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=⊂==-.=−∈∈≥2=-2Journalof the Egyptian Mathematical Society(2016)24,508埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章有理六次曲线的分类穆罕默德·A.SaleemSohag University,Sohag 82524,Egypt接收日期2014年7月2日;修订日期2015年5月5日;接受日期2015年2015年6月16日在线发布本文将杨氏既约六次平面曲线表推广到有理不可约射影平面曲线(6,3,1)。数学学科分类:14H45; 14R20; 14H30; 14H50© 2015埃及数学学会。 Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)的网站上进行了介绍。1. 介绍确定给定次数d的平面代数曲线的所有可能构形是代数几何中的经典问题之一在本文中,我们研究复数C的域。我们用P2P2(C)表示复数域上的射影平面.亏格是与曲线C相关联的几何不变量,并且在CP2的情况下,通过Noether定理(参见即时[1]第614页或[2]第222页)可以计算为在代数几何中的重要作用例如,g为0的平面曲线C在情形g1,2,C分别称为椭圆曲线和超椭圆曲线.由亏格公式可以看出,直线和二次曲线没有奇点,不可约三次曲线至多有一个二重点。Yoshihara在[3d4、d5和d6次曲线分别称为四次曲线、五次曲线和六次曲线。本文主要研究一类非常重要的曲线,即不可约有理射影平面六次曲线。g=(d − 1)(d − 2)−.mP( mP−1),设P∈C是一个奇点,rP是该奇点的个数P∈Sing( C)其中Sing(C)是曲线C的奇点,mP表示P C的奇点的重数(包括P的无穷近点)。这个不变量非常重要,电子邮件地址:abuelhassan@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责奇点ν和ι ι(C)。对于rP1,P称为尖点.如果r P2,Saleem在[7]中引入了曲线C在P处分支的重数序列系统的概念,它解释了C在P处爆破多少次后,分支彼此分离。杨在[6]中给出了一个约化六次曲线列表在他的列表中,他展示了这些曲线的构形的存在在这里,我们推广到给出一个列表的不可约有理射影六次曲线的类型(6, 3,1)。1110- 256 X © 2015埃及数学学会。制作和主办:Elsevier B.V.这是一篇CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)的网站上进行了介绍。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.05.001制作和主办:Elsevier关键词有理曲线;六次曲线;奇点C在P.把ι(C)P设为(C)(rP1)。符号(d,v,i)用于d次曲线,有理六次曲线的分类509−→C−→···π2(π11)−-∈→Ic·· ·≥=∈⊂∈==+−-∈P01KP我i,0一,1i→i,sii−1我=在[8]中,Sakai和Saleem将所有可能具有多分支奇点的(d, d−2)型有理平面曲线分类他们C(k)πk(k−1)πk−1−→CC=C(0),本文将Tono在[9]中的结果推广到平面曲线上,(d,d − 2)与任何亏格。事实证明,其中k是有限正整数。我们回顾了重数序列m(C)=(m,m,. . . ,m)的(C,P).推广这些结果,我们有以下问题:是否任何有理平面曲线的类型(d, d3)是可转换成一条线的克雷莫纳变换?Flenner-Zauberberg在[11,12]和Fenske在[13]中已经讨论了尖瓣病例并给出了相应的回答。本文讨论了几类(6,3,1)型有理平面曲线的问题。