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多视图可见性中的点-线极小问题
1675PLMP-完全多视图可见性中的点-线极小问题蒂莫西·达夫乔治亚理工大学Kathle'nKohnKTH托马斯·帕伊德拉安东·莱金乔治亚理工大学CIIRC-布拉格捷克技术大学*摘要我们提出了一个完整的分类的所有最小问题的一般安排的点和线完全观察校准的透视相机。我们表明,总共只有30个最小的问题,没有问题存在超过6个摄像机,超过5个点,超过6条线。我们提出了一个序列的测试,用于检测极小开始计数自由度,并结束与充分的象征性和数字验证的代表性的例子。对于所发现的极小问题,我们给出了它们的代数次数,即. 解决方案的数量,衡量其内在的困难。它显示了问题的难度如何随着视图的数量而增加。重要的是,几个新的小问题具有小的程度,可能是实际的图像匹配和三维重建。1. 介绍最小1问题[37,50,24,26,28,29,25,30]在3D重建[48,49,47]、图像匹配[44]、视觉里程计[39,4]和视觉定位[52,46,51]中发挥重要作用。许多极小问题已被描述和解决,新的极小问题也在不断出现.在本文中,我们提出了一个步骤,对校准多视图几何中的点,线及其发生率的所有最小问题的完整表征。这是一个巨大的挑战,特别是在处理由于遮挡和检测缺失而导致的部分可见性时。在这里,我们提供了一个完整的多视图可见性的情况下,完整的表征。非正式地,a*CIIRC -捷克信息学、机器人学和控制论1我们非常感谢ICERM(NSF DMS-1439786和西蒙斯基金会赠款507536)的热情款待(09/2018- 02/2019),该项目的大多数想法都是在那里开发的我们感谢ICERM的许多研究访问者就最小问题进行了富有成效的讨论。研究T. Duff和A. Leykin部分由NSF DMS-1719968支持。T. Pa-jdla得到了欧洲区域发展基金在IMPACT项目下的支持。CZ.02.1.01/0.0/0.0/15003/0000468)。图1:(第1行)点(红色)和线(蓝色)独立检测,以及与线关联的点的排列[36]。(2-nd行)提供新的最小化问题的点和线的见table1用于对点、线及其在具有完全多视图可见性的多个图像中的布置的最小问题进行完全分类最小问题是从给定图像恢复相机姿态和世界坐标的3D重建问题,使得随机输入实例具有有限正数目的解。贡献我们给出了一个完整的分类的最小问题的一般安排的点和线,包括他们的发病率,完全观察到的任何数量的校准透视相机。我们考虑校准场景,因为它避免了许多简并[15]。我们表明,正好有30个最小的点线问题(在两个视图的情况下,任意数量的线)时,考虑完全可见性(选项卡。①的人。特别是,对于七个或更多个摄像头,不存在这种最小问题。 对于6、5、4和3个摄像头,1,3,6和17个最小问题,分别。对于两个视图,有三个组合星座的五个点,产生最小的问题。我们观察到每个最小点线问题最多有五个点,1676至多六行(除了在两个视图的情况下任意多行)。 问题50002 [37],32003 [13,34],30100, 10400 [21]以前已知,所有其他26Tab中的小问题据我们所知,1是新的。对于每个最小的问题,我们计算其代数程度,这是它的解决方案的数量超过复数的通用图像。这个度度量了一个最小问题的内在难度。我们观察到该度数通常如何随着摄像机的数量而增长,但我们也发现了度数较小(32,40和64)的几个最小问题,这可能在图像匹配和3D重建中是实用的[47]。我们考虑一般的极小问题,即。这些问题具有有限数目的复数解,并且在图像测量中的随机噪声不改变解的数目的意义上是通用的。例如,在两个视图中的五个点的经典问题[37]是最小的,并且可以在3-空间中的布置中添加任意多条线;只要它在足够通用的位置上包含五个点,它仍然是最小的。另一方面,当使用所有测量和方程时,三个视图中的四个点的问题[31,18,40,42]被过度约束。对于噪声图像测量,它变得不一致因此,这对我们来说不是一个小问题。我们假设完全可见,即。在所有图像和所有观察到的信息中观察到所有点和线是用来解决最小问题的。完全的点线入射对应出现在,例如,SIFT点特征[32]与它们的方向一起考虑,线从匹配的仿射帧[35]构建,或者作为同时的点和线检测[36]获得,图1和2。另一方面,我们不包括需要部分可见性的情况,例如,[21]中的3 PPP + 1 PPL。