ðÞJournalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，161埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章关于广义/-递归LP-Sasakian流形Absos Ali Shaalia，*，D.G.Prakashab，Helaluddin Ahmadaa印度，西孟加拉邦，713 104，布尔德万，布尔德万大学数学系b卡纳塔克大学数学系，Dharwad，580 003 Karnataka，印度接收日期：2013年2月9日;修订日期：2013年9月27日;接受日期：2013年2014年2月22日在线发布本文的目的是引入广义/-递归LP-Sasakian流形的概念，并通过一个有趣的例子研究它的各种几何性质及其存在性其中，证明了广义/-递归LP-Sasakian流形是Einstein流形.证明了不存在广义射影/-递归LP-Sasa- kian流形。2010年数学学科分类：53C15; 53C25？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍关于Sasakian流形的类比，1989年Matsumoto[1]引入了LP-Sasakian流形的概念。Mihai和Rosca[2]也引入了同样的概念，并得到了许多有趣的结果。LP-Sasakian 流形也被Aqeel等人[3]，Bagewadi等人[4]，De等人[5]，Mihai等人[6]，Murathan等人[7]，Shaanxi等人[8黎曼对称流形的研究始于Cartan的工作[14]。黎曼流形的局部对称性的概念已经被许多作者在不同程度上以几种方式削弱了。作为局部对称性的一个较弱版本，Takah-*通讯作者。联系电话：+91 9434546184。电子邮件地址：aashaikh@math.buruniv.ac.in，aask2003@yahoo。co.in （ A.A.Shaanxi ） ， prakashadg@gmail.com （ D.G.Prakasha）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevierashi[15] 在 Sasakian 流 形 上 引 入 了 局 部 / 推 广 了Takahashi[15]，De et al.[16]提出了/-递归Sasakian流形De等人[17]也研究了/-递归Kenmotsu流形。在这方面，可以提到，Shaanxi和Hui[18]研究了局部/-对称b-Kenmotsu流形。在洛伦兹几何的背景下，局部的概念LP-Sasakian流形上的/-对称性由Shaidian和Baishya[9]引入并通过几个例子进行了研究。Shaanxi等人[11]也研究了/-递归LP-Sasakian流形，并通过几个非平凡的例子证明了这种概念的存在性。推广所有这些局部/-对称的概念，在本文中，我们引入广义/-递归LP-Sasakian流形。广义递归流形的概念由Dubey[19]引入并由De和Guha[20]研究。一个黎曼流形Mn;g;n>2，称为广义递归流形[20]，如果它的（1，3）型曲率张量R满足条件rRARBG;1：11110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.12.019关键词递归流形;广义递归流形;LP-Sasakian流形;/-递归LP-Sasakian流形;广义/-递归LP-Sasakian流形162A.A. Shaanxi等人R¼¼ðÞðÞ2ð Þ ð Þ22 ð Þ2 ð Þeee2个月12哪里 一 和 B 是 非零 1-形式 定义为A·g·;q1;B·g·;q2与（1，3）型张量G由下式给出G X; YZg Y; Z X-g X; ZY1：2对所有的X，Y，Zv M，vM是M上光滑向量场的李代数，表示关于度量张量g的协变微分算子. 1-形式A和B称为流形的相关1-形式特别地，如果1-形式B为零，则（1.1）就变成Walker[21]引入的递归流形的概念。一个黎曼流形Mn;g;n>2，如果它的Ricci张量S（0，2）不恒为零且满足条件rS¼ASB g;1：3其中A和B是在（1.1）中定义的非零1-形式。