可计算分析中的Banach空间紧算子理论

理论计算机科学电子笔记167（2007）365-386www.elsevier.com/locate/entcsBanach空间Vasco Brattka瓦斯科·布拉特卡1，2南非开普敦大学应用数学系计算机科学基础实验室露丝·迪尔哈格3哈根大学数学与计算机科学系哈根摘要我们从可计算分析的角度发展了紧算子理论的某些部分。虽然希尔伯特空间上的可计算紧算子很容易理解，但事实证明，Banach空间上的这些算子更难处理。经典上，Banach空间上的紧算子理论是借助于序列紧性这一非构造性工具发展起来的。我们证明，大量的这一理论可以在可计算的Schauder基地，表现良好的Banach空间上可计算地发展。施加在基底上的条件是这样的，它们推广了希尔伯特空间的情况。特别地，我们证明了Banach空间上的单调，可计算收缩和可计算基的紧算子空间是一个可计算的Banach空间本身和操作，如从左有界线性算子的组合是可计算的。 此外，我们提供了一个可计算版本的Schauder定理的伴随在这个框架中，我们讨论了一个非一致的结果与有界线性算子的组合从右。保留字：可计算泛函分析，Banach空间，紧算子。1这项工作得到了美国国家研究基金会（NRF）基金FA2005033000027on2电子邮件：BrattkaV@maths.uct.ac.za3 电子邮件：Ruth. FernUni-Hagen.de1571-0661 © 2007 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2006.08.021366诉布拉特卡河Dillhage/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）3651引言在泛函分析中，Banach空间X，Y上的算子T：X→Y称为紧算子，如果它是线性算子，使得闭单位球BX：={x∈X：||X||≤ 1}在Y中是紧的。 很容易证明了任何紧算子都是有界的。紧算子是特别重要的，因为对于无限维X，单位球BX不是紧的，因此算子的紧性通常可以弥补这个经典上，人们可以证明Banach空间上紧算子的一些基本性质，其中一些总结如下：(1) T，S紧=T，T+S紧，(2) T紧的，S线性有界=T紧的，TS紧的，(3) TcompactTcompact.第一个性质基本上说紧算子在线性运算下是闭的，第二个性质说紧算子在线性有界算子的复合下是闭的，第三个性质，称为Schauder定理，确保任何紧算子的伴随TJ：YJ→XJ，f<$→fT再次是紧我们想在可计算分析的框架内证明这些结果的可计算版本对于希尔伯特空间的特殊情况，这在[4]中已部分完成然而，在一般情况下，Banach空间的经典理论是使用序列收敛的概念，这是高度非建设性的。因此，在可计算分析的情况下，我们需要一个替代概念在可计算Banach空间的一般情况下，似乎没有明显的方法来建立紧算子的所有上述性质特别地，紧算子在加法下的闭包一般不能容易地证明然而，我们表明，在行为良好的可计算Schauder基地的Banach空间的情况下，人们可以建立一个合理的理论，紧凑的运营商可计算，其中包括，特别是，可计算版本的大多数上述属性。这是一个长期悬而未决的问题，在功能分析，所谓的巴拿赫特别地，空间C[0，1]具有Schauder基，并且已知任何可分Banach空间都是C[0，1]的子空间直到1973年，Per En Enhero才证明存在一个无限维可分的没有基的Banach空间（事实上，这个空间甚至是自反的，并且缺乏逼近性质，见[10]）。关于构建这种诉布拉特卡河Dillhage/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）365367空间，似乎不是一个太严格的要求，限制理论的可计算紧算子的Banach空间的基础。在本节结束时，我们简要介绍一下本文的结构在下面的部分中，我们回顾一些关于可计算Banach空间和紧子集的基本定义在第三节中，我们引入了具有可计算基的Banach此外，我们还讨论了单调基的特殊情况，证明了在具有可计算单调基的Banach空间中，自然投影是可计算紧的，协调泛函具有可计算范数。