完全说明部分可见性是一项更艰巨的任务,将在未来解决。我们明确地对点线发生率进行建模。几条线可以入射到一个点(n-n),几个点可以通过位于一条线上而相互依赖。我们认为,这种关系不会被图像噪声破坏,因为它们是由特征检测过程构建的。我们的问题公式使用直接的几何决定性约束,如[19,41],而不是多视图张量,因为它适用于任何数量的相机,并且可以对点线入射进行建模。另一方面,我们的配方是不是最经济的最小问题的五个独立的点在两个视图(50002表。①的人。这个问题在我们的公式中有20度,而当重新公式化[38]为寻找本质矩阵的问题时,它的度只有10。32真实图像来自[36],由S提供。Ramalingam。3证明具有三个或更多视图的极小问题不能以降低我们报告的度的方式重新表述,或者找到重新表述,可能需要更先进的代数技术,并为未来的研究提出了挑战。1.文件的结构我们回顾了SEC以前的工作二、第3节定义了主要概念,然后是第2节的问题说明4.第一章满足自由度平衡计数的最小问题的所有候选者五、第6节介绍了我们的参数化问题的计算目的。程序检查极小和计算的程度使用符号和数值方法从代数几何中提出的第二节。7 .第一次会议。2. 以前的工作在这里,我们回顾了点线关联和最小问题的最相关的工作。参见[30,25,21]中关于一般极小问题的参考文献。在三焦点张量的工作中考虑了使用三个未校准视图中非入射点和线的对应性[16]。点-线关联的早期工作[19]引入了n-箭点,即:研究了三个仿射视图中三个1-箭图和三个透视视图中三个3-箭图的极小问题,以及三个视图中四个2-箭图的过约束问题。点、线及其关联的未校准多视图约束出现在[33]中。在[41]中,研究了未标定视图中的非入射点和线,并提出了三个视图中的四点三线,三个视图中的两点六后一种情况的求解器最近出现在[27]中。在[23]中,对于两个点和1-λ,对于一个1-λ和一个2-λ,以及对于四条线,已经解决了来自2D-3D λ对应的具有未知焦距的相机的绝对姿态在[11]中,提出了一个重要的情况,即与点相关联的直线是由曲线的切线引起的。它激发了三点和两点切线的情况(表1中的情况30021)①的人。工作[36]提出了几个最小的问题,用于从非入射点和线的2D-3D对应计算广义相机绝对位姿,重点放在可以找到封闭形式解的情况下。在[10,45]中,利用空间中的线的平行性和平行性来从线和点找到校准的相对姿态。最近的工作[55]从两个视图中研究了校准的相对相机姿势问题,其中2个抖动具有生成抖动的3D线之间的已知角度最小的问题,找到相对构成从三个这样的对应的通用以及几个更具体的情况下派生。我们对这一结果的最接近的概括是,人们可以从三个视图中的一个2维和两个独立点获得三个相机的校准相对姿态,而无需知道3D中的角度。最近,最小问题被构造为局部多特征,包括与点关联的线以及更复杂的特征[7,5,6]。他们建立在SIFT上,1677rections [32]或更精细的局部仿射特征[35],以减少RANSAC [43]中验证临时匹配所需的样本数量。最相关的以前的工作最近的理论结果[20,1,2,3,53,54]对表征一些类的最小问题的步骤。最相关的工作[21]提供了三个校准视图的分类,可以使用三焦点张量上的线性约束来制定[15]。在文献[21]中,提出了三个标定视图的66个极小问题,并计算了它们的代数对于一个PPP和四个PPL约束,观察到最低程度160,而对于最高程度160,观察到最高程度160。可以通过P3中的点-线排列来实现。特别地,两条不同的线不能入射到相同的两个不同的点。此外,我们将始终假设关联关系I是完备的,因为I中的关联所自动隐含的每一个关联也必须包含在I中。点-线问题的一个实例由以下数据指定:(1) 由p个点X1,.组成的空间点-线排列。. . ,Xp和l行L1,. . . ,L1,其精确地如由I λ {1,. . . ,p}× {1,. . . ,l}。因此,点Xi在直线Lj上当且仅当(i,j)∈ I。我们写4912已经观察到11个PLL约束。在[21]中的66个问题中,可以用com建模的问题Xp,l,I=?(X,L)∈(P3)p×(G第1、3条)l|n(i,j)∈I ∶ Xi∈Lj}完 全 可 见 度 为 ( 1 PPP + 4 LLL ) 和 ( 3 PPP + 1LLL)。这两个最小问题在Tab中显示为10400和301001.一、我们发现的另外15个极小问题在[21]中没有出现,因为没有考虑点-线关联。