特别地，如果B0，则（1.3）简化为Patterson[23]引入的Ricci-循环流形的概念。一个黎曼流形Mn;g;n>2，如果它的Ricci张量S类型（0，2）满足条件rS¼a Sb gcgg;1：4其中a、b和c是非零唯一1-形式。特别是，如果bc，则（1.4）简化为以下概念：拟广义Ricci-回归流形是由Shaiden和Roy[25]引入的。本文的结构如下。第二节讨论了LP-Sasakian流形的一些性质。第三节研究了广义/-递归LP-Sasakian流形，得到了LP-Sasakian流形是广义/-递归LP-Sasakian流形的一个充要条件（定理3.3）。证明了广义/-递归LP-Sasakian流形是Einstein流形，并且在这样的流形中1-形式A和B通过A0相关联我们还研究了广义共圆（分别为，射影）/-递归LP-Sasakian 流 形 。 本 文 证 明 了 一 个 广 义 共 圆 /- 递 归 LP-Sasakian人，ifold是超广义Ricci-常返的，但不能是拟常返的，同样，如果我们XX;Y gX;/Y对所有的X;Y2v<$M<$，则张量场X<$X;Y<$是一个对称的（0，2）张量场[1].此外，由于1-形式g在LP-Sasakian流形中是封闭的，我们有[1，5]rXg对于所有向量场X;Yv M.设M是一个n维LP-Sasakian流形，其结构为n;n; g; g∈. 则下列关系成立[1，8]：RX;YngYX-gXY;2：6SX;nn-1gX;2：7S/X;/YSX;Yn-1gXgY;2：8rWR— g Y; W/ Xg X; W/ Y— 2½XX;WgY -XY;WgX]n— 2.5gY/X-gX/Y]gW：2：9rWR— R X;/ WZ2：10对于所有向量场X;Y;Zv M，其中R是流形的曲率张量。以上结果将在后面的章节中使用3.广义/-递归LP-Sasakian流形定义3.1. LP-Sasakian流形<$Mn;g<$;n>2上的（1，3）型张量场K称为广义K-/-递归的，如果它满足关系式/2rWKX;YZAW/ 2KX;YZB对于所有的X;Y;Z;W2v<$M<$，其中A和B是非零1-形式，使得A<$X<$$> g<$X;q<$;B<$X<$$> g<$X;q<$。1-si-广义Ricci-常返最后，我们给出了一个有趣的例子，证明了广义/-递归LP-Sasakian流形的存在性。2. LP-Sasakian流形一个n维光滑流形M称为LP-Sasakian流形[2，8]，如果它允许一个（1，1）张量场f，一个单位类时向量场n，一个1-形式g和一个Lorentz度量g，满足gn-1;gX;ngX;/2XXgXn;2：1形式A和B被称为关联的1-形式。歧管特别是，如果K/R（分别为，C，P）则称LP-Sasakian流形<$Mn;g<$;n>2是广义/-递归的（分别为，广义共圆/-递归，广义亲其中C和P表示类型（1，3）的共圆和射影曲率张量，并且分别由下式给出：RCX;YZRX;YZ-nn-1GX;YZ3：2和g/X;/YgX;Yg XgY;rXn/X;2：2rX/YgX;Yn gYX2 g X g Y n ;2：31P<$X;Y<$Z <$R<$X;Y<$Z-n-1½SY;ZX-SX;ZY]：13：3对于所有X;Yv M，其中表示关于洛伦兹度量g的协变微分算子。可以很容易地看出，在LP-Sasakian流形中，如下：关系保持：/n<$0;g/X<$0;rank/¼n- 1：12 ：40本文考虑了一个广义/-递归LP-Sasakian流形。然后根据（2.1），我们从（3.1）得到，rWR<$AW½RX;YZgRX;YZn]B关于广义/-递归LP-Sasakian流形1632ðÞ.你...ΣΣeeeerWC X;Y公司简介C X; Y Z2n由此得出结论，grW R X; Y Z; UgrW R X; YZg U<$AW½gRX;YZ;Ug RX;YZgU]B取一个标准正交标架场，然后在X和U上收缩公式3.5，然后使用公式1.2，我们得到rWS-AWgY;Z-fAWBWgYgZ：3：6使用 （2.6）， （2.9） 和 的 关系 grWRX;YZ;U1/4-g rWRX;YU;Z，我们有grWRn;YZ;n0：23：7根据（3.7）式，由（3.6）式可以得出：在两边都应用/2，我们得到关系式（3.1）。