非线性系统辨识的R库：幂型多项式方法 | 开源文件（软件X 11）

软件X 11（2020）100495原始软件出版物一个用于非线性黑箱系统辨识的R库Helon Vicente Hultmann Ayalaa，a，Marcos Cesar Grittib，Leandro dos SantosCoelhob，ca里约热内卢天主教大学机械工程系（PUC-Rio）Marques de Sao Vicente，225，Zip code 22453-900，Rio de Janeiro，RJ，Brazilb巴拉那联邦大学电气工程系。 Francisco Heraclito dos Santos，100，邮政编码81531-980库里蒂巴，PR，巴西c工业和系统工程研究生课程（PPGEPS），巴拉那天主教大学（PUCPR）Imaculada Conceicao，1155，邮编代码80215-901，库里提巴，PR，巴西ar t i cl e i nf o文章历史记录：收到2019年收到修订版2020年1月17日接受2020年保留字：系统辨识开源非线性系统NARMAXa b st ra ct具有外生输入的非线性自回归（NARMAX）模型是动态系统最一般的数学抽象之一，在不同领域的数据驱动建模中在本文中，我们介绍了在R的narmax包的非线性黑箱系统的识别使用幂型多项式。其目标是为社区提供能够有效解决非线性识别问题的软件，以便从业者可以共享他们的代码并获得可重复的结果，并引入一个框架，以便在丰富的R生态系统中提供其他识别方法。我们的目标是封装程序，如生成回归矩阵，预测自由运行模拟，估计参数与标准和扩展的正交最小二乘法，模型验证工具，使用户可以集中大部分的时间和精力在建立和测试不同的模型。©2020作者由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）中找到。代码元数据当前代码版本v1.0用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX_2019_262开发存储库https://github.com/helonayala/narmax法律代码许可证GPL-3.0使用git的代码版本控制系统软件代码语言、工具和服务使用R编译要求，操作环境依赖性R软件包：devtools，stringr，latex2exp，ggplot2，progress，roxygen2，tidyr示例用户手册链接https://github.com/helonayala/narmax/blob/master/documentation/manual.pdf问题支持电子邮件helon@puc-rio.br1. 动机和意义黑盒模型在实践中是有用的，因为它们允许使用现成的实验方法来构建抽象的抽象，然后可以离线用于设计和分析[1]。它们可以根据其输入类型进一步分类NARMAX（Nonlinear MovingAverage with eXogenous Inputs，非线性移动平均线）原理于20世纪80年代被引入，是一种代表性的方法。*通讯作者。电子邮件地址：helon@puc-rio.br（H.V.H.Ayala），cesargritti@gmail.com（M.C.Gritti），leandro. pucpr.br（L.dos Santos Coelho）。https://doi.org/10.1016/j.softx.2020.100495站的框架，跨越了广泛的非线性动态系统[2]。NARMAX模型是由滞后输入、输出和预测误差组成的系统的数学抽象[3]。通常，NARMAX模型是使用高阶多项式实现的，但也存在用于非线性模型的其他结构，例如支持向量机[4]、波网[5]和人工神经网络[6，7]。它已成功地应用于不同的应用领域，如滞后压电致动器[8，9]，多体系统[10]，微定位[11]，机器人[12]，质子交换膜燃料电池系统[13]，基于溶剂的燃烧后二氧化碳（CO2）捕获过程[14]，疲劳损伤检测[15]，自主2352-7110/©2020作者。 由Elsevier B.V.出版。