在第4节中，我们讨论了对偶空间的性质，并定义了可计算对偶基的概念此外，我们证明了任何可计算的，可计算的收缩和单调的基础必然是一个可计算的对偶基础。在第5节中，我们介绍了可计算Banach空间上紧算子的一种表示，它结合了作为连续函数的算子证明了关于左有界线性算子复合的一些结果和Schauder定理。在第6节中，我们研究了紧算子空间作为Banach空间，并给出了充分的条件，使得这个空间是可计算的Banach空间，并且使得所得到的Cauchy表示与第5节中介绍的表示等价最后，在第七节中，我们讨论了右有界线性算子的复合，并给出了非一致结果的充分条件在结论中，我们总结了我们的所有结果的假设是足够的所有结果同时。第2章可计算Banach空间与紧集在本节中，我们简要定义了一些来自可计算分析的概念，我们建议读者参考[11]以获得更详细的介绍。下面我们假设Banach空间定义在域F上，域F可以是R或C。定义2.1 [可计算Banach空间]可计算Banach空间（X，||||，e）是可分Banach空间（X，||||）与基本序列e：N→X（即值域（e）的线性跨度在X中稠密）一起，使得导出度量空间是可计算度量空间，使得线性运算（与标量的加法和乘法）可计算。导出的可计算度量空间是空间（X，d，αe），其中d是gi venbyd（x，y）：=||x-y||并且αe：N →X由αek定义，n0，.，nk：=Ki=0时αF（ni）ei. 这里，αF是QF的标准编号，其中QF=Q，368诉布拉特卡河Dillhage/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）365在F=C的情况下，F=R和QF=Q[i]。我们假设有一些n∈N，其中αF（n）= 0。一般来说，空间（X，d，α）称为可计算度量空间，如果（X，d）是具有稠密序列α的度量空间，使得d∈（α×α）是可计算二重序列。如果没有特别说明，则我们假定所有可算Banach空间X都由它们的（诱导度量空间的）柯西表示δX表示。可计算度量空间X的柯西表示δ X：<$$> ω→X被定义为使得序列p ∈ <$ω表示点x∈X，如果它编码序列（α（n i））i∈N，它快速收敛到x，其中快速意味着d（α（n i），α（n j））<2 −j，对于所有i > j。在这里，<$ω表示某个有限集合<$（字母表）上的无限序列的集合，并且<$ω被赋予关于<$的离散拓扑的乘积拓扑。一般来说，集合X的一个表示是一个满射映射δ：ω→X。此处包含符号“”表示相应的映射可能是部分映射。 给定表示δ：ω→X和δJ：ω→Y，一个映射称f：<$X→Y是（δ，δJ） 类似地，我们可以定义多值函数f：<$X<$Y的可计算性。在这在这种情况下，上述方程必须用条件δJF（p）∈fδ（p）来代替这里，函数F：ω→ω称为可计算的，如果存在计算F的图灵机。类似地，可以定义关于表示的连续性概念，其中可计算函数F被连续函数替换。已知可计算度量空间X的柯西表示是可容许的，并且对于这样的表示，关于表示的连续性与普通连续性一致 如果X，Y是可计算度量空间，则我们假设连续函数f：X → Y的空间C（X，Y） 用[δX→δY]表示，这是一个典型的函数空间表示。这种表示满足了两个特征属性，求值和类型转换，它们可以计算地执行（详见[11]）。如果Y=F，则我们写为C（X）=C（X，F）。我们说一个表示δ可计算地约化为同一集合的另一个表示δJ，用符号δ≤δJ表示，如果存在一个可计算函数F：<$<$ω→<$ω使得δ（p）=δJF（p），对所有p∈dom（δ）。这等价于恒等式id：X→X是（δ，δJ）-可计算的。两个表示被称为可计算等价的，如果它们可以相互可计算地约化，用符号δ<$δJ表示。因为我们想要处理紧算子，所以我们也必须表示紧子集。对于任何度量空间X，我们用K（X）表示非诉布拉特卡河Dillhage/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）365369X的空紧子集。