因此，我们可以陈述如下：定理3.3. 一个LP-Sasakian流形是广义/-回归的当且仅当关系式（3.14）成立。在式（3.5）中循环改变W;X;Y，并将它们相加，通过Bianchi恒等式和式（3.12），我们得到：AW½gRX;YZ;U-gGX;YZ;Ufg<$R<$X;Y<$Z< $ -g<$G<$X;Y<$Z<$g<$U<$]AfgA阿尔·WSY;ZAWSY;Zn-2BW-AW]gY;Z-fAWBWg YgZ：3：8fg在Y和Z上收缩上述关系，我们得到在式（3 - 8）中设置Z^n，使用式（2 - 7），我们得到：rWS我们也有《圣经》3：10- 11《圣经》3：10 -11《圣经》3：10 - 11《圣经》3：10-1/4n-1 gY;/W-SY;/W;使用2：5和2：7：AW½SX;U-n-1gX;U]-AX½SW;U-n-1gW;U]ARW;XU-ARW;XngU-AXgW;UAWgX;U-fAXgW-AW gXgU0：13：15再次将公式3.15在X和U上收缩，并使用公式2.6，我们得到《易经》云：“君子之道，焉可诬也？有始有卒者，其惟圣人乎！”，13.14冉子退朝。由（3.9）和（3.10），我们得到：n-1¼ ðn-1ÞfAðWÞþBðWÞggðYÞ:ð3:11Þ121这导致以下结果：定理3.4. 在广义/-递归LP-Sasakian模型中，再次将Y^n代入公式3.11，我们得到：伊福尔德河是一个特征值 的 Ricci 张量gAWBW0for allW：3：12根据式（3.12），从式（3.11）可以得出：S Y;/ W n-1g Y;/ W：3：13/Y在（3.13），然后使用（2.2）和对应于特征向量Q1。我们现在考虑广义共圆/-递归LP-Sasakian流形Mn;g;n>2.由式（3.1），我们有将Y替换为（2.8），我们得到二...2. eS Y; W n-1 g Y; W：这导致以下结果：定理3.1. 一个广义的/-递归LP-Sasakian流形是一个爱因斯坦流形，而且相关联的1-形式A和B通过A 0相关联。度量当且仅当它是爱因斯坦。B其中A和B的定义如式（3.1）所示。考 虑 广 义 共 圆 /- 递 归 LP-Sasakian 流 形 . 然 后 ， 根 据（2.1），从（3.17）可以得出：rWCeX;YZ¼-grWCeX;YZn推论3.1。 [8]LP-Sasakian流形是Ricci-半对称的。HE。埃吉因此，从定理3.1和推论3.1，我们可以说，以下内容：定理3.2. 广义/-递归LP-Sasakian流形是Ricci-半对称的。使用（2.9）和关系grWRX;YZ;U-grWRX;YU;Z在（3.4）我们有rWR1/2gX;Wg/Y;Z-gY;Wg/X;Z2fgY;/WgX;Z-gX;/WgY;Zg-2f gX;/Wg Y- gY;/W gX gZB由此得出结论，G.. rWCX;YZ;UU U-g. . rWCX;YZgU阿斯塔纳湾CX;YZ;Ug.CX;YZgUiB在X和U上收缩公式3.19，利用公式2.10和公式3.2，我们得到rWSþð n—2ÞΣB ð W Þþ drðWÞ—.R1-2fg<$Y<$g<$/X;Z<$-g<$X<$g<$/Y;Z<$g<$W<$-g<$/R<$X;Y<$W;Z<$]nnn-1nn-1n-2AgY;Z-d rW。1-RAgnn-1可以写成nn-1/AC X; Y Z164A.A. Shaanxi等人¼ ¼¼FG1/2F1.5g¼¼ ðÞRðÞz1@x@y3@zrS ¼ A南苏丹 g/H gg;2003：21哪里grWPX;YZ;U-grWPX;YZgUA陈伟霆博士.R1Σ ΣBwWn-2BW nn-1-和nn-1n-2一个小女孩2019 - 03-26在X和U上收缩式（3.26），并使用式（2.9）、式（3.10）和你好，r（3.3），我们得到HW-nn-11-nn-1因此，我们可以陈述如下：AWBW：阿尔·WSY;ZA WSY;Zn-1 ½n-2B W-AW]gY;ZSZ;/W-n-1BWgZ]gYn-1gRY;/WZ：3：27定理3.5. 广义共圆/-递归LP-Sasakian流形是超广义Ricci-递归流形。在公式3.20中设置Yn，使用公式2.7，我们得到Dr.W.W.W.F.R.N.N.N.N.N.N.N.B.W.N.N.W.N.N.N.B.W.N.W.N.R.N.N.B.W.N.N.W.N.R.N.B.