这是一篇开放获取的文章，使用CC BY许可证（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softx2H.V. H Ayala，M.C.Gritti和L.dos Santos Coelho/SoftwareX 11（2020）100495−−[客户端][客户端]ˆ| −[客户端]∑ˆ[客户端]⎪⎨R2=1−k=1水下航行器[16]、风能[17]、人类步态分析[18]和太阳关于可用于系统识别的软件包，我们在下文中以软件包的形式引用了最相关的可用选项系统识别系统TM在八十年代后期开始发展，并提出了线-耳和非线性方法，如子空间，预测误差最小化，人工神经网络，该编程环境中的其他选项是频率域系统识别工 具 [22] ， 它 提 供 线 性 非 参 数 方 法 。 连 续 时 间 系 统 辨 识（CONTSID）允许在频域中创建传递函数[23]。然而，上述软件的使用仅限于那些拥有许可证的人，并阻碍了社区的贡献，因为它们不是开源的。对于数据驱动的建模从业者来说，开源形式的分布式软件几乎没有什么选择。在[24]中，作者提出了在综合R存档网络（CRAN）中可用的R中的sysid包，用于系统识别，并且仅限于线性系统的情况。对于Python环境，SIPPY包提供了线性和子空间方法[25]。[26]中提出了一种用于系统识别的交互式软件，该软件不是开源的，但可以免费下载，其中包含大多数实现的线性模型。我们可以看到，一个封装了非缺乏在开放源代码环境中的线性黑箱系统建模本文介绍了R中的narmax包，以实现黑盒非线性系统识别。具体来说，当前版本处理幂形式多项式NARMAX模型，但该软件包支持对基于机器学习模型的其他方法的扩展，例如[27]。因此，在未来的版本中，可以在NARMAX范式的背景下探索用于非线性建模的活跃而丰富的R我们希望创造一个积极的环境，让研究人员和从业人员能够有效地使用、分享和复制成果。本文件的主要目标是促进信息交流，为新开发的方法提供比较基础，以便所有方法都能复制和借鉴其他同行的成果代码结构的设计使得用户可以将大部分时间用于创建模型，而不是调试代码。我们封装的方法来定义，估计和vali-Fig. 1. 黑盒系统识别所研究系统的描述。假设输入u（k）以非线性方式引起输出y（k），其中k表示时间索引。我们总是认为u（k），y（k）在任何时刻都是可测的。 系统识别的目标是从模型的输入构建映射以执行预测，在黑盒情况下仅使用测量的输入/输出数据其中y（k k1）表示模型在时间k做出的预测1，包括测量噪声的影响，位置 可能的建模误差或影响系统的不可测干扰。虽然NARMAX项与模型输入的性质有关，但（通常）非线性函数映射F。定义用于识别的模型结构的类型。线性模型是F. 满足叠加条件。在非线性情况下，F. 是人工神经网络（例如多层感知器或径向基函数）、基于模糊逻辑的模型、小波展开或幂型多项式。我们将在下文中集中讨论，在例如[28]中详细描述。使用幂形式多项式映射的NARMAX模型结构根据与模型复杂性相关的参数构成项的完全展开，其设置模型将具有多少滞后项和乘法幂2.1. 模型验证验证了所建模型在系统辨识中的泛化能力和预测精度。提前一步（OSA）残差的计算公式如下：（2），即使用关于u（k），y（k）直到k1的最新信息。如果我们在预测上计算预测，并且仅使用测量信息来初始化预测循环，则结果被称为自由运行（FR）预测。为了评估预测精度，我们可以使用定义为的多重相关系数，对模型进行日期标注，这些模型有时很繁琐，而且容易出错活动∑N[y（k）−y（k）]22. 软件描述Nk=1 [y（k）−y <$]2目前的工具箱主要用于构建NARMAX黑盒模型，通过简化经常遇到的重复性任务，使用户可以花费时间创建模型，而不是在繁琐的试错过程中调试它们。考虑图1所描述的系统，其中y（k），u（k）分别表示其在时间k的输出和输入。非线性黑箱系统辨识的NARMAX模型结构定义为：y（k）= F [y（k − 1），y（k − 2），. . . ，y（k − na），其中y（k）是OSA或FR中的预测，上条表示序列的平均值，N是样本的总数。使用R2的优点是它不依赖于测量的量的幅度，因此可以在不同的上下文中解释。验证模型的另一种可能性是分析残差的统计特性。在[29]中，作者提出了一系列检验，这些检验表明基于非线性模型相关函数系数计算的模型的有效性。