3. 符号和概念我们使用[15]中的命名法。空间中的点和线在射影空间 P3中,像点在 P2中,用齐次坐标表示。我们考虑Grassmannian空间G1,3和G1,2,它们是对于相关的各种点线排列。请注意,这种变体还包含退化排列,其中并非所有的点和线都必须成对不同,其中点和线之间的关联度比I指定的关联度多。(2) 表示的m个校准相机按矩阵P1=[R1|t1],. . . ,Pm=[Rm|tm]在R1. . ,Rm∈ SO(3)且t1,. . . ,tm∈ F3.(3) 的 联合 图像 组成 的 突出部2在P3和P2中分别有两条线SO( 3)代表spe-xv,1,. . . ,xv,p∈ P的点X1,. . . ,Xp和亲-社会正交群,即旋转,代数定义为3× 3矩阵R使得RR=I,detR= 1。一切都是骗局-jectionsjectionsjections,1,. . . ,n,l∈ G1,2的直线L1,. . . ,L1由摄像机P1,. . . ,Pm到v = 1,. . . ,m个视图。我们写除非明确指定,否则在任意域F上都有边。方程的系数来源于比的场QYp,l,I,m=?(x,n)∈(P2)mp×(G1,2)ml| ∀v = 1,. . . ,m最终数字。方程的解在C域中,复数 我们进行符号计算,n(i,j)∈I∶xv我∈v,j}有限域Zp对于素数p,为了精确性和计算效率。数值算法使用浮点数来逼近复数. 44. 问题说明我们的主要结果适用于点,线,点线发病率观察的问题我们首先引入一个点-线问题作为一个元组(p,l,I,m),指定p空间中的点和l条线,它们根据给定关联关系I ∈ {1,. . . ,p} × {1,. . . ,l}(即,(i,j)∈ I表示第i个点在第j条线上)投影到m个视图上。所以一个点线问题点、线、视图的数量以及点与线之间的 我们将模拟交叉线对于由满足由I指定的起点的二维点-线排列的所有m元组组成的图像簇。给定一个联合图像,我们希望恢复一个排列在空间和相机产生给定的联合图像。我们将一对这样的布置和这样的m个相机列表作为给定联合图像的点-线问题的解决方案。我们注意到Yp,l,I,m中的m元组不一定有解,即.先验地,它不必是三维空间中的公共点-线排列的联合图像。为了固定任意空间坐标系[15],我们设置P1= [I|0]和t 2的第一个坐标到1。因此,我们的相机配置通过以下参数化:通过要求两条线的每个交点必须是点线问题中的p点之一在整个3×4米Cm=?(P1,. . . ,Pm)∈(F) |P=[R]i|ti],在这篇文章中,我们将只考虑关联关系,Ri∈SO( 3),ti∈F3,R1 =I,t1=0,t二、一=1}。4参见第2节。补充材料的符号和概念,以了解更多详细信息。我1678我们将始终假设点-线问题中的摄像机位置足够通用,1679p,l,I,mp,l,I,mp,l,I,m每个摄像机满足以下三个自然条件:首先,在三维空间中给定排列的两条不同的线或点被视为不同的线或点。其次,将空间排列中的点和线,如果在三维空间中不重合,则视为不重合。第三,将空间排列中的三个非共线点视为非共线点。我们说一个点-线问题是最小的,如果一个通用的图像元组在Yp,l,I,m有一个非零有限数量的解决方案。我们可以正式表述这个定义:定义1. 设Φp,l,I ,m∶Xp,l,I×Cm<$Yp,l,I,m表示联合相机映射,其将空间中的点-线布置和m个相机发送到所得联合图像。 我们说点线问题(p,l,I,m)是极小的,如果● Φp,l,I,m是一个优势映射5,i. e. 类元(x,n)在Yp,l,I,m中有解,所以Φ−1(x,n)n,和等式dim(Xp,l,I×Cm)=dim(Yp,l,I,m)。这个词定义如下定义2. 我们说点线问题(p,l,I,m)是平衡的,如果dim(Xp,l,I×Cm)=dim(Yp,l,I ,m).由于我们现在已经建立了所有最小的点线问题是平衡的,我们分类所有平衡的点线问题。五、我们将看到,只有100多个这样的问题,明确地在Tab中给出。1、在两个视图的情况下,多达任意多行;见备注2。步骤2:上述代数几何学的经典陈述进一步暗示了平衡点线问题(p,l,I,m)是最小的当且仅当其联合相机映射Φp,l,I,m是主导的。因此,为了确定所有最小点线问题的穷举列表,我们只必须在Tab中检查每个平衡点-线问题1● 原像Φ−1p,l,I,mYp,l,I,m是有限的。(x,n)的类属元素(x,n),如果它的联合摄像机地图是主导的。