埃及数学学会：二阶非自治微分方程收敛性研究"

6ðÞ212-XXJ吉吉jjð Þþ þð Þ ¼ ð Þþ ð Þþð Þ ¼ ð Þ ð Þ¼Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，27埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章二阶非自治微分方程的收敛性ErdalKorkmaza，CemilTuncb，*aMusAlparslan大学文理学院数学系，49100Mu，s，土耳其b土耳其凡65080尤兹乌尼克乌伊尔大学理学院数学系收稿日期：2013年11月28日;接受日期：2014年2014年3月17日在线提供本文考虑一类二阶x00mmm tt f ff fx0m mtttt gggtxmtppt;x;x0m：利用李雅普诺夫函数方法，讨论了方程解的收敛性. 我们的发现推广了文献中的一些早期结果2000年数学潜规则分类：34D20; 34C11; 34D05？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍在文献中，一些作者研究了二阶非线性微分方程解的定性行为。在这个意义上，关于二阶非线性微分方程解的收敛性的重要结果已经得到，参见Cartwright[1]，Ezeilo[2值得注意的是，Cartwright[1]证明，如果g00存在且f和g0对所有x都严格正，则微分方程*通讯作者。联系电话：+90 4322251806。电子邮件地址：korkmazerdal36@hotmail.com（E.Korkmaz），cemtunc@ yahoo.com（C. Tunc）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevierx00fxx0Gxet收敛，条件是g00和g00x是足够小的。在f =常数的特殊情况下，方程的解的收敛并不总是需要对g00加以限制。后来，Loud [6]考虑了二阶微分方程x00cx0Gx其中c>0是常数。 作者证明了，如果g0存在且对所有x满足g0Pb>0，则最终位于x 6 A范围内的方程的所有解x t都是收敛的，只要maxg0x<1c2 。后来，在[2] 中，Ezeilo讨论了Loud[6]的收敛性结果。他证明了即使当g为不可微所以长作为的增加的比率0 0，其中1 6 v 6 2。所有的Eq。（1）收敛。定理2. 设x1t;x2t是方程的任意两个解. （一）.假设定理1的所有条件成立。那么，对于在1 6 v 6 2范围内的每个固定v，存在常数D2、D3和D4，使得以验证那里建立的收敛结果。我们的目的是将Ezeilo[2]建立的结果推广到一个St26D2St1ex p.-D3t2-t1d4t2/vsdst1非自治二阶微分方程，方程。（1）求解的收敛性。应该注意的是，据我们所知，我们没有在文献中找到任何基于Ezeilo[2]结果的工作。或许，本案可能存在困难是由于施工对于t2Pt1;哪里St或者定义一个合适的李雅普诺夫函数，该函数对于比[2]中更一般的二阶微分方程的解的收敛性产生任何有意义的结果。此外，众所周知，二阶微分方程在许多科学领域具有重要的科学意义。在这里，我们不想给出应用程序的细节。因此，研究这类方程解的定性性质是十分重要的.值得一提的是，本文是文[1-9]中工作的继续为了实现我们的目标，我们定义了一个合适的李雅普诺夫函数方程。（1）得到了保证方程（1）解收敛的充分条件（一）.我们的结果与文献[1也就是说，这里考虑的方程和建立的假设与上述工作中的不同。值得注意的是，本文也在文献中的主题的贡献，它可能是有用的研究人员工作的非自治二阶微分方程的解的定性行为这一案例对于本文的新颖性和对文学的主题进行改进当x1≤t≤ 0且t1≤ 0时，我们有下列推论。推论1. 假设在等式中p<0。定理1的假设对任意g- 0成立。然后方程的平凡解（1）指数稳定。推论2. 如果p-0 和 定 理 1 的 假 设 对 任 意 gg-0 和 n 1/4 0 成立，则存在常数D5> 0，使得方程的每个解x t。