对于非线性模型，检验集由下式给出：u（k-1），u（k-2），. . . ，u（k-nb），e（k-1），e（k-2），. . . ，e（k-nc）]+ e（k）（一个）e（τ）=δ（τ），其中e（k）是时间k处的噪声序列，na、nb、nc分别表示输出、输入和噪声项中的模型阶次，并且F。是一些非线性函数，它执行从模型的输入到预测输出的映射。的ue（τ）=0，εe（eu）（τ）=0，τ≥0，ε（u2）′e（τ）=0，ετ，ε2（u2）′ e2（τ）=0，ετ，（四）噪声项可以定义为预测误差[28]e（k）=y（k）−y（k|k−1）（2）其中δ（·）是克罗内克δ函数，并且δb是两个序列{a}之间的归一化互相关函数，并且⎪（三H.V. H Ayala，M.C.Gritti和L.dos Santos Coelho/SoftwareX 11（2020）1004953±∑= − =++[][]k=1I=={b}，由下式给出：∑N−τ[a（k）−a<$][b（k+τ）−b<$]步骤3：ERR计算：对于字典的每个元素，如（10）中那样计算ERR;步骤4：更新字典和模型构造：术语ab（τ）=[∑Nk=1[a（k）−a<$]2∑N[b（k）−b <$]2]1/2 、（五）从字典并被添加到结果模型中;和（u2）′（k）（u（k））2u<$2，（欧盟）e（k1）u（k①的人。在实践中，（4）中的检验是在95%的置信度下进行的（1. 96/N1/2）。检验表明，残差是不可预测的输入序列，这是一个理想的功能，在一个模型。2.2. NARMAX模型项选择和参数估计NARMAX模型的构造应包括多项式展开式项的选取和相关参数的估计。有关NARMAX模型的模型构造方法的综述，请参见[30]。在本节中，我们将设计幂形式多项式NARMAX模型的估计，如[28]所示，因此所有的符号和开发都归功于此参考文献。首先，我们研究了模型项选择和估计过程，称为前向回归正交最小二乘（FROLS）及其对NARMAX模型的迭代适应，称为扩展最小二乘前向回归正交最小二乘（ELS-FROLS），也在[28]中有更详细的描述。2.2.1. 弗洛斯FROLS算法是正交分解的应用，通过计算称为误差减少比（ERR）的度量要看到这一点，现在考虑方程中的模型（1）写作My（k）= [θipi（k）]+e（k）（6）i=1其中，pi（k）是全模型的各个项（根据其阶数），θi是相应的自由参数。在矩阵公式化之后，接着进行正交化，可以将（6）重写为y=Wg+e（7）对于N个样本，我们有y= （1）· · ·y（N）n，e=e（1）并且矩阵W具有正交列并且g= [g1，g2，. . .，gM]k是辅助参数向量。它可以被计算为gy，wi，i1，2，. . . ，M，（9）你好，我好第5步：终止标准：检查ERR系数之和每个所选项的系数低于阈值ρ。如果为false，则返回到步骤3并更新字典，否则终止。2.2.2. ELS-FROLSFROLS算法是一种有效的选择线性参数模型中的项的方法，以便只包括那些对最小化误差贡献最大然而，它不能直接处理NARMAX模型中MA项的估计。通过采用ELS-FROLS策略，可以采用简单而有效的策略来创建基于FROLS算法的NARMAX模型[28]。ELS-FROLS由3个基本阶段组成：（i）过程项选择和估计，（ii）噪声项选择和估计，（iii）模型选择项参数估计。下面给出了ELS-FROLS的一步一步的步骤步骤1：定义模型结构的参数：设置顺序模型的非线性度;步骤2：过程项的选择：使用FROLS算法根据阈值ρp执行与过程变量相关的项的选择，并使用仅具有过程项的模型计算残差的临时向量;步骤3：噪声项的选择：现在选择字典中的噪声项，根据阈值ρn使用FROLS算法;第四步：对选定项进行参数估计：根据选定的过程项和噪声项，估计模型参数。执行多次迭代：使用任何最小二乘程序估计选定模型参数的向量，并更新残差向量。2.3. 计算实现narmax包是使用devtools[31]创建的，我们试图遵循它的指导方针。它可以在GitHub上用于pull requests1。代码分为以下文件，以实现迄今为止在构建，模拟和验证所构建模型中设计的方法：• 估计量R其中wi是M的第i列。参数θ的向量可以很容易地与g相关，矩阵来自正交分解过程（详见[28]）。