为了构造曲线芽,Sakai和Tono在[14]中使用了二次克雷莫纳变换c= c C的(x,y,z)(xy,y2,x(zcx)),其中(x,y,z)是P2上的齐次坐标.2. 预赛设mi为C(i)在Pi处的重数,其中Pi为无穷大在C(i)上的点P附近。我们定义多重序列(C,P)的mP(C)=(m0,m1,. . .,m k),其中m0≥m1≥a−timesmk1. 序列的 (m,. . .,m,1,1),我们写(ma)。在这里,我们回忆一下当C在P处的分支数等于2时,PC的重数序列系统的定义(更多细节见[7,8]定义1. 两个分支的重数序列的系统定义如下:m(m,m)=. .m 1,0μ m。 . ..m1,ρm1,ρ+1,m1,ρ+2,. . . ,m1,s1,在本节中,我们研究一种用于构造平面的工具,P12m2,0m2,ρm2,ρ+ 1,m2,ρ+ 2,。.. ,m2,s2Cremona变换:C:(x, y, z)→(xy, y2,x( z−cx)),其中c∈C.2.1. 平面曲线令(C,P)(C2,P)是平面曲线芽,其中PC是一个奇点我们通过一系列的blowing,得到了奇异点(C,P)其中括号意味着芽通过相同的无穷接近点P和m(m)(m,m,. . .,m)是芽(C,P)的分支(i_i,P),i_(1,2)的重数序列.对于重数为d−3的双支奇点Q的分类,我们给出以下命题。UPSXπiX,i = 1,2,. . . ,k,除以P。设C(i)≠X是严格的命题1([7])。 设C是型有理平面曲线,C在Xi和E中的变换(也称为真变换)是整个分辨率的例外因 子 。 因 此 , C 在 X k 中 的 总 变 换 是 简 单 的 正 态 交 叉(SNC)因子DEC(k),如下图所示:(d,d3).设Q C是一个具有多重性d的双分支奇点3 .第三章。然后,研究了重数序列系统,的Q被分为以下两种类型(r,s,v,k> 0,i,j≥ 0):(1)具有相同切线线(2)分支与不同的切线线好吧k. 1Σ⎫⎬k1k+j好吧两千块。2 2⎩k1 k+ j好吧两千块。2英里。1Σ⎫⎬⎩K1K+J 1⎭. .k. 1ΣΣk+r1k好吧 两千块。22⎩ k+r1 k好吧两千块。22k+j−r⎩ r1r2好吧2k−1。22k−r−1r1r. . 2k−1。2英里。. .2k−12k−12r2r+i. . 2k2k+j2r2r+i. .2k−12k−13r3r+s. .2k−1 2k+j3r3r+s, 2. .2k−1 2k+j3r+ 1 3r. .2k−1 2k+j3r+ 2 3r, 2. . 2k2k+j3r 3r+s. . 2k2k+j3 R 3r+s, 2.. 2k2k+j3r+ 1 3R.. 2k2k+j3r+ 2 3r, 2. . 3k3k+v3r 3r+s. .3k 3k+v,23r3r+s. .3k 3k+v,23 R 3r+s, 2.. 3k3k+v3r+ 1 3R.. 3k 3k+v,23r+ 1 3r.. 3 K3k+v3r+ 2 3r+s, 2.. 3k 3k+v,23r+ 2 3r+s, 2. .3k+1 3k3r+ 2 3r, 2Matsuka和Sakai作为510M.A. Saleem1ΣΣk+j1k−11有理六次曲线的分类511=··∈∈=+==-=-={个5122124112123151156721由于我们处理的是(6,3,1)型曲线,那么利用上述命题和[7]中的其他结果,我们得到了如下引理。引理1([7]). 设P是单支或双支单支,现 在 , 二 次 Cremona 变 换 的 连 续 复 合 是对 于c1,. .,c kC可以写为具有多重性最大点3.然后,将P的重数序列系分为以下类型(k> 0,i ≥ 0):−1(x, y,z)=.xk+1,xky,ykz+k+1i=2ck+2−ixiyk+1−i。2.1.1. 二次克雷莫纳变换在这一节中,我们给出了一个工具来构造曲线芽的一个分支和两个分支,我们将在本文中使用。设(x,y,z)P2 是齐次坐标。