埃及数学学会：三阶有理微分方程全局渐近稳定性

n¼¼¼¼¼¼n¼¼nJournalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，62埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章一类三阶有理微分方程R. 扎伊德埃及开罗现代工程技术高等学院基础科学系接收日期：2014年1月27日;修订日期：2014年2月28日;接受日期：2014年3月3日2014年4月5日在线发布本文讨论了一类差分方程所有解的全局渐近稳定性轴n-2xn1¼BCx xn-1 xn-2;n<$0; 1;.其中A;B;C是正实数，初始条件x-2;x-1;x0是实数。虽然我们已经给出了该方程解的显式表达式，但其振动性仍值得讨论。2010年数学学科分类：39A20; 39A21; 39A23; 39A30？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍差分方程，虽然它们的形式看起来很简单，但要彻底理解它们的全局性质是非常困难的。他们的解决方案的行为可以参考[1研究xn1和xn1xn-1;n0; 1;.. .1×n×n-1xn-1;n0; 1;.-1xx由于我们对高阶非线性有理差分方程知之甚少，因此，研究高阶非线性有理差分方程的解是非常重要的。n n-1他还[7]讨论了差分方程Cinar[5，6]研究了所有的全局渐近稳定性，有理差分方程的正解xn1axn-1;n0; 1;.. .1个bx xStevic′[8]证明了差分方程的每一个正解电子邮件地址：abuzead73@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责xn1xn-1;n0; 1;.. .100万x x收敛到零在[9]中，H. Sedaghat确定了有理差分方程1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.03.001制作和主办：Elsevier关键词差分方程;局部渐近稳定;周期解;振动n-1n-1一类三阶有理差分方程的振动性63Bpnpp¼¼1/4-¼-¼>n1Xx布n1X BambxBn1BCx xX在纸上，我们假设，yy.Xgx为n！1.一、¼ycn-321k¼0P>þX---><>Q-CUPx¼axn-1;x¼axnxn-1;n <$0; 1;.nn-1nn-2q3 Cxn¼y减少Eq。（1.1）至其中a;b>0。在[10]中，作者研究了全局行为，方程y<$cyn-2;n<$0; 1;.1：50两个差分方程的周期性n11年y yxn= 1¼xn-21xnxn-1xn-2;n<$0; 1;.n n-1n-2其中，c¼ A。2. 线性化稳定性和方程的解（1.5）本文讨论了系统的全局稳定性和周期稳定性差分方程所有解的特征x<$Axn-2;n<$0; 1;...1：10nn-1n-2考虑差分方程xn= 1;xn=1;. . . ;xn-kn;n<$0;1. . .1：2分在这一节中，我们研究线性化稳定性分析和差分方程的解决方案。（1.5）。很明显，Eq。（1.5）具有平衡点y′ <$0和y′<$03c-1。期间-2 -10个下面的定理描述了等值点的行为。其中f：R k1 ！R.定理2.1. 假设a-Ci 对于任意的n2N. 则定义1.1[11]。平衡点为Eq。（1.2）A以下陈述是正确的。1/4点x<$2R使得x<$f<$x<$;x<$;.. . ;x′。定义1.2[11]。(1) 一个平衡点<$x为方程。（1.2）称为局部稳定的，如果对每个s>0;9d> 0，使得每个解fxng与初始条 件x-k;x-k1;. ..;x02]<$x-d;<$xd½ 使 得 xn2]<$x-s;<$xs½;8n2N。(1) 如果c1，则then0是局部渐近稳定的，y3c1不稳定。(2) 如果c1，则y0是非双曲点。(3) 如果c>1，则<$y0是一个推斥点，<$y3c1是非双曲点。定理2.2. 设y; y和y是实数，否则，我们说x是不稳定的。(2) Eq.的平衡点<$x（1.2）局部调用一年四季2 1 0y-Pnci对于任何n2 N. 然后是Eq的解渐近稳定，如果它是局部稳定的，并且存在c>0，使得对于任何初始条件，-2- 1（1.5）8>y0n-11/4Qn-11aP3j-1ckx-k;x-k1;. . . ;x02]x-c;x<$c1/2，相应的解c3¼03P3J;n<$1; 4; 7;.. .¯ ¯fxng趋向于x。>-2>13J1个ak¼0Ckk¼0(3) 一个平衡点<$x为方程。（1.2）称为全局吸引子，如果每个解fn收敛于n 2 1 一3个jCkn1j¼010aP3 jbck变量的变化ny;n<$2; 5; 8;.. .12：1064R. 扎伊德PYPPMPYPMPYP函数，设x′bean3米-2-2j¼0 1个国家a3个jk¼0Ck-11个国家a3j1ckk<$0XMmk0c3031CUP(4) 方程的平衡点<$x （1.2）全局调用渐近稳定如果它是局部渐近稳定的全局吸引子>>：ycnQn1 一3 j-2ckPk¼0k¼0;n <$3; 6; 9;.. .0一类三阶有理差分方程的振动性65与Eq.