通过使用（7）中的公式，可以计算（6）中每个模型项的ERR。每个术语的ERR计算如下：顾名思义，所有与模型参数估计相关的函数都保存在这里。因子分解者R这里描述了自适应矩阵分解代码发电机R在这个文件中，我们保留了回归矩阵的生成，[错误] =g2×wi，wi×100%i=1 2M（十）所有NARMAX的案子我基基...... . .，的。• 模型R，它包含了模型的初始化，同样对于所有它可以用来选择在模型中保留的更重要的项。这种策略将导致简约的NARMAX模型，并理想地避免虚假项。FROLS算法可以总结如下。步骤1：定义模型结构的参数：设置顺序模型的非线性度;步骤2：创建字典：定义一个由所有NARMAX案件。预测因子R本文件中给出了与模型仿真相关的功能。这些函数能够处理OSA和FR中的所有NARMAX子模型。打印机简单地说，模型的控制台打印保存在这里。模型项pi，根据多项式展开1https://github.com/helonayala/narmax····k=14H.V. H Ayala，M.C.Gritti和L.dos Santos Coelho/SoftwareX 11（2020）100495乌蒂尔斯河这里保留了一些实用功能，如误差计算、归一化相关性和绘图准备。总之，软件包最重要的功能是（i）模型结构的定义，（ii）项选择和参数估计，以及（iii）模型验证。需要强调的是，这些功能已被封装，并使用了S3功能，以便相应地运行依赖于架构在代码中，文档是使用roxygen2构建的。所有的帮助文档都可以通过使用？R中的function_name。下面我们将介绍这三个重要步骤的使用。3. 说明性实例在本节中，我们将说明系统识别中模型构建和验证的每个工具箱功能。请参考作为本文补充材料提供的软件手册，以获取详细示例2。每一步都分为模型定义、项选择和参数估计以及模型验证，封装了NARMAX模型家族中所有可用的模型类。3.1. 模型的定义模型的定义应在模型评估之前进行。对于NARMAX模型，我们有以下定义：R>mdl−narmax（ny，nu，ne，nl）<模型结构的定义就是简单地设置它的顺序。对于这个函数调用，我们分别有输出（ny）、输入（nu）、残差（ne）和多项式次数（nl）中的滞后数。该软件包还提供了以下子模型，每个子模型都有其各自的函数调用：AR（自回归），ARX （具有eXogenous输入的自回归），ARMA（自回归移动平均），NARX（具有eXogenous输入的非线性自回归），NAR（非线性自回归）和NARMA（非线性自回归移动平均）。结构的定义遵循与上述NARMAX示例相同的逻辑。3.2. 术语选择和参数估计第2.2节中简要介绍的算法由单个函数调用封装，与所选的模型结构无关。假设我们想要估计我们在前一步中定义的模型，我们按以下步骤进行R>mdl−estimate（mdl，Y，U，rho_p，rho_n）<请注意，我们使用之前创建的mdl变量测量数据后面是Y，U，用于选择项并估计其参数。参数rho_p和rho_n分别是过程项和噪声项的阈值在估计参数之后，最终模型被保存在变量mdl中，该变量现在可以用于预测。2 https://github.com/helonayala/narmax/blob/master/documentation/manual。PDF3.3. 模型验证模型的验证是通过使用预测及其相关的指标。成功进行模型估计后，我们可以使用以下行获得与预测相关的输出列表：R>P−predict（mdl，Y，U，K）<其中K =1用于获得OSA预测，而K =0返回FR模拟。现在，存储在P中的列表可以用来检索关于预测的相关信息。如果我们想绘制预测值与测量数据和残差的关系图， 我们可以分别如下进行R>print（P$ploty）如在Eq. （4）当调用OSA预测时，可以用下面的代码以完全相同的方式图形化地R>print（P$xcorrel）列表P还包含具有来自预测的原始数据的框架下面给出了一个示例帧，列分别是采样时间、测量输出、输入、预测和残差。