我们通过计算执行此检查,如第2节所述。7 .第一次会议。第三步:最后,我们使用符号和数字com-注1. 对于一个给定的极小问题(p,l,I,m),联合摄像机映射Φp,l,I,m将Xp,l,I×Cm映射到Yp,l,I,m的一个相同维数的可构造子集上. Giv ena solution for ageneric joint image (x , n ) whenF=RorC , thereexists a ball around(x,n), sayBn(x,n), andfor each solution(X,C)∈Φ−1(x,n) a ballBδ(X,C) such that计算极小点线问题度的假设。我们在第二节中描述了这些计算。7 .第一次会议。5. 平衡点线问题为了理解平衡点线问题,我们需要解--变量Xp,l,I,Cm的维数公式Φ p,l,I,m(Bδ(X,C))<$B<$(x,C).在这个意义上,我们可以推断出极小问题的解在数据扰动下是稳定的。联合摄像机地图Φp,l,I ,m反映了我们想要恢复世界点和线以及摄像机姿势,给定的联合图像。在完全可见的情况下,这相当于仅恢复摄影机姿势。我们在引理2和推论2中将这种观察形式化。在复数上,对于最小点线问题(p,l,I,m)的每个通用联合图像(x,n),主图像Φ −1(x,n)的基数是相同的。我们把这个基数称为最小问题的度我们的目标是列出所有最小点线问题并计算它们的度。为此,我们采取以下战略:第一步:代数几何中的一个经典陈述指出,对于从一个簇X到另一个簇Y的支配映射<$∶X<$Y,Y中的点y具有维度dim(和Yp,l,I,m。 由于SO(3)是三维的,我们将第一个 摄像机设 置为[I|0]和第二相机中的一个参数为1,则m ≥ 2的相机配置的参数空间具有维度dim(Cm)= 6m − 7。现在让我们考虑X p,l,I中的一般点-线排列。它的一些点可能依赖于其他点,在这个意义上,这样一个依赖点位于由其他两个点跨越的直线上。在三维空间中的任何点的排列中,每个独立点的极小集合具有相同的基数。对于我们的p点排列,我们用pf表示这个基数(上指数f代表免费)。我们写pd=p−pf来表示相关点的个数每个自由点由三个参数定义。在定义了跨越包含X的直线的两个点之后,从属点X仅由另一个参数定义。总的来说,我们的排列中的p点由3个pf+pd参数定义。在我们的排列中,每一条l线要么与0,1,要么至少与2相关联点 我们把不与任何点相关联的线称为免费线路。我们用lf表示自由线的数目。为X)− dim(Y)。 当你一个线性空间之间的线性映射,这就是秩格拉斯曼G第1、3条是四维的,每一条线都是自由的,线性代数的零性定理由于与最小点线问题(p,l,I ,m)相关联的联合摄像机地图Φp,l,I,m的一般preimage是零维的,我们看到每个最小点线问题必须满足[5]支配映射是双有理几何中满射映射的类似物1680线由四个参数定义。一条直线,到一个固定点的距离仅由两个参数定义。我们用la来表示与一个点相关联的直线的数目(上面的指数a表示相邻)。最后,剩余的l−lf−la线中的每一条都入射到至少两个点,因此已经由这两个点唯一确定,1681p,l,IFp,l,I,mm视图pfp dl flaα(p,l,I)最小程度6665 5 5444444410211101331005520111200322003310300102221014410066300112110021021YNNY Y yYYNNYYY>180k11296∗ 26240∗ 11008∗3040∗4512∗1728∗32∗544∗m视图pfp dl flaα(p,l,I)最小程度4333 3 3333333321022104001032210244101661008820211201322013320053200542005530100YYYY N NYYYYYYY544∗36055248026443232848024064216m视图pfp dl flaα(p,l,I)最小程度3333 3 3332222230021300222111121031210322103331000220115000241003320033200423005YYYY Y yYNYYYNN31222440144 144 14464201612表1:所有平衡点线问题,模添加任意多个线的问题与2个视图。有些问题不是由它们的向量(pf,pd,lf,la)唯一标识的。