得到K（X）表示的一个直接方法是利用由Hausdor度量给出的可计算度量空间导出的C_（？）表示δK（X）dH：K（X）×K（X）→R，（A，B）›→max.Σ超级区B（a），超级区A（b）a∈ A b∈ B如果（X，d，α）是可计算度量空间，那么我们可以使用值域（α）的有限子集的集合作为K（X）的稠密子集。我们得到如下结果。命题2.2设（X，d，α）是可计算度量空间，α F是值域（α）的有限子集的标准编号。则（K（X），dH，α F）是可计算度量空间.这个结果的证明、度量空间紧子集表示的几个刻划和其它结果可在[5]的推论4.11和定理4.12、4.13中找到 下面我们假设K（X）具有（K（X），dH，αF）的Cauchy表示.可计算度量空间X的紧致子集K<$X称为递归的，如果它是K（X）中的可计算点。有一个较弱的概念，一个co-r.e。紧子集K<$X，这是一个子集，使得人们可以计算地枚举所有有限覆盖都由有理开球组成，并且存在相应的紧子集的较弱表示（详见[5]）。已知一个集合K<$X是递归紧的当且仅当它是co-r. e。紧的，并且存在一个在K中稠密的可计算序列。文[8]证明了可计算度量空间（X，d，α）的子集K<$X是递归紧的当且仅当它是闭的、可计算全有界的、可定位的。这里，一个集合A<$X被称为located，如果它的距离函数dA：X→R，x<$→infy∈Ad（x，y）是可计算的，并且一个集合A<$X被称为可计算完全有界的，如果存在一个可计算的完全有界模t：N→N，它做以下事情：给定精度k，它确定数t（k）=m，c，.，c m，使得AMi=0时B（α（ci），2 −k）.这个结果甚至一致地成立，即，给出距离函数和紧集K的全有界模的名称，可以计算K的Hausdor模名，反之亦然。这里用B（y，r）：={x∈X：d（x，y） n}，xi = 0。（个）||X||我在基e收缩的情况下，得到XJ的柯西表示。定义4.4 [对偶空间的柯西表示]设X是具有收缩基e的Banach空间。则坐标泛函EJ构成XJ的基，byδCJwe表示（XJ，||||，eJ）。对于自反Banach空间X，任何基e都是收缩的（见[10]中的定理现在有趣的问题是，是否以及在什么条件下， 和Cau c hy表示δCJ 的X J是可假定等价的。我们引入一种特殊类型的基地，这是这种情况。定义4.5 [可计算对偶基]设X是可计算Banach空间。基E称为可计算对偶基，如果(1) e是X的可计算和收缩基，(2) δX J<$δCJ.注意，基e必须收缩，以保证eJ是Xj的一个基数，且δCJ存在。特别地，具有可计算对偶基的可计算Banach空间X具有可计算对偶空间XJ.它将希望在e和X上有条件，保证条件(2)由（1）得出。为了证明这个方向的结果，我们使用以下概念。定义4.6 [收缩模量]设X是一个具有基e的Banach空间设f∈XJ. 则m：N→N称为f的收缩模，如果||（m（k））2 − k对所有k ∈ N。||(m(k))<2 −kfor all k ∈ N.利用这个概念，我们可以定义可计算收缩基。定义4.7 [可计算收缩]设X是可计算Banach空间，具有可计算基e。则称e是可计算收缩的，如果存在sa（δX J，δNN）f∈Xj，任意m∈S（f）是f∈XJ的收缩模.374诉布拉特卡河Dillhage/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）365XXXX我XX现在我们可以用公式表示下面的特征。我们把证据留给读者。命题4.8设X是可计算Banach空间，具有可计算收缩基e。则以下条件是等价的：(1) δCJ≤δX J，(2) （XJ，||||，e，J）是可计算的Banach空间，(3) ||：Xj-R是（δ Cj，δ R）-可计算的。||:XJ→R is(δCJ,δR)– compu table.此外，以下条件彼此等效：(4) δX J≤δCJ，(5) e是可计算地收缩的。