非真值函数多值语义的哲学和数学意义

116网址：http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume67.html15页非真函数多值性Jean-YvesBeziau1;2国家科学计算实验室，巴西摘要多值逻辑用逻辑矩阵来表示。它们是真实功能的。本文从哲学和数学的角度提出了非真值函数多值语义学关键词：多值逻辑，逻辑矩阵，非真值函数语义1引言本文的目的是为逻辑学的研究提供一个新的工具，即非真值函数多值语义学的概念。3在第一部分中，我们首先对多值逻辑4进行一般性讨论为了表明这个概念的哲学和数学意义究竟是什么，它在逻辑空间中处于什么位置在第二部分中，我们回顾了逻辑矩阵的定义和基于此概念的多值逻辑的标准定义。为了正确理解真值函数多值语义学和非真值函数多值语义学之间的区别，在这里有这些定义是很重要的，这些定义也值得x的术语，可能是误导和模糊的。1 多亏了乔·马科斯·维杰塔尔·德·阿尔梅达。工作得到了FAPERJ的支持2 电邮地址：3 非真值函数多值语义是几年前在我的一篇关于非经典逻辑的论文中首次引入的但在本文中，它们只是作为一个侧面概念出现。在某种意义上，本文是另外两篇文章（[6]，[19]）的续篇，是独立的这篇论文[19]起源于对G.Malinowski关于多值逻辑的书[26]的讨论。这本小书很好地介绍了标准多值逻辑。4 我们将交替使用单数“多值逻辑”或复数“多值逻辑”，这取决于我们想要强调的内容。奇异表达式强调多值逻辑作为一个整体。2002年由ElsevierScienceB. V. 操作访问根据C CB Y-NC-N D许可证进行。117第一部分中非正式讨论的概念在这里给出了精确的含义，第三部分中我们适当地定义了非真值函数多值语义的概念，并给出了这种语义的一些例子。2逻辑矩阵=多值逻辑？2.1逻辑矩阵不能归约为多值逻辑多值逻辑是最著名的非经典逻辑之一 它们分别出现在十九世纪末/二十世 纪 初 不 同 人 物 的 作 品 中 ， 主 要 是 C. S. Peirce ， E. Post 和 J.Lukasiewicz。卢卡谢维奇的工作无疑是发展多值逻辑学中最重要的。其中一个原因是，卢卡谢维奇的工作促进了概念的逻辑矩阵，中心概念的建设多值逻辑，隐含在作品的皮尔士和邮政。逻辑矩阵的概念后来被系统地用于多值逻辑的发展。此外，逻辑矩阵的概念不仅用于生成多值逻辑。 例如，Bernays [2]使用多值矩阵， 证明经典命题逻辑公理集独立性的元逻辑层次。它也被Kleene[24]、Bochvar [13]或Girard [21]等人用于元数学层面。塔斯基认为，逻辑矩阵的概念可以作为零阶逻辑一般理论的基本工具。[5]事实上，这一概念在所谓的波兰逻辑中确实成为了基础。6因此，逻辑矩阵不能归约为多值逻辑。但反过来又如何呢：多值逻辑是否可归约为逻辑矩阵？为了生成多值逻辑，我们需要逻辑矩阵吗？2.2逻辑矩阵不违反二价性多值逻辑的定义是什么？人们可以把多值逻辑定义为违反二价原则的逻辑。但二价性原理是什么呢？它可以表述如下：二价原理一个命题是真或假的：它不能是真的和假的，或者既不真也不假。5在一个脚注的再版\调查的微积分”由Lukasiewicz和塔斯基在卷逻辑，语义学，元数学，塔斯基重新呼吁\的建设多值系统的逻辑描述，完全是由于Lukasiewicz和不应该被称为Lukasiewicz和塔斯基。”（[35]，p.38）。但后来当引入矩阵的概念时，他添加了以下脚注：“矩阵形成作为构造系统的一般方法的观点是由于塔斯基”（[35]，p.40）。6 关于零阶逻辑的一般理论，波兰逻辑和这个术语见[10]。118对这一原则的解释不一定是显而易见的。[7]例如，人们可以严重怀疑标准的多值逻辑是否挑战了这一原则。原因如下：二价原理通过指定值和非指定值之间的区别存在于多值矩阵中，正如G.Malinowski所强调的：受真值表启发的矩阵方法在将矩阵论域划分为指定元素和非指定元素的两个子集时体现了明显的二值性阴影。“（[26]，（p.72））。