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.N.W.W.N.W.N.W.N.W.W.N.W.N.W.N.W.W.N.W.N.W.N.W.W.N.W.N.W.N.W.W.N.W.N.W.N.W.W.N.W.这导致以下结果：定理3.6. 在广义共圆/-递归LP-Sasakian流形中，1-形式A和B由方程（3.22）联系起来。推论3.2。在具有非零常数量曲率的广义共圆/-递归LP-Sasakian流形中，在式（3.27）中设YZn，我们得到B0，这是不可能的。因此，我们可以陈述定理：定理3.8. 不存在广义射影/-递归LP-Sasakian流形<$Mn;g<$;n>3.4.广义/-递归LP-Sasakian流形的一个例子例如 4.1. 我们 考虑 一3维流形Mx;y;zR3：z>0，其中x;y;z是R3中的标准坐标。设E1;E2;E3是M上线性无关的整体框架，由[10]相关1-形式A和B通过以下方式相关：Z@E¼e;E <$ez-ax@;E<$@;fr-nn-1gA-nn-1B¼ 0：我们现在考虑一个广义共圆/-递归LP-Sasakian流形，它是拟广义Ricci-递归的[25]。则w<$W<$$>H<$W <$，其中w和H是式（3.21）中给出的1-形式。W和H相等，Dr.W.W.R.A.W.-n-1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000由式（3.22）和式（3.23），我们得到A0，这是不可接受的.因此，我们可以陈述如下：定理3.7. 广义共圆/-递归LP-Sasakian流形不可能是拟广义Ricci-递归流形。其中a是非零常数，使得a为-1。设g为洛伦兹算子度量已定义通过gβ-E1;E3β-Dβ1/4gβ-雌二醇1;2/4 g β-雌二醇0;gβ-E1;E1β-E2;E2β-E 1;gE3;E3± 1。设g为1-形式，定义为g<$U<$$> g<$U;E3<$ 任何U2vM。 让/被 的 （一、一） 张量 菲尔德 定义为/E11/4-E1;/E21/4-E2 和/E31/4 0。 然后，使用f和g的线性，对于任何U ; W 2 v M，我们有gE31/1;/2U UgUE3和g/U;/WgU; Wg Ug W。因此对于E3n;/;n;g;g定义了M上的一个洛伦兹次接触结构。设是关于洛伦兹度量g的列维-奇维塔联络，R是g的曲率张量。然后我们有我们现在考虑一个广义射影/-递归LP-Sasakian 流形Mn;g;n>2.由式（3.1），我们有/2rWPX;YZAW/ 2PX;YZBW/ 2GX;YZ;1/2E1;E2] 1/4-aeE2; 1 /2E1;E3] 1/4-E1;1/2 E2;E3] 1/4-E2：利用洛伦兹度规g的Koszul公式，我们可以很容易地计算出rE1E1¼-E3;rE1E2¼0;rE1E3¼-E1;z z其中A和B的定义如式（3.1）所示。2013年3月24日rE2E1¼aeE2;rE2E2¼-aeE1-E3;rE2E3¼-E2;rE3E1¼0;rE3E2¼0;rE3E3¼0：考虑一个广义射影/-递归LP-Sasakian流形。然后，根据（2.1）式，由（3.24）式得出：rWPA2关于广义/-递归LP-Sasakian流形165ðÞ¼ ðÞ2 2z2 2z1212122113131331从的上述它可以被容易看到的对E3n;f;n;g;g是M上的LP-Sasakian结构.因此M3/;n;g;g是LP-Sasakian流形.利用上述关系，我们可以很容易地计算出非零COM。曲率张量R的分量如下：RE;EE1-aeE;RE;EE1-aeE;B由此得出结论，异戊烯 1/4-E;1/4-E;1/4-E -E;RE2;E3E2¼-E3;RE2;E3E3¼-E2166A.A. Shaanxi等人2 2z2 2z2 2z11z2 2z313233212 32 32131 321 22 13331 22 1我111ii以及可以通过对称性从这些中获得的分量。