为了使识别唯一,我们通过下标α来扩展向量,下标α是至少三个视图的情况下与同一点相邻的最大线数,或者是两个视图的情况下公共线上的最大点数。标有“0”的度数是用数值方法计算的,其他度数是用符号算法计算的;见第7节。问题32003在单个3D中具有所有五个点平面:它对应于校准的单应性相对姿态计算[13,34];参见补充材料。点因此,我们推导出dim(X)= 3pf+ pd+4lf+2la.(一)特别地,我们可以看到,我们也可以假设没有线通过两个或更多个点,因为这样的线对我们的参数计数没有贡献。We deriv e图像的维度变化Yp,l,I,m也是。因为我们假设所有的摄像机位置都足够-F这相当于6 m−7=(2 m−3)pf+(m−1)pd+2(m−2)lf+(m−2)la。(三)引理1. 每个至少有五个点的平衡点线问题正好有两个摄像机。证据设(p,l,I,m)是一个平衡点线问题,m>1个摄像机,至少有5个点,即pf+pd≥5。在这种情况下,等式(3)意味着一般来说,每个摄像机的观点完全p独立点、PD相关点、LF自由线和LA线,这些线恰好与点之一相关联。每个独立点由两个参数定义,而每个从属点由单个参数定义自由线由两个参数定义。与固定点相关联的直线总而言之,dfadim(Y)=m(2p +p+2l+l).(二)6m−7≥( 2m−3)pf+(m−1)(5−pf)=(pf+ 5)m−( 2pf+ 5),这相当于2(pf− 1)≥(pf− 1)m。(四)在五个或更多的点中,至少有两个点必须(根据定义)是独立的,即。pf>1。所以(4)得到m≤2。请注意,对于单个摄像机,不存在平衡点-线问题。对于m>1个摄像机,将dim(Cm)= 6m− 7与(1)和(2)结合,得出点-线问题是平衡的,当且仅当3pf+ pd+4 lf+2 la+6 m − 7 = m(2 pf+ pd+2 lf+ la)。1682定理1.不存在平衡点线问题,七个或更多的摄像头。证据设(p,l,I,m)是m≥7个摄像机的平衡点线问题。通过等式(3),我们有5 pf+pdmod(m− 2)。(五)1683这意味着如果m≥8,则pf+pd≥5,这与引理1相矛盾,因此我们只剩下一种情况需要检查:m=7。根据(5)和引理1,在七个摄像机的情况下,我们有pf+pd=这意味着没有点,因此不可能有与点相关联的线。所以我们有pf=0,pd=0,la=0,(3)简化为35= 10lf,这显然是不可能的。因此,对于七个或更多个摄像机,不存在平衡点线问题定理2. 有34个平衡点线问题,有3个,4个,5个或6个摄像机。它们都在Tab中列出。1.一、证据我们考虑了3≤m≤ 6的不同情况,并逐例推理。● m=6:由于(5)和引理1,每个具有六个摄像机的平衡点线问题必须恰好有一个点。 所以我们有pf= 1,pd= 0,(3)简化为5 = 2lf+ la。这给了我们三种可能性:(lf,la)∈ {(2,1),(1,3),(0,5)}(参见Tab的第一行。①的人。● m=5:由于(5)和引理1,每个具有五个摄像机的平衡点线问题必须恰好有两个点。 所以我们有pf=2,pd= 0,(3)简化为3 = 2lf+ la。这给了我们两种可能性:(lf,la)∈ {(1,1),(0,3)},这产生三个点线问题(见表1的第一行)。①的人。● m=4:由于(5)和引理1,每个具有四个摄像机的平衡点线问题必须有一个点或三个点。让我们首先考虑一个点的情况。 这里我们有pf=1,pd=0,(3)简化为6= 2lf+la。 这给了我们四种可能性:(lf,la)∈{(3, 0),( 2, 2),( 1, 4),( 0, 6)}(参见表1的第一行①的人。其次,我们考虑了具有四个点的平衡点线问题,相机和三个点。如果所有三个点都是独立的,则(3)简化为1=2lf+la,它有一个解:(lf,la)=(0,1).如果不是所有三个点都是独立的,是独立的,我们有pf= 2,pd= 1,和(3)减少到3= 2 lf+ la。 这两个解(lf,la)∈ {(1,1),(0 ,3 )}产生四个点线问题(见表3的最后一行)。①的人。Fi-最后,我们考虑三个摄像机和四个点的平衡点线问题。我们从(3)中可以看出,并非所有四个点都是独立的。因此,我们要么有pf=3,pd=1,使得(3)简化为0= 2lf+la,其具有sin-角解(lf,la)=(0,0),或者我们有pf=2和pd=2,使得(3)简化为1= 2lf+la,它也有一个解(lf,la)=(0,1)(见表3的最后一行)第一章备注2. 