这种区别对于逻辑真理和逻辑后果的定义是至关重要的。例如，当我们有一个多值矩阵，有三个值0，1/2和1，因此称值0为真，值1为假，值1/2为不确定或真-假等是误导性的。因为逻辑真理被定义为“指定给每一个赋值”。同一个多值矩阵，根据指定值和非指定值的选择例如，Lukasiewicz只取1作为指定，但在构造次协调-帐篷逻辑时，人们取1/2和1作为指定（见[1]，[20]，[30]，[31]，[37]，[28]）。把1/2看作是指定的，但不把它称为真理，可能会导致对矩阵产生的逻辑的错误解释（见[11]）。2.3Suszko对代数值和逻辑值的区分逻辑后果的概念似乎本质上是二价的（逻辑真的概念也是二价的，它是二价的一个特例）。如果一个人有一个因果关系，它可以在语义上解释：T`a意味着T的每个模型都是a的模型，而T6`a意味着存在一个T的模型，它不是a的模型。所以做模特还是不做模特，这是个问题。无论“模型中的真值”是如何定义的（使用几个指定值、解释、可访问性关系等），重要的是，在最后，我们有一个二分法，在一个模型中为真/在事实上，如果我们有一个后果关系，它总是可以找到一个二元语义，只是作为模型，一些理论的特征功能。正如Suszko所说：“简而言之，每个逻辑都是（逻辑上）二值的”（[34]，p.378）。Suszko确实为Lukasiewicz的三个多值逻辑L3提供了一个二价语义（参见[33]）。 这可能听起来像一个悖论，因为L3被称为三个多值逻辑，因为它不能用二值矩阵来定义。但是Suszko的语义学不是一个矩阵语义学。值0和1在这个语义中不是代数的域，没有代数值，而是逻辑值，遵循Suszko的术语。7 二价原理经常与排中律混淆，有时与矛盾律混淆。 这种混淆已在[19]和[12]中讨论过，这里不再讨论，我们试图给出一个避免混淆的原则的公式。119在命题经典逻辑的情况下，代数值和逻辑值在某种意义上是一致的，因为极大理论的特征函数可以同时被看作是从公式集到f0;1g上的布尔代数的同态。但在大多数情况下，这种情况不会发生。因此，必须明确逻辑值和代数值之间的区别。在L3的情况下，我们有两个语义，一个有两个逻辑值，一个有三个代数值。但是，有些逻辑不能用（nite）矩阵来表征，因此没有代数值的语义。这就是达·科斯塔的次协调逻辑C1的例子（参见《逻辑学》）。[15]，[4]）。对于这种逻辑，提供了具有两个逻辑值的语义[16]。后来，达·科斯塔和他的学生们在这种语义学的基础上发展了一种逻辑的一般理论，称为“价值论”。[17]，[18]）。对于Suszko来说，“任何逻辑值的乘法都是一个疯狂的想法，事实上，Lukasiewicz并没有实现它”（[34]，p.378）。但什么是逻辑值呢？代数值/逻辑值的二分法不允许第三种可能性吗？本文的目的是提出多值语义的值不是代数值在Suszko的意义上，他们不是一个逻辑矩阵的代数元素。但我们不会疯狂到把这些值称为逻辑值，因为，就像在矩阵的情况下一样，我们将区分指定值和非指定值，以便定义新的逻辑真理和逻辑后果。人们可能想知道为什么要引入这种多值语义，每个逻辑都是二值的。 Lukasiewicz的逻辑L3具有二价语义，为什么要将值相乘并引入三值语义？这是因为这种三值语义给出了一个完全不同的L3的外观，是一个非常有用的技术工具来证明L3的定理和关于L3的元定理。8非真值函数（即非矩阵的）多值语义被引入（cf.[3])对于不具有真值功能语义的次协调逻辑C1正如我们已经说过的，这个逻辑具有二价语义学。但使用多值语义可以给出C1的更好的直观性，并简化证明，就像三值矩阵语义对L3所做的那样，即使这种多值语义不是真值泛函。非真值函数多值语义学是研究逻辑的一个有用工具。在矩阵语义的情况下，附加值在语义上是模糊的，在某种意义上，它们通过指定/未指定值的二分法来保持二价原则。但在矩阵语义的情况下，也可以使用这些非真值函数，8 反之亦然。L3 的非真值函数二价语义是由Suszko引入的，而不是作为一种“exercice de style”，它似乎没有进一步的实用性。然而，这种语义后来被用来提供一个L3的序列演算（见[9]），使用二价语义和序列演算之间的密切联系。