R>头部（P\$dfred）时代悠悠1 2 53.6 0.000 53.69451 -0.0945108262019 - 05 - 23 0.178 53.377680.1223237313 4 53.5 0.339 53.367960.1320391432019 - 04 - 23 0.373 53.280400.1195965005 6 53.1 0.441 53.16418 -0.0641779622019 - 06 - 21 0.461 52.70895 -0.0089454414. 影响系统识别的应用是巨大的，跨越各个领域[8，19]，但是缺乏可用性开源和免费提供的代码，用于计算实现，重用和适应新方法。由于许多物理系统可以被视为从输入到输出信号的数学抽象转换为动态因果关系，系统识别方法的范围扩展到许多科学领域。在最近的新研究工作方面，人们对利用数据驱动的动态模型非常感兴趣，例如，从测量的输入输出数据中发现物理定律本文提出的工具箱可以充分地用于新的应用程序和富有成效的扩展，以适应新的方法在活跃的研究领域的数据驱动建模。研究复制也是工具箱旨在促进分享该领域研究工作值得一提的是，本版本中考虑了繁琐的易错方法，这将利用并加速系统识别领域的未来贡献。而且，参数估计算法和可用的开源机器学习包也可以汇集在一起，以进一步改进和研究发现。本工具箱使常用程序的标准化成为可能·H.V. H Ayala，M.C.Gritti和L.dos Santos Coelho/SoftwareX 11（2020）1004955[客户端]5. 结论在目前的工作中，一个新的包在R中介绍了实现NARMAX方法的黑盒系统识别。该软件包封装了繁琐的容易出错的程序的模型的建设，如不同的视野预测，长期选择和参数估计，和残差为基础的模型统计验证。目标是双重的。使从业者能够专注于模型构建活动，并允许研究人员在统一的框架中共享可复制的代码。因此，我们希望利用数据驱动的动态系统建模社区在开源环境（如R统计编程语言）中共享方法的兴趣此外，我们的目标是促进不同模型的应用更准确的系统仿真。该项目在GitHub上可用，因此用户可以通过forking和pull request进行贡献，请参阅元数据中指示的存储库。5.1. 未来版本下文列出了几个需要今后作出贡献的短期问题多变量系统识别：扩展到多变量系统，即具有多个输入和输出，是一个问题，需要额外的工作来保持代码的通用性和语法的简单性。比较不同的黑盒模型：在一个单独的图中比较不同模型的结果是有用的，或者通过扩展可能的模型参数的网格来构造表格。可以包装代码来测试许多模型，就像在插入符号包中所做的那样[34]。残差频谱分析：分析模型的结果也很重要，该结果比较了测量信号、模型输出和残差的频谱。它可以检查模型在哪个波段表现更好或更差，因此这些信息可以为新数据采集和模型应用提供反馈。激励信号的设计：也可以实现激励信号的设计，从通用信号（如多线或滤波后的随机噪声）开始，因此该软件包不仅可用于建模，还可用于辅助实验来自机器学习的模型：在Eq. （1）可以看出，函数F。可以通过例如来自机器学习的任何回归模型来执行。通过将本软件包与其他软件包（如caret[34]或mlr [35]）集成，使它们能够处理动态系统模型构建和验证的特殊性，可以轻松测试整个不同类型的模型。此外，一旦我们构建了许多不同类型的模型，也可以构建模型集成，如[36]中所示。重要的是要强调，这些方案使用在本软件包的核心中实现的许多功能。这将导致更准确的模型识别，因此，更好的动态系统模型模拟。超参数搜索：如果能够用一个命令来查找许多不同的模型，这将是有益的因此，在未来的版本中，我们计划实现测试一组模型顺序和使用重新排序进行验证的功能。竞合利益作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，可能会影响本文报告的工作致谢作者要感谢CAPES的财政支持（高等教育人员改进协调-巴西政府）赠款编号88887.163347/2018- 00，巴西国家科学技术发展委员 会- CNPq （ 赠 款 编 号 ： 303906/2015-4-PQ 、 404659/2016-0-Univ、430395/2018-3-Univ和400119/2019-6-ERC）和FA（Fundação Araucária）PRONEX：042/2018的财政支持。引用[1]Ayala HVH.计算智能方法应用于非线性黑箱系统识别（博士论文），库里蒂巴，巴西：工业和系统工程研究生课程，巴拉那天主教大学;2016年。[2]ChenS，Billings SA.