（1）满意度jxtj6D5;jx0tj6D5：定理2的证明写作Eq. (1)作为一阶方程组，我们得到x0¼y;107mmy0¼-mtfy-ntgxrt;x;yqt：设方程组（7）的两个解为：x= 1 ; y =2;y= 1; y = 1;y= 2。定义1. 方程的任意两个解x1t;x2t（1）说为了证明收敛定理，我们定义一个功能如果x 1 - x 2，则收敛（彼此）！ 0;x01-x02！0asD22个d22dt！1.一、2V¼ab½ab[医]甲状旁腺素2. 主要结果其中a;b;d是正实数。实际上，我们可以将（8）中的函数后推如下：2Vd2d2d2定理1.我们假设存在正的常数关于我们þaðbþ1Þxþay:ð9Þm1; m0; n1; n0; a; a0; b和b0，使得m06m不等于6m1;n06n不等于6n1;b6n21显然，函数V是正定的。因此，我们可以找到一个常数D6>0，使得D6x2y26V;10其中D1/4min.db1;d。此外，通过使用估计jxjyj61y2x2，wea6mt½fy2-fy1]6a;y可以得到常数D2>0，这样y2-y102 17有一个连续的函数f∈t∈f使得jrt;x2;y2 -rt;x1;y1j6/tfjx2-x1j jy2-y1jg;3对于任意的t; x1; y1; x2; y2，V6D7x2y2;11其中D7dmax a a1b b1; ab1。使用估计（10）和（11），我们有ZX你好，2W2ðÞ ¼ð Þ1DT1= 2*2ΣΣ2212122213b/1332121181¼b½-][]]2012-1Þþ阿卜þÞ½-][]]2012-1Þ11¼b½12113321AB212162B21ab21二阶非自治微分方程的收敛性D6x2y26V6D7x2y2：12下面的结果可以很容易地验证WV。H引理 1. 让 的 函数W tW x2x1; y2y1定义为：和li;ki是严格正的常数，l1l2l3¼1;k1k2k3¼ 1：显然，W11P0.由于每个W12、W13在它们各自的变量中是二 次 型 ， 那 么 通 过 使 用 以 下 事 实 ， 即 形 式Ap2<$Bpq<$Cq2的任何二次型是非负的，如果D1/2ab1]x2D— x1个b— y14AC-B2P0，因此，AB AB2个dbW P0if½F-a]62 bpkW P0if½G-b]62abpk：（10）W0; 0 0.（20）存在有限个正常数D6;D7，使得由于W12P0; W13P0，我们得到W1PW11. 然后，我们找到一个常数D8，D6fx2-x12y-y2g6W6D7fx2-x12y-y2g：13WPWP2DS;18接下来我们证明了关于W t对t引理2. 假设定理1的条件（i）和（ii）稍等则存在正常数D8和D9，使得哪里2D8½minfk1d;l1dg：同样，我们可以从W2的值中找到一个常数，D9>0足够小，DWdt-2D8SD9S2jhj;14W261D9S2jhj;19其中h <$r t; x 2; y 2-r t; x 1; y 1。哪里最大D¼d;db1：引理2的证明 使用系统（7），直接计算9dW的简化后给出b ab将（18）和（19）代入（15），我们得到_dWdW1W ¼ dt ¼ -W1W2;15哪里dt6-2D8SD9S2jhj：设v为16v6 2范围内的任意常数，W. DGb bd .Db1 F2002年1月1日2l1/2-v，所以06l61=2。可以安排估计（14）如. ddb1dWþb½F-a] C-ab½G-b]C-x2-x1C-y2-y1C-y;S6-DS1= 2jhj¼DSlWω;我知道了。dx-xdb1y-y;16不超过1.5g/cmx2g /cmx1g/88 9 10哪里Wωjhj -D11S1=2S1=2-l20D11¼D8D-1。我们考虑以下两种情况：G¼G x2; x1x2-x1;x2mt½fy2-fy1](a) jhjD11S1= 2，

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