现在我们可以得出以下可计算对偶基的特征。前两个条件与前一个命题等价，第二个条件显然蕴涵第三个条件，第三个条件则由[2]中的稳定性定理21.23和推论21.30以及命题3.1蕴涵第一个条件。推论4.9设X是可计算Banach空间，具有可计算收缩基e。则以下条件是等价的：(1) e是可计算的对偶基（即， δC j<$δX J），(2) （XJ，||||，e，J）是可计算Banach空间且e是可计算收缩的，（3）+：XJ×XJ→XJ是（δXJ，δXJ，δXJ）-可计算的，且（||eJ||）i∈N是一个com-假定序列下一个结果，我们表明，单调和可计算的基础上的范数的对偶空间总是可计算的。我们将在命题6.4中证明一个更一般的结果。命题4.10设X是可计算的Banach空间，具有可计算的、收缩的和单一的基。 T h en||||：XJ→R是（δCJ，δR）-化合物以及（XJ，||||，e，J）是可计算的Banach空间。这导致了单调情形下可计算对偶基的以下特征（作为推论4.9、命题4.10和命题3.6的推论）。推论4.11设X是可计算Banach空间，具有可计算的、收缩的和单调的基e。则以下条件是等价的：(1) e是可计算的对偶基（即， δC j<$δX J），诉布拉特卡河Dillhage/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）365375(2) e在可计算地缩小，（3）+：XJ×XJ→XJ是（δXJ，δXJ，δXJ）-可计算的.值得一提的是，第三个条件并不取决于基础。因此，对于一个固定的可计算Banach空间X，任何可计算的、收缩的和单调的基都是自动可计算收缩的，或者没有这样的基具有这种性质。我们得到以下结论。推论4.12设X是可计算的Banach空间。X的任何可计算的、可压缩的单调基e都是可计算的对偶基。下面的结果提供了一个重要的标准，在许多应用中自然满足，并保证我们对基础的要求得到满足。定理4.13（对偶基定理）设X是可计算Banach空间，具有可计算单调基e。如果X是反应性的，一个可计算对偶空间，那么基e是可计算收缩的（因此是一个可计算对偶基）。证据根据[10]中的定理4.4.15，自反空间的任何基都是自动收缩的.根据推论4.11，还需要证明加法+ ：XJ×XJ→XJ在对偶空间XJ上是可计算的，其中x ∈XJ。但由于X具有可计算对偶空间，因此对偶空间XJ是可计算的Bana cspa ce，并且它的Cau cyrenation可等价于δXJ。由于柯西表示使加法可计算，所以所需的结果如下。Q下一个观察结果是，对于可计算的希尔伯特空间X（即可计算的Banach空间，也是希尔伯特空间），一切都自动满足。命题4.14设X是无限维可计算希尔伯特空间。则X有一个可计算的标准正交基e，并且任何这样的基都是可计算的、单调的、可计算的 收缩Schauder基。证据设X是无限维可计算希尔伯特空间。在[7]的引理3.1中，证明了任何可计算Hilbert空间X有一个可算的正交子malba sise。在xc中的一个poinT可以是唯一的用它的傅里叶级数表示为x=∞i=0时阿克斯岛 特别地，e是可计算Schauder基此外，任何希尔伯特空间都是自反的，任何可计算Hilbert空间有一个可计算对偶空间（见[ 7 ]中的定理4.7，这是可计算Fr′echet-Ri es zTeorem的结果）。根据定理4.13，我们得到了理想的结果Q376诉布拉特卡河Dillhage/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）365有一个例子，可计算希尔伯特空间的可计算Schauder基不是可计算对偶基。这个例子特别表明，我们不能简单地忽略命题3.6和4.10、推论4.11和定理4.13中的单调性。除了希尔伯特空间之外，还有许多自然的例子可以证明Banach空间是可计算的对偶基。我们提到了lp空间的例子。Example4.15可计算p>1且装备p的序列paaaacesss pp与常模||（x n）n∈N||p：=p∞i=0时||p ||p 基e，定义为ei（j）：=δij，构成可计算Banach空间，基e是可计算的和单调。