对于两个摄像机的情况,我们从(3)中看到,自由线和入射线的数量对平衡点线问题的参数计数没有贡献。在事实上,(3)对于m=2,简化为5=pf+pd。因此,我们有经典的最小问题,从两个摄像机图像中恢复五个点。 更准确地说,是一个点线问题当且仅当它有五个点时,两个摄像机是平衡的因此,排列中包含多少条线或多少个点是独立的是无关紧要的。有5种组合的可能性来分布相关点和独立点(参见表10的最后一行)。①的人。推论1. 有39平衡点线问题,模任何数量的线的情况下,两个视图。它们在Tab中列出。1.一、6. 消除世界点和线为了进行计算,通常用不依赖于世界变量的隐式方程来描述问题。在我们描述这些方程之前,让我们用几何的方法来表达世界变量的消除我们考虑联合图的Zebriki闭包6相机地图:有pf=2,pd=1,(3)简化为2=2lf+la。这给出了两种可能性:(lf,la)∈{(1, 0),( 0,2)},Inc={(X,C,Y)∈Xp,l,I×Cm×Yp,l,I,m|产生三个点-线问题(参见选项卡. 对于四个摄像机的所有四个点线问题,1Y=Φ p,l,I,m(X,C)}。三点)。联合相机映射Φp,l,I,m是主导的,当且仅当● m=3:我们首先观察到,每个平衡点线三个摄像头的问题必须至少有一个点。投影πY:Inc→Yp,l,I,m最后一个因素是,否则,我们将有pf=0,pd=0和la=0,因此(3)将减少到11=2lf,这是不可能的。让我们首先考虑一个点的情况这里我们有pf= 1,pd= 0,并且(3)简化为8 = 2lf+la。 这给了我们五个位置:(lf,la)∈{(4,0),(3,2),(2,4),(1,6),(0,8)}(见表2第二行)。①的人。其次,在两个点的情况下,我们有pf= 2,pd= 0,并且(3)简化为5 = 2lf+ la。这nant(因为这是Φp,l,I ,m在其余域上的图的投影而且,一般点Y∈Yp,l,I,m在两个映射Φp,l,I,m和πY下的原像的基数是相同的.为了使计算更简单,我们想导出对于不包括3D结构Xp,l,I的以下受限入射变量y,也是相同的陈述:给出了三种可能性:(lf,la)∈{(2, 1),( 1, 3),( 0, 5)},这产生了六个点线问题(见第1684二行Inc′={(C,Y)∈Cm×Yp,l,I,m|选项卡. ①的人。第三,我们考虑三点的情况。如果所有<$X∈Xp,l,I∶Y=Φp,l,I,m(X,C)}.三个点是独立的,(3)简化为2= 2lf+la。的F a两个解(l,l)∈{(1, 0),( 0,2)}产生三个点线问题(见表2的最后两行)。①的人。如果不是全部三点[6]集合的Zebrski闭包是包含该集合的最小代数簇。参见第补充材料中的符号和概念。1685π′YYYYYp,l,I,mY1百万i右边是正则投影,其中πC,Y省略了第一个IncπYπC,YYp,l,I,m因子 π′项目公司到的最后 因子:引理2. 若m≥ 2,则一般点(C,Y)∈ Inc ′在π C,Y下的原像中有一个点.证据Y=(x,n)由点x=(x1,1,. . .,xm,p)和线m=(m1,1,. . . ,m,l)在m个视图中。视图v中的每个点xv,i∈P2通过第v个摄像机被拉回到三维空间中的一条直线上 当m ≥ 2时,一般7×1 ,i,. . . ,xm,i相交于P3中的唯一点。类似地,视图v中的每一条线都通过第v个摄像机被拉回P3的一架飞机当m≥2时,m个通用8个拉回平面实施例(1)实施例(2)实施例⑶对于n,j,. . . ,m,j在P3中以唯一线相交。图2:编码探针具有可见和重影的Lems图3:解除参数中的循环推论2. 平衡点线问题(p,l,I,m)是极小的当且仅当投影π′是支配的。在线空间(楼下)满足所有解决方案(楼上)。在这种情况下,最小问题的程度是Cardi-一般联合像原像π′−1(Y)Y∈YYp,l,I,m在复数上。在任何两个观测点之间都有一条独特的可见线点 在所有的观点中,任何一对点都是如此,证据正如我们在第4节的步骤2中所观察到的,平衡点线问题是最小的,当且仅当其联合相机地图Φp,l,I,m是主导的。这种情况发生的时候,如果πY占优势。 由于引理2,这相当于π′是主导的。 类似地,对于一般的Y∈Yp,l,I,m,由于引理2,原像Φ −1(Y)、π−1(Y)和π′−1(Y)的基数一致。我们注意到,我们可以将品种Inc′描述为由我们在本节其余部分建立的方程所切出的品种的一个组成部分。