酒井和Tono在[14]中定义了(退化)二次Cremona变换<$c:(x,y, z)→(xy,y2,x(z-cx)),其中c∈C。这个变换的逆是{\displaystyle {\frac-1}(x,y,z)(x2,xy,yz cx2)}。通过适当地改变坐标,我们可以将这两条线l和t,使得l:x0,t:y 0,并且点O,A和B具有坐标O(0,0,1),A (1,0,c)和B(0,1,0)。我们注意到,θ c的基点是O,A和对应于l方向的O的无限近点,θc−1的 基 点是O,B和无限近点。”[11]“是的,是的。定义2. 让我们唱(C)P1,P2,. . .,P s是所有有理平面曲线C上的奇点C的重数序列在点Pi处的系统的集合称为C的数值数据,记为Data(C)=[mp1(C), mp2(C),. ,mps(C)]。3. 主要结果在这一节中,我们构造了几类具有双分支奇点的(6,3)型有理平面曲线,并证明了这些曲线可通过适当的Cremona变换变换为直线。杨在[6]中给出了一个六次曲线列表他证明了这些曲线的构形的存在。在这里,我们推广到给出一个表的不可约六次曲线的类型(6, 3, 1)。我们的结果写在下面的定理中。定理3. 设C是(6,3,1)型有理平面曲线.然后,数据(C)被分类如下(直到投影等价):第一类(最大重数是单支奇点(尖点))第二类(最大重数是具有两条重合切线的双枝奇点)号数据(C)编号数据(C)编号数据(C)1次(3,2),(2),(2),(2),.(3)(2),.(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2).2英里。1ΣΣΣ31212 21 12(3,2),(2),(2),.(3)、(2)、.(2)、(2)、(2)、(3)、(4).2英里。1ΣΣΣ2 31 12 31 13、(3,2),(2),(2),.12031年(3),.(2)、(2)、. .2英里。1ΣΣΣ41 13 31 14(3,2),(2),.(3)、(2)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)、(13)、(14)、(15)、(16)、(17)、(18)、(19)、(19)、(2) 、(2)、. .2英里。1ΣΣΣ5(3,2),(2),(2),.(3)、(2)、.(2)、(2)、. .2英里。1ΣΣΣ6(3,2),(2),.(3)、(2)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)、(13)、(14)、(15)、(16)、(17)、(18)、(19)、(19)、1ΣΣ6分(2),. . 2英里。1ΣΣΣ2 212161 17、(3,2),(2),(2),(2),.(3)、(2)、.(3)(2)(3)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(4)(4)(5)(5)(6)(6)(7)(7)(8)(7)(8)(9)(9)(.2支链数1重数序列系2.. - 是的好吧Σ(3k),( 3k, 2)2 11K1、⎨ ⎬22我⎩ 1k.512M.A. Saleem1111111111英里。1ΣΣΣ2 2 221 221 18、(3,2),(2),(2),.(3)、(2)、.(3)、(2)、. .2英里。1ΣΣΣ3 2 32 31 19(3,2),(2),.1分37秒(3),.1年9月(3),(3),. .2英里。1ΣΣΣ4 22 410(3,2),(2),(2),.1千38万(3),.1ΣΣ1110分(3),. . 2英里。1ΣΣΣ2 3 231 111(3,2),(2),.(3)(3,2),(2),. 111(3,2),(2),(2),. .2英里。1ΣΣΣ3 23(接下页)有理六次曲线的分类5112(2),( 2),( 2),(23)、⎭⎦32422211111111(续)第一类(最大重数是单支奇点(尖点))第二类(最大重数是具有两条重合切线的双枝奇点)号数据(C)编号数据(C)编号数据(C)12(3,2),.