由于fE1;E2;E3g构成了三维LP-Sasakian流形的基，因此任何向量场X;Y;Z2v∈M可以其中v2p1-v1q1-0 ; u 1 q 1 - u 2 p1 -0;-u2p2-0从公式3.4，我们有/2rERX;YZAEi/2RX;YZ2写成X<$a1E1b1E2c1E3;Y<$a2E1b2E2c2E3;Z<$aEbEcE;B借助于（4.6）因此，所考虑的流形是一3维广义/-递归LP-Sasakian流形，它不是/-回归的。 这导致其中ai;bi;ci2R（所有正实数的集合），1; 2; 3，使得a;b;c不成比例。然后RX;YZfb3a1b2-a2b11-a2e2z-c3a1c2-a2c1gE1— fa3a1b2-a2b11-aec3b1c2-b2c1gE2— 20：24- 25：25 - 26：26 - 27：26 - 27：27 - 27：27 - 27：27 - 28：27 - 28：28 - 29：28 - 29 ：29 -29：29-2 9 ：29和G X; YZ a2 a3 b2 b3- c2 c3 a1 E1 b1 E2 c1 E3— a1a3根据公式4.1，我们有：向以下各方：定理4.1. 存在一个3维广义/-递归LP-Sasakian流形，它既不是/-对称的，也不是/-递归的.确认作者对审稿人提出的宝贵意见表示衷心的感谢。引用rE1R1/2a1b2-a2b1b3E3c3E2[1] K. Matsumoto，关于Lorentzian almost paracontact流形，þðb1c2-b2c1Þðb3E1-a3E2Þ];ð4:3ÞrE2R 第三季第1集2 2zBull. 山形大学Nat. Sci. 12（1989）151-156。[2] I.米哈伊河Rosca，关于Lorentzian Para-Sasakian流形，经典分析，世界科学出版社，新加坡，1992年，pp. 155- 169-b3c3E1 g-a1c2-a2c1aez第三季第1集[3] A.A. 加州大学阿基尔分校 德， G.C. 戈什河 洛伦兹准Sasakian流形，科威特J。Sci. Eng. 31（2）（2004）1-13。þðb1c2-b2c1Þðc3-b3Þae E1;ð4:4ÞrE3R由式（4.1）和式（4.2），我们得到[4] C.S. Bagewadi，Venkatesha，N.S. Basavarajappa，关于LP-Sasakian流形，Sci.系列A：数学。科学。16（2008）1-8。[5] U.C. De，K.松本，A.A. Shaanxi，On Lorentzian para-Sasakian manifold，Rendiconti del Seminario Mat.德梅西纳/2RX;YZu1E1第二季第2和/2<$G<$X;Y<$Z<$（3）（1999）149-156。[6] I. 加州大学米哈伊分校De，A.A.关于洛伦兹的para-Sasakian哪里v1E1流形，Korean J. Math. Sci. 6（1999）1-13。[7] C. Murathan，A. Yildiz，K.阿尔斯兰De，关于一类Lorentzian para-Sasakian流形，Proc. Estonian Acad. Sci.u1¼ b3 a1 b2- a2 b11- a2 e2z- c3 a1 c2- a2 c1;u2¼-fa3a1b2-a2b11-a2e2zc3b1c2-b2c1g;v1¼a1b2b3-c2c3-a2b1b3-c1c3;v<$b aa-cc-baa-cc：物理数学55（4）（2006）210-219。[8] A.A. Shawn，K.K. Baishya，LP-Sasakian流形的一些结果，Bull。数学Soc. Sci. 数学（2）第十九届全国人民代表大会常务委员会第十九次会议[9] A.A.Shawn，K.K. Baishya，On/-对称LP-Sasakian流形，横滨数学杂志52（2005）97同样，由式（4.3）/2rERX;YZpE1qE2;对于i¼1; 2; 3;14：7，哪里p 1/4b3b1c2-b2c1a2e2z;q ^fc3a1b2-a2b1-a3b1c2-b2c1ga2e2z;pab-ab fca2e2z-1-bg-bac-aca2e2z[10] A.A. Shawn，K.K. Baishya，S. 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