩 ， 耦 合 KdV 方 程 的 孤 子 解 Lett. A 85（1981）407[6] R.张文龙，等离子体中多个孤立子碰撞问题的精确解，物理学报，2000，24（1）：117 - 118. 27（1971）1192-1194。[7] R.M. Miura ， Backlund Transformation ， Springer ， Berlin ，1978.[8] N.A. Kudryashov，与一些多项式相关的特殊多项式，物理学快报。A 372（2008）945-1956。[9] C. 罗 杰 斯 ， W.F. Shadwick ， Backlund Transformation ，Academic Press，New York，1982.[10] A.M. Wazwaz，Exp-function方法求解非线性偏微分方程的广义孤立子和周期解，非线性动力学，2001，第10卷，第11 -14页。52（2008）1-9。[11] J.H.他X.H.吴，非线性波动方程的指数函数方法，混沌孤子分数。30（2006）700-708。[12] A. Bekir，A.Boz，用指数函数法求非线性发展方程的精确解，Phys.1999，1999。Lett. A 372（2008）1619[13] M. Mirzazadeh，M. Eslami，A. Biswas，用（G r / G）-展开法求 解 广 义 Klein-Gordon 方 程 的 孤 子 解 ， Comput. 33 （ 3 ）（2014）831[14] S. Zhang ， J. Tong ， W. Wang ，变系 数mKdV 方程的广义（Gr/G）-展开法，物理学报. A 372（2008）2254[15] J. Zhang，X.张军，等. Wei，Y.陆，广义（Gr/G）-展开方法及其应用，物理。Lett. A 372（2008）3653[16] 中义严，非线性光纤中高阶非线性薛定谔方程的广义方法及其应用，混沌孤子分数。16（2003）759-766。[17] Shoukry Ibrahim Atia El-Ganaini，使用第一积分方法的广义Pochhammer-Chree（PC）方程的行波解http://dx.doi.org/10.1155/2011/629760.[18] Shoukry Ibrahim Atia El-Ganaini，使用第一积分方法的一些非 线 性 偏 微 分 方 程 组 的 新 精 确 解 ， Abst 。 应 用 分 析http://dx.doi.org/10.1155/ 2013/693076。[19] Shoukry Ibrahim Atia El-Ganaini，高维非线性薛定谔方程的第一积分方法http://dx.doi.org/10.1155/2013/349173网站。[20] M. Mirzazadeh，M. Eslami，Kudryashov-Sinelshchikov方程和非线性电报方程的第一积分方法的精确解，Nonlin。分析：模型Control 17（4）（2012）481-488.[21] 马里兰州马里兰州萨布尔乌丁 Nur Alam，S.M. 马里兰州沙米姆 ·侯赛因 Samiul Hasan ， M.Ali Akbar ， Some new exacttraveling wave solutions to the（3 + 1）-dimensional Zakharov-Kuznetsov equation and the Burgers equations via Exp （ λ（λ））[22] K. Khan，医学硕士Akbar，应用exp（λ（λ））-展开法求修正的Ben- jamin-Bona-Mahoney方程的精确解，世界应用科学. J.24（2013）1373-1377。[23] K.汗，M。阿里Akbar，Kadomtsev-Petviashvili方程的精确行波解，JEMS（2014），doi：10.1016/j. joems.2014.03.010.[24] A. Nazarzadeh，M. Eslami，M. Mirzazadeh，Exact solutions ofsome nonlinear partial diffraction equations using functionalvariable method，Pramana 81（2）（2013）225-236.[25] M. Eslami，M.李文，非线性演化方程的变分方法，北京：科学出版社，2000。J.Eng.3（3）（2013）451-458。[26] A. Jawad，医学博士Petkovic，A.李文，等.非线性发展方程的一种新解法.应用数学与计算. 217（2010）869-877。[27] K. Khan，医学硕士Akbar，N.Hj，M.Ali，非线性演化方程精确孤波解的修正简单方程法：GZK-BBM方程和右手非交换 Burgers 方 程 ， ISRN 数 学 。 Phys.http://dx.doi 。org/10.1155/2013/146704。[28] 急诊Zayed，S.A. Hoda Ibrahim，用改进的简单方程方法求解数学物理中的非线性演化方程，Chin。Phys. Lett. 29（2012）060201-060204。[29] 急 诊 Zayed ， A.H. Arnous ， 修 正 的 简 单 方 程 方 法 及 其 在（ 2+1）维非线性演化方程组中的应用， Sci. Res. 论文 8（40）（2013）1973[30] M. Akbari，改进的最简单方程方法及其应用，Comput. Meth.你好。当量1（1）（2013）71-77。[31] K. Khan，医学硕士Akbar，M.N.Alam，非线性Drinfel，d-Sokolov-Wilson方程和修正的Ben- jamin-Bona-Mahoney方程的行波解[32] N.Taghizadeh ， M.Mirzazadeh ， A.SamieiPaghaleh ，J.Vahidi，使用改进的简单方程方法求解非线性演化方程的精确解，Ain Shams Eng.J. 3（2012）321[33] M. Eslami ，M. Mirzazadeh ，A. Biswas ，Soliton solutions ofthe resonant nonlinear Schrodinger equation in optical fibres withtime-dependent coefficients by simplest equation approach ， J.Modern Optics 60（19）（2013）1627-1636。[34] Y. Zhou，M.Wang，T.苗，一类非线性偏微分方程的周期波解与A 323（2004）77[35] Y. Feng，L. Wang等人，利用辅助方程的多解性求一类非线性偏 微 分 方 程 的 解 ， Commun. 非 线 性 科 学 数 字 。 你 好 15（2010）3332-3338。[36] B. 吕，Riccati方程的耦合Backlund变换和一类非线性偏微分方程行波解的除法定理方法，Commun.非线性科学数字。你好17（2012）4626[37] A.戴维，K. Stewartson，关于表面波的三维包，Proc. R. Soc.Lond. A 338（1974）101[38] B. Malomed，D. Anderson等人，Zakharov模型方程中孤立波的动力学，物理。Rev. E 55（1997）962[39] 答-- M. Wazwaz，Multiple kink solutions and multiple singularkink solutions for （ 2 + 1 ） -dimensional nonlinear modelsgenerated by theLett. A 373（2009）1844[40] H. Liu，F. Yan，由Jaulen-t-Miodek族生成的（2 + 1）维非线性模型的分支和精确行波解，Int. J. 非线性科学11（2）（2011）200[41] W.M.塔哈，M.S.M. Noorani，通过（G r / G）-展开方法由Jaulent-Miodek族生成的方程的精确解，Math. Prob Eng.http//dx.doi.org/10.1155/2013/ 392830。[42] 答-- M. Wazwaz，偏微分方程与孤立波理论，高等教育出版社，北京，2009（Springer-VerlagBerlin Heidelberg）。[43] A.V. Slyunaev，EN.张文，大振幅孤子的动力学，J。Exp.Theor. Phys. 89（1）（1999）173