(3)、(3、2)、(2)、. 112(3,2),(2),. .2英里。1ΣΣΣ21 121 1[13](3,2),(2),(2),.(3)(3,2),.1年13月(2),(2),(2),. .2英里。1ΣΣΣ141312114(3,2),(2),. 142(3,2),(3,2),(2),.1年14月(2),(2),. .2英里。1ΣΣΣ21 121 115(3,2),(2),.143(3,2),(3,2),.1个15英寸(2),. .2英里。1ΣΣΣ315121 116(3,2),.(3)、(3)、(2)、.1分16秒(3),. .2英里。1ΣΣΣ36 217.第(3)、(2)、(2)、(2)、(3)条。(3)、(3)、(2)、(2)、.17岁。.2英里。1ΣΣ2 311213118.第(3)、(2)、(2)、(2)、(3)条。(3)、(3)、(2)、.1年18月(2),(2),. .2ΣΣΣ41212 2219.第(3)、(2)、(2)、(3)、(4)条。(3)(3)(2),.12019年12月(2),. .2ΣΣΣ2 4 43 220日(3)、(2)、(2)、.(3)(3)(3)((3)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)、(13)、(14)、(15)、(16)、(17)、(18)、(19)、(19).2ΣΣΣ51 1 121日(3)、(2)、.(3)(3),(4),. 121(3,2),. .2ΣΣΣ61 1- 是的1ΣΣ121没关系2Σ2⎫⎬⎤12- 是的1ΣΣ1222(3),( 22),( 23),22⎭⎦23(3)、( 2)、( 24)、2324512M.A. Saleem22⎩(3)⎭⎦(3)、(2)、(2)、.12007年2月27日,.2ΣΣΣ262827第III类(最大重数是具有两条不同切线的双支奇异)号数据(C)编号数据(C)编数据(C)1ΣΣ(2),( 2),( 22),( 23),.ΣΣ2115ΣΣ(32,2),.ΣΣ2129⎡(3),(22),好吧2Σ22⎫⎬⎤2(22),( 22),( 23),.ΣΣ2116(32),( 2),.ΣΣ2130⎡(3),(2),⎩1⎭好吧2Σ22⎫⎬⎤⎦⎩ ⎭1(接下页)⎦没 关系2Σ2⎫⎬⎤12- 是的1ΣΣ12没 关系2Σ2⎫⎬⎤12- 是的1ΣΣ没 关系2Σ22⎫⎬⎤2526Σ(3)、( 2)、( 2)、(2)、(2)、(3)、(2)、(2)、(3)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)、(9)、(10)、(10)、(11)、(11)、(12)、(13)、(12)、(13)、(14)、(15)、(16)、(17)、(18)、(19)、(19)、(19)、(19)13(3)、(2)、(2)、.1ΣΣ25岁(22),1好吧2Σ24⎫⎬2⎭⎦Σ1 3⎩ 12⎭21 128Σ(3)、( 23)、.1ΣΣ好吧2Σ2⎫⎬14⎩ 13⎭24(3)、( 25)、2443有理六次曲线的分类513类(S1)(S二)数据(C)(33, 2)[(三)、(二)][(32),(续)第III类(最大重数是具有两条不同切线的双支奇异)号数据(C)号数据(C)号数据(C)3(2),(2),(2),(2),.2ΣΣ4117(3),(3,2),.2ΣΣ1没关系2Σ2⎫⎬⎤(2)、(22)、( 23)、⎭⎦没关系2Σ2⎫⎬⎤(23),( 23),⎭⎦没关系2Σ2⎫⎬⎤(22)、( 24)、(21)⎭⎦没关系2Σ2⎫⎬⎤第(2)、(25)、(1)段⎭⎦没 关系2Σ2⎫⎬⎤第二(26),第二1⎭⎦没关系2Σ2⎫⎬⎤第(3)、(23)、(1)段⎭⎦没关系2Σ2⎫⎬⎤(3,2),( 22),⎭⎦没 关系2Σ2⎫⎬⎤(32),(1)⎭⎦没关系2Σ22⎫⎬⎤(2),(22),( 