120语义生成逻辑是多值的更深的意义。93多值逻辑3.1逻辑矩阵一个逻辑矩阵M是一个结构hA;Di，其中A是一个抽象代数hA;funi，D是代数A的定义域的一个子。fun是定义在A上的nite序列的nite函数（即nite的函数），称为真值函数。代数的类型是这个序列的长度和每个真值函数的元数的指定A的元素称为值，如果A的元素也是D的成员，则称为指定值，否则称为未指定值。给定基数，多值矩阵是值域为基数的矩阵.逻辑矩阵的一个典型例子是经典比例逻辑的二值矩阵：hhf 0;1g;：;_;^;！i;f1. 值得注意的是，这里的标志是\！“，例如，表示真值函数而不是连接函数。一般来说，人们和我们一样，对真值函数和连接词使用相同的这是一个有用的工具，但有时可能会误导（见[10]）。这个2值矩阵是多值的，因为“2”是但根据标准约定，多值矩阵是基数大于或等于3的矩阵。3.2逻辑定义逻辑结构的方法有很多种，本文考虑逻辑结构的三种基本类型：L1=hF;`1i，L2=hF;`2i，L3=hF;`3一。对于所有这些结构，F是h型F;con i的绝对自由代数定义域F中的元素a称为公式。con是一系列被称为连接词的函数，它们从F的子集P生成F。P的元素p称为原子式。一组公式T称为理论。`1 是F的一个子集， 被称为互变逻辑。`2 是一个二元关系的理论和模型。 它被称为顺序关系.“3"是理论与理论之间的二元关系。 它被称为多重后果关系.在下文中，我们将使用逻辑这个词作为这三种结构的总称[9] G.Malinowski利用多值矩阵定义了一种不同于通常的推论关系，在某种意义上是多值的（见[27]）。可以以类似的方式使用非真值函数多值语义。1213.3由逻辑矩阵逻辑矩阵用于生成逻辑。使用逻辑矩阵，可以通过统一方法生成类型1、2或3的逻辑给定一个矩阵M= hA;Di，我们考虑一个与A同类型的绝对自由代数F和F与A之间的同态集合HOM.HOM的一个元素将被称为形态赋值。 从F的生成元集合P到代数A的定义域A的函数称为原子形态赋值。由于绝对自由代数的基本性质，任何原子形态赋值都有一个唯一的扩张，即形态赋值。因此，考虑形态赋值或原子形态赋值是相同的，因为它们之间存在一一对应使用形态赋值的概念，我们现在定义F域上的集合和关系，这导致了逻辑结构的三种基本类型对于任何公式a和理论T，U：对于每一种形态的评价，（a）是一个指定值。T`2 a是每个形态赋值的一个指定值，如果（b）是T的每个元素b的一个指定值，则（a）是一个指定值。T`3对 于每个形态赋值，如果（b）是T的每个元素b的指定值，则存在U的元素c，使得（c）是指定值。给定一个逻辑L，可以说一个矩阵M刻画了L，或者说M是L的一个特征矩阵，i L是由M生成的逻辑。根据多值逻辑的标准定义，逻辑不是一个-值逻辑，如果它是或可以是由一个-值矩阵生成的。 如果这是定义，经典命题逻辑将是一个242值逻辑，因为事实上，它是不困难的，看到它可以由任何基数大于1的矩阵生成。逻辑L被称为- 值i是 最小基数，使得存在一个刻画L的-值矩阵。多值逻辑的一个典型例子是Lukasiewicz的三值逻辑，它是由一个三值矩阵生成的，不能用一个二值矩阵来刻画。关于“许多”的基数，这里适用与矩阵情况相同的约定：二值经典逻辑不称为多值逻辑，多值逻辑是至少是3值的逻辑4非真值函数多值性4.1真值泛函逻辑什么是真值函数逻辑？经典命题逻辑是真值函数的，那么直觉逻辑呢？各种模态逻辑等122我们可以说真值函数逻辑是一种可以用逻辑矩阵来表征的逻辑。然而，这个定义似乎太弱了，因为遵循它，几乎每一个逻辑都是真值函数的：根据一个著名的定理，其最初的想法是由于林登鲍姆，任何类型的逻辑1是结构性的，即在替换下接近，可以通过以下来表征：矩阵 这个定理在某种意义上可以推广到类型逻辑2和3（见[38]）。一个合理的定义如下：真值函数逻辑是一个可以用尼特矩阵表征在这个意义上，直觉的，标准模态逻辑（S5，S4，K等），次协调逻辑C1、Ja skowski的讨论逻辑以及其他许多逻辑都不是真值泛函的。