从定理4.13可以得出，这个基也是可计算收缩的，因为lp-像l1或C[0，1]这样没有可分对偶空间的空间不能有可计算对偶基。然而，这两个空间仍然允许可计算基。5可计算紧算子在这一节中，我们介绍了可分离Banach空间上紧算子的一种表示，并给出了紧算子的一些基本性质的可计算形式特别地，我们证明了紧算子在某种意义上是封闭的，我们提供了一个可计算版本的Schauder定理定义5.1 [图像表示]设X，Y是可分的Banach空间。我们用下式定义了压缩算子T：X→Y的集合B∞（X，Y）的δB∞（X，Y）：δB∞（X，Y）<$p，q<$=T：<$p[δX→δY]（p）=T和δK（Y）（q）=TBX.也就是说，紧致算子T的名称p，q包含两种类型的信息，作为连续映射的T的名称p和作为紧致集的单位球的像的闭包的名称q如果没有另外提及，我们将假设B∞（X，Y）由δB∞（X，Y）表示。Itfollowsfrom命题3.1和推论3.5：投影是可计算紧的运算符，只要相应的基是单调的。推论5.2设X是可计算Banach空间，具有可计算单调基e。则（Pn）n∈N是B ∞（X，X）中的一个可计算序列，且r∈0 δB∞（X，X）.诉布拉特卡河Dillhage/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）365377另一个相对于这个表示显然变得可计算的操作是与从左开始的有界线性算子的复合命题5.3（复合）设X，Y，Z是可计算Banach空间。然后组成◦ ：<$C（Y，Z）×B∞（X，Y）→ B∞（X，Z），（S，T）<$→ST，线性回归方程S，是（[δY→δZ]，δB∞（X，Y），δB∞（X，Z））-可计算的。证据首先，很明显连续算子的复合是（[δY→δZ]，[δX→δY]，[δX→δZ]）此外，还可以计算紧集的连续象（见[12]中的定理3.3）.也就是说，给定T BX∈K（Y），可以计算出（ST）BX=S（T BX）∈ K（Z）。Q下一个观察是可计算紧算子T∈ B∞（X，F）恰好是可计算泛函T∈Xj，并且这是一致成立的.命题5.4（作为紧算子的泛函）设X是可 压缩 的 Banach空间. 当XJ=B∞（X，F）时，所取的表达式δXJ与δB∞（X，F）是等价的.证据对于任意泛函f：X→F，我们得到fB X= B（0，||F||）.由于映射R：R→K（F），r<$→B（0，r）是可计算的，并且有一个可计算的右逆，所以所需的结果如下。Q从这个结果，人们可以很容易地得出结论，有经典的紧致算子（事实上，泛函）是可计算的，但不是可计算紧致的：在[ 7 ]的例4.6中，一个可计算泛函f：l2→R没有可计算范数。||F||构造了 对于任意紧算子，我们得到一个结果，在一个方向上，类似于前一个，即可以计算任何紧算子的算子界我们将在下面看到，在另一个方向上不能得到任何类似的结果命题5.5（紧算子的算子范数）设X，Y是可计算Banach空间。则地图||：B ∞（X，Y）→ F，T <$→||不||T||是可计算的。证据 对于任何线性有界算子T：X→Y，我们得到||= sup||=sup||X|| ≤ 1||= sup|| T BX||.||.378诉布拉特卡河Dillhage/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）365⎟给定一个紧算子T∈ B∞（X，Y）的名字，我们可以计算出T BX∈ K（Y）的名字 由于紧集的连续像是可计算的（见[ 12 ]中的定理3.3），我们也可以计算||T B X|| ∈ K（R）.最后，我们注意到R的紧子集上的上确界是可计算的（参见[11]中的引理5.2.6），因此得到了所需的结果Q前面的结果导致的问题是否任何经典紧算子是可计算的，并有一个可计算的范数已经是可计算紧的（因为它是泛函的情况下面的例子表明，情况并非如此，甚至对于希尔伯特空间也是如此。