（1.2）jl/100a证据 我们有这个66R. 扎伊德3j-1ckk¼0一类三阶有理差分方程的振动性67K联系我们@fx';. . . ;x′yn-i;n<$0;1;2;.. .1：3分y1¼y2c168R. 扎伊德;y2¼y1c1个国家a和y3一类三阶有理差分方程的振动性69真：3米-1i¼0@xn-i—1个国家a—1a1c与Eq. （1.3）yc11a1 cc2Kkk1-@fðx¯；. . . ;xkk-i<$0：1：4如公式（2.1）所示。假设m>1。然后70R. 扎伊德i¼0@xn-i根据公式（2.1），我们可以写出：一类三阶有理差分方程的振动性71P3j-1ck72R. 扎伊德定理1.3[11]. 假设f是C1yyc一类三阶有理差分方程的振动性73k<$0;74R. 扎伊德j¼0平衡点Eq.（1.2）。则以下语句是y¼ym-11a3jkc¼;(1) 如果所有根的Eq。（1.4）位于开圆盘jkj1中，则<$xyycm1a3j-2ckk¼0ycm-11a3j1ckk¼0一类三阶有理差分方程的振动性75局部渐近稳定(2) 如果至少有一个根的方程。76R. 扎伊德（1.4）绝对值大于1，则x不稳定。3米0一类三阶有理差分方程的振动性77然后第1页1个 国家a3j-1ckk¼00j¼078R. 扎伊德1个国家a3j2ckk¼0一类三阶有理差分方程的振动性79YPPPP3jj0P3jj0P-2KþKP P>YYY->：1年3个月am-1k¼0¼100 a、c、km-1k¼0¼100 a、c、k-2j¼0j¼0100a3j2ckk¼01年 3月jam-11aj¼03个jk¼0Ck-2j<$0k<$0-2j<$0k<$0我的天啊！-1作为m！ 1和k¼0-23个jk¼03m² 1推论2.3。 假设c/1和a/yyy-12u1u212u1u21231212123（1）如果c1，则fyngn<$4-2收敛到零-22.！-Xþ1个a3j-1ck1个a3个jCk1个a3j1ck-2¼cy3m-21米长3米x3米-1y3米-2y3m² 1¼M1年3个月a-j013j1amQm-1Cc1 一3 j-1ckk¼0My2j¼0 1 一3个jCk公司简介P¼yexpln1年3月j a1天cmQm-1Pk¼0ycmQm-1Pk¼0ycmQm-1Pk¼0j¼0-2j/4 0100a3个jck1k¼0j¼0100a3 j1ck0k¼0j¼0100a3j2ckk¼0.Xm！Q1aP3j-1ckQ1aP3j-1ck11/4年表示，在1993年，k¼0公司简介¼1米长Qm-11个a3j-1ckPk¼01米长1个aP3m-1ckK. Xm.快！.P3m-11000米-1。P3J-1Σj¼0y cm11 ack¼0j¼01加仑/ 升. ... 你好！1/4。QPPXm11ycm1Qm . P3j-1ckycm1Qm . P3j-1ckPm1下午。1ΣJ2¼Qm-1。P3jck. 3mckQm . P3jckvergent。同样，y3m2！0作为！0作为m！1和y3 mycm1a3 j-1ckk¼01/4年：m！ 1.这就完成了证明。H这就完成了证明。 H定理3.2. 当量（1.5）有周期3解nu;u;c-1;u;u;c-1;.. .当c = 1时，-2 -10个和 fu; u; u;u;u;u;. . G与 u u u<$a <$0当任何n2N。然后是Eq的解。（1.5）1 2c/1。3 1 2 312 38>Y-2>n-311993年12月3日1年3月3日jj¼0;n ¼ 1; 4; 7;.证据 案例c显然，nu;u;c-1;u;u;c-1;. .o是周期-3<>n-321年3月3日j1 2u1u21 2 u1 u2yn<$y-1>j¼01年3月3日j;n<$2;5;8;.. .12：20Eq的解 （1.5）。现在让F…;u1;u2;u3;u1;u2;u3;. . G是Eq的周期3解（1.5）。然后>n>：03第1页1 3j-1a; n3; 6; 9;.103jau1¼cu11uu u u;u2的cu2uu u uu;u3铜3你好，我是说：3. 周期性与全局稳定性定理3.1. 假设fyng1n2是方程的正解。作为c-1，我们有u 1 u 2 u 3 ¼ c - 1。案例c¼1一¼þ¼y-2 Cm1y-2 Cm11年 3月jak¼0y-2 表示，ln1þ1个国家a3 m-1ckAC3mk¼0y-2 实验-aj¼01年 3月jaOOOJ2！哦！ 1个;以来是骗-j¼0Oj¼0k¼0j¼0k¼0j¼01个单位aCk33y80R. 扎伊德-设1/40。利用公式（2.1），可以看出：（1.5）。 则以下状态m²e-nts为真。18>y;n ¼ 1; 4; 7;.（2）如果c≠1，则fyng1n证据1/4 - 2收敛到零。yn1;n¼ 2; 5; 8;.y0; n <$3; 6; 9;.所以我们(1) 设fyng1n2是方程的正解。（1.5）。然后y3 m ² y0;y3 m² 1²y1和y3 m2<$$>y-2;n <$0; 1;.y<$ yn-2c y<¼-一类三阶有理差分方程的振动性81;n<$0; 1;.现在假设y-2<$u1;y-1<$u2;y0<$u3。它遵循