对于点-线问题的任何实例,其解必须满足由联合图像(x,n)∈Yp,l,I,m定义的某些方程。我们的计划,以产生这样的方程依赖于(x,n)de的替代表示。只在线条上罚款方程由下式得出:两种类型的约束。第一种类型的约束是线对应(LC):如果是1,. . . .. . . ,lm∈ F3×1,则排名[PTl1PTl2. . . PTlm] ≤ 2。(六)显示必须满足的行对应关系。(2)两条通用可见线足以定义一个点。我们可以使用一组额外的(非对应的)鬼线来定义任何与少于两条可见线相交的点一般的鬼线只包含一个观察点-它只是一个生成方程9的装置。因此,我们得到公共点(CP)约束:给定可见和鬼线1v,1,. . . lv,ki满足xv,i,第i个点在视图v∈ 1,. . . ,m,我们必须rank[PTl1,1. . .PTlm,k] ≤ 3, i = 1,. . . ,p.(七)我们可以通过指定一定数量的可见线、一定数量的重影线以及这些线中的哪些线入射到每个点来编码点-线问题我们用图2中的几个例子来说明这种编码:例1. (1)考虑Tab中标记为“2013 2“的点-线问题1.一、在表中明确画出的线与两个自由点之间的可见线一起,如图1所示。2、足以定义通用数据的场景。(2)现在考虑Tab中标记为“2011“的问题1.一、1 2m也就是说,具有齐次坐标PTli1图中给出的编码2包括给定的线,一个相对于-给定点之间的可能的线,以及一个单一的幽灵3我在P中共享一条公共线。我们区分了P2∶(1)可见线定义有效的线对应。除了在联合图像中观察到的线之外,对于通用x7例如,两个视图没有核线。8例如,两个视图没有对应的核线。定义其中一个点所需的线。(3)最后,考虑Tab中标记为“3200 3“的问题1.一、图中出现的额外可见线条。2.确定所有点的位置。91686××CYπYYYYLC和CP约束立即转化为决定性条件:(6)中矩阵的3 × 3子式对于每一条可见线必须为零,(7)中矩阵的4 × 4子式对于每一点必须为零。 因此,我们必须一旦我们修复了一些编码和相机参数化,即,有理映射G∶F6m−7<$Cm。在我们的计算中,我们通过SO( 3)的Cayley参数化定义G:R ([a, b ,c]) =(I +[[a ,b ,c]])(I −[[a,b,c]])−1. (八)7. 检查最小计算度用F=Fp,l,I,m表示由给定的点线问题(p,l,I,m)利用我们在第二节中构造的LC和CP约束所得到的多项式组。6与相机参数G插入。满足F(C,Y)= 0的点簇包含Inc ′作为不可约分量10.第三条满足F(C,Y)=0的点的多样性也可以具有对应于解(C,Y)的伪分量,其中矩阵(6)或(7)的秩小于期望的秩。这种虚假的解决方案并不对应,spond在G1 ,3的世界线,必须排除。通过对Inc′上的一个点进行采样,自然可以避免这些寄生分量。对于隐式符号计算,可以通过引入不等式来消除伪解强制小一号的子式不消失下面的算法局部地检查点线问题的极小性;在几何学上,这相当于传递到Inc ′的切空间。算法1(最小)。输入:(p,l,I,m),平衡点线问题。输出:如果问题最小,则为“Y”;否则为“N”。1:J(C,Y)←F(C,Y))2:Tk随机C0∈Cm和随机X0∈Xp,l,I.算法2(度)。输入:(p,l,I,m),一个点线极小问题。输出:这个问题的程度。1:Ta k earandomY0∈Yp,l,I,m.2:计算由下式表示的理想的Gr? bner基B:F(C,Y0)<$F[C].3:返回变量C中不能被B的前导单项式整除的单项式的个数。核心效率的生产。用Gro? bner基求解多项式方程组是计算非线性代数中的一种标准技术因为我们只对解的个数感兴趣,而不是对解的个数感兴趣,所以我们能够相对快速地进行计算;见备注4。备注4. 算法1和算法2在任意域F上都是有效的。我们的主要问题是在有理数Q上陈述的,但是由于算法严重依赖于符号技术,例如Gr? bner基,我们使用所谓的模技术:我们在有限域上执行计算,即F=Zp,p215。<对于一个特殊的“不幸”素数p,这种方法有很小的可能会失败算法1和2在Macaulay 2 [14]计算机代数系统11中实现和执行。由于Gr? bner基算法的局限性,我们无法用算法2的实现来计算m>3的任何问题的度。另一方面在Tab中的所有最小问题的程度。