例5.6设a=（ak）k∈N是可计算实数序列，使得||21，但||一<||二是不可计算。||2is non-computable.我们在F=R上使用l2，并使用矩阵表示定义线性有界算子T：l2→l2⎛ ⎞⎜1 0 0 0 0··· ⎟⎜ ⎟⎜0a0a1a2a3···T=0⎜⎝0 0 0 0 0 ···⎟. ...⎠. . . .那么T是紧的，因为它的值域是二维的，T显然是可计算的，因为序列a是可计算的，范数||不||= 1是可计算的，但T不可能是可计算的，并且i mageTBl2未被评估sincedTB2（e1）=1−||一||2、不计算。作 为 下一 个 结 果， 我 们 制定 了 一 个可 计 算 版 本的 Schauder 定 理 。Schauder的经典定理指出，对于任何紧算子T：X→Y，TJ：YJ→XJ，f<$→fT又变得紧凑了。在[7]中，我们已经给出了可计算Hilbert空间中这个定理在Banach空间的情况下，我们必须面对的问题是，存在可计算的Banach空间（如l1），其对偶空间（如l∞）不是可计算的Banach空间。为了为了避免额外的技术性问题，我们在这里给出了两个独立的结果，它们将共同给出Schauder定理在对偶空间表现良好的空间中的可计算版本。命题5.7设X，Y是可计算的Banach空间。 则操作C：<$B∞（X，Y）×C（Y）→XJ，（T，f）›→fT，.诉布拉特卡河Dillhage/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）365379回归线性函数f，is（δB∞（X，Y），[δY→δF]，δXJ）-可计算。证据给定T∈ B ∞（X，Y）和f∈ C（Y），我们可以通过命题5.3计算fT∈ B∞（X，F），从而通过命题5.4计算fT ∈ XJ。Q注意，这个结果通过类型转换意味着被认为是映射A：B∞（X，Y）→ C（YJ，XJ），T<$→TJ的伴随映射是可计算的. 然而，为了得到TJ：YJ→XJ作为连续映射的名称，输入信息f在没有范数的情况下给出是足够的||F||（即：提供f∈C（Y）就足够了，不一定是f∈Y（J）。为了得到伴随TJ作为紧算子，我们必须计算，另外，图像TJBYJ作为XJ中的紧集。根据前面的结果，充分证明了BYJ在C（Y）中是可计算紧的.这是，或多或少，声明的可计算版本的定理巴拿赫Alaoglu。我们使用[3]中提供的这个结果的一个如果我们现在结合以前的结果，我们得到以下版本的Schauder定理定理5.8（Schauder可计算定理）设X，Y是可计算Banach空间，其对偶空间XJ，YJ是可计算的. 则地图A：B∞（X，Y）→ B∞（YJ，XJ），T<$→TJ将任何紧算子T：X → Y映射到它的伴随算子TJ的可计算性。证据由命题5.7我们可以通过类型转换得出伴随映射A0：<$B∞（X，Y）→ C（C（Y），XJ），T<$→TJ是可计算的.根据Banach-Alaoglu可计算定理，存在可计算度量空间Z，可计算映射f：Z→ C（Y）和可计算紧集K<$Z使得f（Z）=BYJ。从我们可以计算紧集的连续像的事实（由[12]中的定理3.3）得出，我们也可以计算TJBYJ=TJBYJ=Tjf（Z）∈ K（XJ）。总而言之，这意味着我们可以计算TJ∈ B∞（YJ，XJ）。Q6紧算子在本节中，我们想进一步研究紧算子空间B∞（X，Y）。赋以算子范数，这个空间本身就是一个Banach空间。然而，它不一定是可分的，即使在可分的情况这是有问题的，因为人们希望在紧凑运算符上执行类似加法的操作我们将提供这样的条件，在该条件下，空间是可计算的Banach空间，并且相应的柯西表示在计算上等价于前一节讨论的表示380诉布拉特卡河Dillhage/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）365B（X，Y）∞B（X，Y）∞近似性质在这方面起着特殊的作用。称Banach空间X具有逼近性质，如果对每个紧集K<$X和每个ε > 0，存在有限秩算子T：X→Y，使得||Tx−x||<ε对每个x∈ K。