104.2非真值函数语义学根据我们对真值函数逻辑的定义，我们可以说真值函数语义学是一个nite矩阵。根据这一定义，非真值函数语义学是任何不是尼特矩阵的语义学。如果我们不明确什么是语义学，这个定义是相当模糊的。我们可以给出逻辑语义的一个非常一般的定义：语义是一个结构hR;mod i，其中R是一组被称为表示的对象，并将一个函数从公式集模到R的幂集，它将每个公式a与其中a为真的表示集mod（a例如，在L3的情况下，表示是从F到矩阵代数的同态，函数mod由下式定义：2mod（a）i（a）被指定。在模态逻辑的情况下，表示是框架，并且函数mod被定义为：2mod（a）ia在框架的每个可能世界中都为真。11现在让我们考虑一个非常简单的非真值函数语义学的例子，一个二价的例子。 我们考虑一个代数公式F建立只有两个连接，：和！定义了一组从Fin到f0;1g的函数B如下：2Bi（a！i（a）= 1且（ b）= 0如果（a）= 1，则（：a）= 0。连接词：仅由经典否定条件的“一半”定义由该语义生成的逻辑（取1作为指定）被称为10 人们可以生成逻辑与逻辑矩阵在不同的其他方式比一个解释在前一节。F或例如，GOdel已经证明了直觉主义逻辑不能用一个nite矩阵来刻画[22]，但Ja skowski已经证明了它可以用一组nite矩阵来定义[23]。Carnielli最近提出了一种用逻辑矩阵生成逻辑的新方法，使用这种方法，可以使用nite矩阵来解n是次协调逻辑C1（cf. [14]）。无论如何，在目前看来，这种真值功能性的定义是比较合理的。11 更多关于语义学的一般定义可以在[5]，[7]中找到123K=2，并已在[8]中研究。本文特别证明了经典逻辑在K=2时是可译的。这个逻辑是仿完全的，因为一个公式及其否定都可以是假的。如果我们以自然的方式引入一个析取，公式：（a _：a）就不是重言式。双赋值集B不是同态集，特别是不能由原子双赋值生成，即 函数从P到f0;1 g. 否定的双赋值行为可由下表说明12p：p*p：：p00000001001001000101100010011010表1我们可以将这种非真值函数语义解释为：a的值“不由a的值决定”：如果公式a的值为1，：a的值必须为0，但如果其值为0，：a的值可以为0或1。然而，在这种语义中，蕴涵的行为是决定性的，因为如果我们知道两个直接子公式的值，我们知道这个条件的值。下表描述了蕴涵的双赋值行为12 将这样的表称为“真值表”是误导性的，这种相似性是视觉上的而不是概念上的，因为这个表不描述真值函数。无论如何，这种表可以用作一种判定方法。当我们说这个表是一个“例证”时，这恰恰意味着：给定B的任何双赋值，它对表的第一行中出现的公式集的限制与表的其他行中的一行重合;并且这些行中的任何一行都可以扩展到B的双赋值。这类表首次在[16]中提出。124pQp！Q001011100表24.3非真值函数多值语义我们将解释什么是非真值函数多值语义学，将前面的非真值函数二值语义学的例子推广到三值非真值函数语义学。在三值真值函数语义学中，一个公式的否定的值由这个公式的值决定。例如，在三值矩阵Lukasiewicz的情况下，如果公式的值是1/2，则其否定的值是1/2。现在在三值非真值函数语义学中，给定公式的值，其否定的值是不确定的。让我们考虑具有三个值f%; 0; 1g的三值非真值函数语义（a！ b）未指定i（a）= 1且（b）未指定（a）= 0i（：a）= 1。（a）= 1i（：a）= 0。三个求反运算的行为可以描述如下：p：p*p%%%%%0%0101%0101%%1%0101表3125由这种三值非真值函数语义定义的逻辑实际上与K=2相同。这可以解释如下：在双值非真值函数语义的情况下，giv enp和：p，存在可以由下表描述的三种可能性：p：p000110表4现在在三值非真值函数语义学中，这三种可能性由三值描述，如下表所示：p%01表5读者可以检查表3是一个减少，在这种精神，表1。 