单值方法是一种基于数值同伦延拓的技术具体而言,我们遵循[9]中概述的单 值 求 解 器 框 架 , 通 过 Macaulay 2 软 件 包MonodromySolver11执行计算。类似的技术已成功地采用了一些研究中应用代数几何[17,22,8]。把投影π′∶Inc′→Yp,l,I,m想象成3:Y0←Φp,l,I,m(X0,C0)4:如果秩J(C 0,Y 0)= 6 m − 7,则返回“Y”,否则返回“N”。算法1的正确性证明。在术语中描述的第一节开始。6、算法检查反函数定理的条件是否在Inc.上的一般点。 如果是,则映射π′是主导的,因为在Y0的邻域中映射有逆映射:即如果Y在Y0附近,则在C0附近有C满足F(C,Y)= 0。如果这些条件一般不成立,π′就不是domi。图中从上到下的地图。3.第三章。在算法1中产生的种子解(C0,Y0)是在底部投影到Y0 由于伽罗瓦群′对解的作用是传递的,我们可以建立足够多的连接Y0和一个辅助点Y1的随机路径,使得在底路径的提升上行走是可能的去访问所有高于Y0的解,从而发现度。参见补充材料,了解这些随机路径是如何创建的,以及这种技术提供了什么样的完整性保证。南特。 通过Cor。2,给定的点线问题是极小的,如果且只有π′占优时对于具有两个和三个视图的极小问题,我们使用以下符号算法来计算它们的度,即。类属关节原像的基数8. 结论我们描述了一类新的极小问题,并发现了具有少量解的问题,投影π′下的像Y∈Yp,l,I,m(Cor。2)的情况。求其有效解算器[12]。10Inc′不能写成严格较小的变种的有限并集11可查阅https://github.com/timduff35/PLMP。Y1687引用[1] Sameer Agarwal,Hon-leung Lee,Bernd Sturmfels,andRekha R.托马斯关于极矩阵的存在性。InternationalJournal of Computer Vision , 121 ( 3 ) : 403-415 ,2017。3[2] Chris Aholt和Luke Oeding理想的三焦点变化。数学计算。,83(289):2553-2574,2014. 3[3] Chris Aholt、Bernd Sturmfels和Rekha R.托马斯计算机视觉中的希尔伯特方案。CoRR,abs/1107.2875,2011年。3[4] Hatem Said Alismail、Brett Browning和M.伯纳汀·迪亚斯机器人立体视觉里程计位姿估计方法之评估第11届智能自治系统国际会议,2011年1月。1[5] 丹尼尔·巴拉斯。未标定摄像机的五点基本矩阵估计在2018年IEEE计算机视觉和模式识别会议上,CVPR2018,美国犹他州盐湖城,2018年6月18日至22日,第235-243页,2018年。2[6] Daniel Barath和Levente Hajder。从两个仿射对应中有效地恢复基本矩阵 IEEE Trans.图像处理,27(11):5328-5337,2018。2[7] 丹尼尔·巴拉斯,泰克拉·托特,和莱文特·哈德尔。利用两个仿射对应关系估计两视图焦距的最小解。在2017年IEEE计算机视觉和模式识别会议上,CVPR 2017,Hon-olulu,HI,美国,2017年7月21日至26日,第2557-2565页,2017年。2[8] Paul Breiding,Bernd Sturmfels,and Sascha Timme.每秒3264次。arXiv预印本arXiv:1902.05518,2019。8[9] Timothy Duff , Cvetelina Hill , Anders Jensen , KisunLee,Anton Leykin,and Jeff Sommars.用同伦延拓和单值 法 求 解 多 项 式 系 统 IMA Journal of NumericalAnalysis,2018。8[10] 作者:Ali Elqursh,Ahmed M.埃尔加马尔基于线的相对姿态估计。在CVPR 2011中。2[11] 作者声明:Richard B.基米亚曲线的多视图InternationalJournal of Computer Vision,120(3):324-346,2016.2[12] R. Fabri等人基于点处直线的三焦点相对位姿及其有效解。预印本arXiv:19
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