假设X，Y是可分的Banach空间。若对偶空间XJ或空间Y具有逼近性质，则有限秩算子集F（X，Y）在B∞（X，Y）中稠密（见Grothendieck定理：定理1.e.4（v）和定理1.e.5 [9]）。特别地，对于具有收缩基e的Banach空间X，对偶空间XJ具有逼近性质，因为对于这样的空间eJ是XJ的基，并且任何具有基的空间都具有[10]中定理4.1.33的逼近性质。在这种情况下，有一个自然的柯西表示的一组紧凑的运营商。定义6.1 [柯西表示]设X是具有收缩基e的Banach空间，令（Y，||||，f）是可分Banach空间。我们定义一些有限秩算子T：X→Y的编号αef，α efk，n0，.， n k，l0，.， l k（x）：=克i=0时αeJ（ni）（x）αf（li）.则值域（αef）在紧算子集B∞（X，Y）我们用yδC表示B∞（X，Y）的C表示由yαef导出d。由文[7]中证明的Fr′echet-Ries z的可计算性可知，对于Hilbert空间，本文给出的Cauchy表示与文[4]中介绍的Cauchy表示等价对我们来说最有趣的问题是在什么条件下空间（B ∞（X，Y），||||，αef）是可计算的Banach空间，当相应的在计算中，假设δC等于δB∞（X，Y）。我们要开始了-cusss的问题时，柯西表示可以计算反-对于δB∞（X，Y），首先，我们把约束算子作为有界算子来处理。命题6.2设X是可计算Banach空间，具有可收缩可计算基e，Y是可计算Banach空间。 然后注射CB∞（X，Y）inj：B∞（X，Y）<$→ C（X，Y），[δ X→δ Y]）-可计算的。在第二步中，我们要考虑单位球图像上的信息因此，使用下面的引理是有帮助的是（δ诉布拉特卡河Dillhage/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）365381ΣJB（X，Y）∞引理6.3设X，Y是Banach空间，S，T：X→Y是紧算子。 然后dH（SB X，T B X）≤||S − T||.现在我们准备证明下面的结果。这里我们必须假设空间X的基是偶单调的。命题6.4设X是可计算Banach空间，具有单调、收缩和可计算基e，设（Y，||||，f）是可计算的Banach空间。然后图像地图CB∞（X，Y）im：B∞（X，Y）→ K（Y），T<$→T BX，δK（Y））-可计算。证据根据前面的引理6.3，可以考虑T=Kαef（n）= i=0αeJ（ni）αf（li）forsomen=k，n0，...， nk，l0，.， 我知道了。WECAN一个具有如下形式的sumetachni=nhi，nmi0，.，我爱你，我爱你TX=克i=0时克αeJ（ni）（x）αf（li）=i=0时αf（li）伊什岛j=0αF（m ij）eJ（x）.现在我们让h：= max {h0，.，h k}，我们称TP hBX= T BX。 是很明显，““成立，因为根据引理3.4， 对于“”，提供TBX不包含T PhBX，因为PhBX是完整的，并且T PhBX是封闭的。设y∈TBX.存在一个x=拉克什∞i=0时xi ei∈BX，其中xi∈F，且Tx=y。 其中xJ：=Ph x=i=0x i e i，我们得到Tx = T xJ。 由于xJ∈PhBX，我们可以得出y∈TPh BX。我们证明了给定n，我们可以计算出PhBX∈ K（X）。推论3.5证明了（PnBX）n∈N是K（X）中的可计算序列.由于紧集的连续像可以计算（由[12]中的定理3.3），因此可以计算T BX∈ K（YQ当X是一个可计算的Banach空间，具有单调的、可收缩的和可计算的基e时，我们得到如下命题。命题6.5设X是可计算Banach空间，具有单调、收缩和可计算基e，设Y是可计算Banach空间。则（B∞（X，Y），||||，αe f）是一个可计算的Banachs pa ce，δC≤δB ∞（X，Y）.证据表示的可计算约简直接由命题6.2和命题6.4得出。显然，标量的加法和乘法在关于αef的稠密子集中是可计算的。是（δ382诉布拉特卡