这种归约可以通过以下定义系统化：给定K=2的二价非真值函数语义的二值化，我们定义如下的三值化：（a）=%i（a）=0且（：a）=0（a）=0i（a）=0和（：a）=1（a）=1i（a）=1and（：a）=0很容易看出，用这种方法，我们得到B和T之间的一一对应，使得：（a）被指定i（a）被指定。这证明了B和T产生的逻辑是相同的，即K=2。我们可以说，在K=2的三值非真值函数语义中，p的值中的某些信息已经由p的值给出。 但是这并不意味着：p的值由p的值决定。因此，人们可能对这种语义学的有用性有一些怀疑值的数量增加了，我们仍然有不确定性，而且真值泛函的蕴涵现在变得非真值泛函了，因为表2必须被下面的表取代：126pQp！Q%%1%01%110%10010111%%1%010%100111表6当p的值为1且q的值未指定时，%或0，则p的值！不确定q，因为它可以是%或0。现在让我们看一个更有说服力的非真值函数多值语义学的例子。假设我们修改B的定义，增加以下条件：if（a！ b）=0且（b）6 =（：b）则（：（a！b））=1这个条件可以用下表来描述pQ ：qp ！Q：（p！Q ）00010001100101010000100011010111010表7127在这个表中，我们不仅需要引入条件的直接子公式，而且需要引入条件的直接子公式的否定。现在我们可以在三值非真值函数语义中翻译”这个语义，将上述条件的“翻译”添加到定义Tif（a！b）=0和（b）=0，其中n=（a！b））=1其可通过下表描述：pQp ！Q：（p！Q ）% %10%010%1100%10001001101%%%1%%01%0110011110表8子公式：qd既不出现在a bove条件中，也不出现在相应的表中。三值非真值函数语义具有子公式性质，但不具有二值非真值函数语义。这基本上就是我们所获得的。5结论本文提出了多值非真值函数语义学的概念，并将其与多值真值函数语义学和二值非真值函数语义学进行了比较。我们试图通过一个三值非真值函数语义的例子来说明这个概念的有用性当然还有其他的例子。可以开发四值非真值函数语义学等。这些非真值函数多值语义通过区分指定与非指定，128值，但这也是矩阵真值函数多值逻辑的情况，所以它不能被认为是反对它们的论点，除非它也被认为是反对标准多值逻辑的论点。从真值函数多值性的观点看，多值逻辑是不能用二值矩阵刻画的逻辑如果我们想把这个定义推广到非真值函数的多值性，我们就面临一个问题，因为任何逻辑都可以用二值非真值函数语义来刻画。无论如何，多值逻辑的标准概念似乎很混乱。事实上，如果我们不把多值逻辑的矩阵定义限制为可以用nite矩阵来表征的逻辑，那么任何逻辑都是多值的（由于Lindenbaum定理），除了经典逻辑，这不是按照惯例，考虑到2不足以成为“许多”。在我们看来，多值逻辑的标准概念应该被撤销：可以用nite矩阵表征的逻辑应该被简单地称为真值泛函，加上它们可以用矩阵表征的最小基数。另一方面，应保留“多值语义”这一表述，但应扩展其含义，使其不仅包括nite或nite矩阵，而且包括非真值函数的多值语义。这些多值语义是研究重言式或结果关系集的逻辑的有用工具，但也可以用更激进的方式产生在更深意义上挑战二价原则的逻辑，真正名副其实的“多值逻辑”。引用[1] F.Asenjo ， 1966 ， \A calculus of antinomies” ， Notre Dame Journal ofFormal Logic，7，103-105.[2] P.Bernays ， 1926 ， \AxiomatischeuntersuchungdesAussagenkulsderPrincipiaMathematica”，Mathematische Zeitschrifft，25，305-320.[3] J. - Y.B eziau，1990，\Logiques Quarterites suivant les m ethodes de daCosta”，LogiqueetAnalyse，131-132，259-272.[4] J. - Y. 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