22),没关系2Σ22⎫⎬⎤(22),( 23),没 关系2Σ22⎫⎬⎤(25),31没关系2Σ23⎫⎬⎤(2),(2),(22),没关系2Σ23⎫⎬⎤第(2)、(23)、(1)条没 关系2Σ23⎫⎬⎤(24),没关系2Σ23⎫⎬⎤第(3)、(2)、(1)条没 关系2Σ23⎫⎬⎤(3,2),没关系2Σ24⎫⎬⎤(2),(22),(1)没 关系2Σ24⎫⎬⎤(23),没 关系2Σ24⎫⎬⎤第三章(3)、第四章(1)没 关系2Σ25⎫⎬⎤(22),没 关系2Σ26⎫⎬⎤(2)、101、102、103、104好吧2Σ27⎫⎬⎩1⎭4(2),(2),(2),.2ΣΣ2 4118325(2),(2),.2ΣΣ3 4119336(2),(2),(2),.2ΣΣ5120347(2),(2),.2ΣΣ2 5121358(2),(2),.2ΣΣ6122369(2),. 2ΣΣ71233710(3)、(2)、(2)、.2ΣΣ2 21243811(3)、(2)、(2)、.2ΣΣ31253912(3)、(2)、.2ΣΣ41264013n(3,2),(2),(2),.2ΣΣ21274114n(3,2),(2),.2ΣΣ3128备注1. 对(6, 3, 0)型有理平面曲线进行了分类[13]如:在文[7]中,我们讨论了Fenske曲线A的奇点,给出了所有Fenske曲线及其定义方程的完整比较通过应用一个合适的二次克雷莫纳反式-514M.A. Saleem--==-作为选择具有特定数据(C)的初始曲线C的技术,我们应用合适的二次Cremona变换的逆这些给定数据的初始曲线不是唯一的(更多细节见[7],第4.2(S1):我们从五次曲线C开始,数据(C)=[(3, 2),(22 ) ] 。 我 们 选 择 两 条 直 线 l 和 t , 使 得l·C=4O+R,t·C=2O+ 3P。我们发现Pr=O,重数序列为mPr=(33,2); Or=S,重数序列为mOr=(1).(S2):请重新开始。五次曲线veC,其中Data(C)=构造,我们给出了尖点有理平面的构造(3, 2),( 2),1.我们选择线l和t使得六次曲线通过适当地改变坐标,我们将两条直线l和t以及点O、 A和B设置如下:X0,t:y0,O(0,0,1),A(1,0,c)和B(0,1,0)。在下面的内容中,应用dfc,我们从曲线C构造曲线Cr,其中Cr是C经由dfc的严格变换。l·C = 2O +3R ,t·C = 3O +2A 。我 们可以看 到,Rr=BmRr(3 2,2)和OrO with mOr(三)、(S3):在这种情况下,我们从尖点三次曲线C开始。我们选择两条直线l和t,使得l·C=3R,t·C=3P,其中P是一个凸点。我们选择c1使得1有理六次曲线的分类515=2→ −∈=2=.Σ1⎭- 是的Σ22⎬2- 是的Σ24⎬2- 是的Σ2⎬2=⎩:在这种情况下,我们从四次曲线开始141⎩⎩.Σ.Σ=-并且Or=N,其中mOr =(22).=1A1=(1,0,c1)/=P。我们发现,Rr=B,重数为-,Pr=Or=O,重数序列为mPr=元序列mRr=(3,2)和Or=O,其中mOr=(32).=. .2英里。1,且Rr=B,m=(2)。(S4):我们从五次曲线C开始,数据(C)[(3)、( 23)]。我们选择两条直线l和t,如图(3)所示。4).选择c1使得A1=(1, 0,c1)/=P。我们发现,3 .第三章。(II,15)121- 是的1ΣΣRrC与Rr=B, Or=S,其中mOr=(2)和Pr=O,其中mPr=(三)数据(C)=(22),1. 我们选择两条线l和t使得l·C=2O+2R和t·C=O+3P。我们发现Pr=Or=O,重数序列mPr=4. 建设. .2英里。1,且Rr=B,m=(2)。12 1RR3在这一节中,我们构造定理中的一些曲线,3通过使用合适的Cremona变换。我们处理的一些案件没有包括在杨的名单。