非线性系统的表示：NARMAX模型 InternatJ Control1989;49（3）：1013-32.[3]Rahrooh A，Shepard S.基于NARMAX模型的非线性系统辨识。非线性肛门TMA 2009;71（12）：e1198[4]马丽，刘X.非线性Hammerstein系统辨识的一种新的APSO辅助加权LSSVM方法。 J Franklin Inst B 2017;354（4）：1892 - 906。[5]Abiyev RH， 凯纳克 噢， 卡亚詹 E. 一 2型 模糊 小波 neu，neu用于系统识别和控制的Ral网络。J Franklin Inst B2013;350（7）：1658-85。[6]Ayala HVH，Coelho LS.基于相关函数和径向基函数神经网络的非线性系统辨识级联进化算法。Mech Syst Signal Process 2016;68[7]GuptaP，Sinha NK. 非线性系统的一种改进方法使用神经网络识别。 J Franklin Inst B1999;336（4）：721-34.[8]邓力，谭耀宗。使用NARMAX模型对压电致动器中的迟滞进行建模。传感器执行器A 2009;149（1）：106[9]Ayala HVH，Habineza D，Rakotondrabe M，Coelho LS.基于协同进化算法和径向基函数神经网络的非线性黑箱系统辨识。Appl Soft Comput2020;87：105990.[10]EderR，Gerstmayr J.特殊遗传识别算法，频域中的平滑。 Adv Eng Softw2014;70：113-22.[11]谭毅，邓立。利用NARMAX模型对具有迟滞的动态夹层系统进行建模。数学计算模拟2014;97：162[12]Al-Dabbagh RD，Kinsheel A，Mekhilef S，Baba MS，Shamshirband S.基于模 糊 自 适 应 差 分 进 化 算 法 的 机 械 手 系 统 辨 识 与 控 制 。 Adv Eng Softw2014;78：60[13]郑S，刘俊.质子交换过程的非线性建模与辨识膜燃料电池（PEMFC）。Int J Hydrogen Energy 2015;40（30）：9452[14]Akinola TE，Oko E，Gu Y，Wei H，Wang Meihong.溶剂型燃烧后二氧化碳捕集过程的非线性系统辨识。燃料2019;239：1213-23.[15]HuangH，Mao H，Mao H，Zheng W，Huang Z，Li X，Wang X.研究基于NARMAX建模的非线性输出频率响应函数的旧部件累积疲劳损伤检测。JSound Vib2017;411：75-87.[16]RoutR，Subudhi B.NARMAX自校正控制器，用于基于视线的自 主 水 下 航 行 器 的 航 路 点 跟 踪 。 IEEE TransControlSyst Technol2017;25（4）：1529-36.[17]Subudhi B，Ogeti PS.基于非线性自回归滑动平均模型的风能转换系统自适应控制。J Eng2016;2016（7）：218-26.[18]ShahabpoorE，Pavic A，Brownjohn JMW，Billings SA，Guo L，Bocian M.是真的-使用可穿戴惯性测量单元的最佳网络进行三轴步行地面反作用力的寿命测量。IEEE Trans Neural SystRehabil Eng2018;26（6）：1243-53.[19]博因顿 RJ 巴利欣 马云： 比林斯 SA， 魏 HL， 加努什金娜 N. 使用的NARMAX OLS-ERR算法，以获得最有影响力的耦合功能，影响磁层的演变。J Geophys Res：Space Phys2011;116（A5）：A05218.[20]永湖 用Mathwork系统辨识状态空间模型识别，辨认，辨认fication工具箱In：IFAC Symp.辨识与系统参数估计。匈牙利布达佩斯; 1991年。[21]Ljung L，Singh R. 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