其他曲线可以以相同的方式构造通过(II,18):我们从数据(C)[(2 2),(2 4)]的五次曲线C开始。我们选择两条直线l和t,l·C = 4 O+ R,t·C = 2 O +2 P + S。我们发现,Pr=Sr=O,重数序列mPr=1、适当地改变坐标,我们可以假设l:x=0,t:y=0,O=( 0, 0, 1),A=( 1, 0,c)和B=(0, 1, 0)。在什么并且Or=N,其中mOr2=(2 2).如下,应用xrc:(x,y,z)(xy,y2,x(zcx))对于cC,我们从曲线C构造曲线Cr,其中Cr是C通过αc的严格变换。(I,5):我们从数据(C)[(2),(2),(2)]的四次曲线C开始。我们选择两条直线l和t,l·C = 2O + R + S,t·C = O +3 P。我们发现,Pr=O,重数序列mPr=(32,2),且(II,19):我们从数据(C)[(2 2),(2 4)]的五次曲线C开始。我们选择两条直线l和t,l·C = 4 O+ R,t·C = 2 O +2 P + S。我们发现,Pr=Sr=O,重数序列mPr=,2和OrN,其中mOr (1)。(II, 22):在这种情况下,我们从五次曲线C开始,数据(C)=[(2),( 2),( 2),( 23)]。我们选择两条线lRr=Sr=B,其中mRr=. 1美元。和t使得l·C=4O+R和t·C=2O+2P+S. 本文证明了Pr=Sr=O具有多重序列(I, 6):我们从四次曲线C开始,数据(C)=- 是的2Σ2⎬[(2)、( 22)]。我们选择两条直线l和t,使得l·C=2O+R+S和t·C=O+3P。我们发现Pr=OmPr=,并且Or=N,其中m Or =(2)。2重数序列mPr=(32,2),S=Rr=B,m Or=1 .一、(II, 25):我们从五次曲线C开始,数据(C)=[(22),( 24)].我们选择两条直线l和t,使得l·C=4O+R,t·C=2O+2P+S。我们发现,(一,12):Webeginw。五次曲线veC满足Data(C)=(2)、( 22)、11. 我们选择两条线l和t,=Sr=O且重数序列mPr=1,3l·C=4OR和t·C = 2O +3P。我们发现,(II, 26):我们从五次曲线C开始,数据(C)=Pr=O且mu+线性序列m=(3,2),且[(22)( 24)]。我们选择两条直线l和t,使得l·Or=S with mOr =(1)。Pr2C=4O+R,t·C=2O+2P+S。我们发现,=(I, 32):我们从具有Data(C)的四次曲线C开始[(2)、( 22)]。 我们选择两条直线l和t,l·C=2O+R+S,t·C=O+3P。 通过应用=Sr=O重数序列m Pr =并且Or=N,其中m Or =(1)。、12⎭二次 克雷莫纳 转型,我们 得到 Pr=O重数序列mPr=(32),Rr=Sr=(II,24):我们从具有Data(C)= {(2)}的三次曲线C开始。我们选择两条直线l和t,使得l·C=3R,B与mRr=. 1美元。t·C=2P+S。我们发现,t_t_P_r_n=S_r=O,其中m为-(一,37):E.W.estat,具有四次曲线veC,其中Data(C)=11重复序列mPr=M,RrB,12⎭. 我们选择两条直线l和t,使得l·3C=2O+ 2R和t·C=O+3P。我们发现Pr=O,重数序列mPr=(32),且Rr=BRr(3).(II, 21):在这种情况下,我们从具有Data(C)={( 2)}的三次曲线C开始。我们选择两条线l和t,t·C=2P+S。 我们找到了。.这是一个很好的例子mRr=.1美元。11⎩2⎭1516M.A. Saleem2=Sr=O,重数序列mPr=,2(11,13):我们开始。ith四次曲线veC,其中Data(C)=且Rr=B,其中mRr=(3,2).1(2)、( 2)、. 我们选择两条线l和t,(I I,27):W。eb1l·C=2O+ 2R,t·C=O+3P。我们发现2、(23)1. 我们选择两条直线l和t,l·C=4O+R,t·C=2O+ 3P。我们发现Pr有理六次曲线的分类5171⎡⎧ ⎫=⎤- 是的Σ2⎬2.Σ21−·=+·=={个- 是的Σ24⎬2Or=OwithmOr=⎩- 是的Σ⎬⎩⎭·=+·=.. ΣΣ =={个=-=O,重数序列mPr=. .2个月,和确认Or=Nwith mOr =(2)。3作者要感谢裁判的宝贵和(II, 28):我们从五次曲线C开始,数据(C)22第1章 ,(2 2) 我们选择两条线l和t,t·C=2O+3P。我们找到了有用的评论。引用[1] E. Brieskorn,H. Knörrer,Plane Algebrat Curves,Birkhäuser,Basel,1986.Pr=O,重数序列mPr=并且Or=N,其中m Or =(1)。、13⎭[2] Theo de Jong,Gerhard Pfister,Local Analytic Geometry,Vieweg,2000.[3] H. Yoshihara,关于平面有理曲线,Proc.JPN. Acad. 55(A)(II I,10):Eugeneebeginnw.五次曲线veC满足Data(C)=(1979)152-155.[4] H. Yoshihara,具有一个尖点的有理曲线,Proc. Am. 数学(22),( 23),1. 我们选择两条线l和t,Soc.89(1983)24-26; H. Yoshihara,具有一个尖点的有理曲线,Proc. Am. Math.Soc.100(1987)405l·C=2O+3R,t·C=3O+2A。我们发现Rr= B,重数序列mPr =(3),[5] H. Yoshihara,奇点为尖点的平面曲线,Proc. Am.Math.Soc.103(1988)737[6] J. - G.杨,具有简单奇点的六次曲线,东北数学。.J. 48(1996)203[7]M. 萨利姆 对 分类 理性 平面曲线(III,16):在这种情况下,我们从三次曲线C开始,数据(C)(二)、我们选择两条线l和t,lC2R S和tC3 P我们发现Rr2Sr=B,重数序列mRr=,并且的 类型(d, m), 兰伯特 Acad. 出版业, 2011 国际标准书号:978-3-8443-9988-2.[8] F. Sakai,M. 陈文,(d,d2)型平面有理曲线,国立台湾大学数学研究所硕士论文,(2004).[9] F. Sakai,M.Saleem,K.型超椭圆平面曲线(d,d − 2),Contribut. 代数几何51(1)(2010)31PrO,其中mRr(3 2)。(III,25):我们从具有Data(C)(2)的 三 次曲 线 C 开 始。我们选择两条直线l和t,使得和tC3 P。 我们发现,Rr SrB与多-- 是的2Σ2⎬=[10] T. Matsuoka,F.坂井,有理尖点平面曲线的次数,数学。Ann. 285(1989)233[11] H. Flenner,M.张文龙,等.一类有理尖点平面曲线的构造.北京:机械工业出版社,1996.[12] H. Flenner,M. Zauberberg,有理尖点平面曲线类型(d,d −3),数学。不210(2000)93重复序列mRr=1mRr =(32 0)。,以及PrO,⎭[13] T. Fenske,有理1-和2-尖点平面曲线,Beiträge Alg.Geometrie 40(2)(1999)309-329.[14] F. 酒井K.Tono,(d, d−2)型有理尖点曲线,(III, 38):我们从四次曲线C开始,数据(C)={(23)}。我们选择两条直线l和t,使得l·C=O+3R和t·C=O+2P+A。我们已经找到了一个Pr=单尖或双尖,Osaka J. 数学37(2000)415Or=O,重数序列mPr=1,且Rr=B,其中m Rr=(3).11⎩⎩⎭
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