VVVVVVVVVV可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记341（2018）73-90www.elsevier.com/locate/entcs高维范畴：关于可拓性的归纳1Thomas Cottrell托马斯·科特雷尔2，5巴斯大学数学科学系英国贝辛斯托克Soichiro Fujii藤井总一郎3，5，6东京大学工学部日本东京John Power约翰·鲍尔4，5巴斯大学计算机科学系英国贝辛斯托克摘要在本文中，我们探讨，丰富，否则温和地推广了一个突出的定义弱n-范畴的Batanin，作为refined由Leinster，给弱n-维范畴的定义，以期在程序设计语义的应用。我们要求是局部可表示的，并且是（无限地）广泛的，这是一个确保余积是适当良好行为的条件。 我们的主要例子，这就是范畴ω-Cpo，ω-Cpo-丰富的双范畴已经被用于指称语义学。我们阐明了莱因斯特的定义中递归的隐含使用，通过反复丰富的过程产生更高的维度。 关键是，如果是一个在当地很有代表性的广泛的类别，那么小图和小范畴的范畴也是如此。迭代，这产生了n维图和严格n维图的范畴。- 在当地也可以展示和广泛的类别。我们证明了自由严格n维n维范畴上的-范畴单子- 图是carpine。 这一点，加上加纳的结果，使我们能够遵循巴塔宁和莱因斯特的方法定义弱n-范畴。在V = Set的情况下，得到的弱n维的定义V-范畴符合Leinster的定义.关键词：高维范畴，丰富范畴，广延范畴，Carbammonadhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2018.11.0051571-0661/© 2018作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。74T. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）73CVVV1引言Bicategies已经被用于模拟计算现象多年，如并发[6]和绑定器[18]。bicategory的集合Bicat具有tricategory的结构，它偶尔显式地出现[17]，而在编程语义学文献中更经常隐式地出现[6]但一般来说，什么是弱n-范畴呢？任意n的严格n-范畴已经被用来建模并发[19]和与重写[12]有关。因此，对于任意n的弱n-范畴证明对编程语义也有价值似乎只是时间问题在这里，我们探索，丰富，或者温和地概括了Batanin [ 1 ]的一个突出定义，由Leinster [16]改进，以及周围的理论：他们假设了复杂的数学知识，掩盖了固有的递归，并且没有考虑编程语义的问题。Batanin和Leinster 单子T（n）（见定义3.1）。对任意范畴C上的任意有有限极限的CarnummonadT，片范畴C/T1具有一个典范么半群结构（命题5.1）。在这个幺半群范畴中的幺半群称为T-操作数[16]，有时也称为T -俱乐部[14]或T-范畴[3]。如果O=（（ar O：O−→T 1），m，e）是T-运算数，则O-代数由对象X和O在X上的作用组成。Leinster在T（n）-操作数上引入了压缩的概念（定义6.1），并将弱n-范畴定义为初始T（n）-操作数具有压缩的代数。巴塔宁和莱因斯特的工作中隐含的归纳的核心比人们想象的要简单。 关键的事实是，如果V是一个具有有限极限的（有限）广范畴（见定义2.1），那么小V-图的范畴（定义2.2）和小V-范畴的范畴也是如此。迭代，这产生了类别V-Gph（定义2.3，富集n-Gph）和V-Cat（n）（定义2.4，丰富也是一种广泛的、有限的限制。扩展性使人们能够证明了从-Cat（n）到-Gph（n）的遗忘函子允许一个左伴随，并且导出的单子T（n）是左伴随的.我们采用加纳一个弱n维范畴则被定义为一个初始T（n）-操作数的压缩 为了确保初始的T（n）-操作数确实存在，我们对V施加了一个温和的大小条件，即局部可表示。这个附加条件对我们的归纳过程是无害的，因为只要V是局部可表示的，V-Gph也是局部可表示的。让V成为范畴ω-Cpo允许递归的建模，例如使用ω-Cpo-enriched1未生成与本文相关的数据2电子邮件：T. P. bath.ac.uk3电子邮件：soichi@is.s.u-tokyo.ac.jp4电子邮件：A. J. bath.ac.uk5由英国皇家学会资助IE160402。6ERATO HASUO Metamathematics for Systems Design Project（No.JPMJER1603），JST.（n）T. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）7375V VVi∈Ii∈I[18]中的bicategies，axiomatising binders[9]。在第2节中，我们回顾并进一步发展了我们在[8]中广泛研究的无限外延概念，扩展了由Carboni，Lack和Walters在[5]和Cockett在[7]中发展的Lawvere的无限外延条件。在第3节中，我们使用扩张性条件来证明从-Cat到-Gph的遗忘函子生成一个关于-Gph ，在Sec-第四，我们把这个结果推广到更高的维度，得到了V-Gph（n）上的一个卡莫单子T（n）。 然后我们在第5节中解释任何卡莫单胞菌T的T -操作数. 在第6节中，遵循但适应加纳 在第7节中，我们证明，V是局部可表示的和广泛的，初始T（n ）-操作数的V-丰富版本与收缩存在，概括了Batanin和Leinster的思想路线 完成了弱n维V-范畴的一个定义2可拓性、V-图和V-范畴Lawvere引入了广泛的范畴，并在[5，7]中进一步发展。在他们的工作中，泛范畴意味着有有限余积满足一个附加条件的范畴。我们需要把它推广到一个相应的无穷条件，参见[8]。对于任何具有小余积的范畴V，以及对于V的对象的任何集合I和I-指标族（Xi）i∈I，考虑函子：（V/Xi）−→V/（第十章（一）映射（fi：Ai−→Xi）i∈I到（i∈Ifi：i∈IAi−→i∈IXi）.定义2.1具有小余积的范畴V是广延的，如果对V的对象的任意集合I和I-指标族（Xi）i∈I，函子 （1）是范畴的等价。广泛范畴的主要例子是Set和范畴ω-Cpo对于任何具有有限极限的泛范畴V，我们给出了递归定义的范畴V-Gph（n）和V-Cat（n）为了定义前者，我们首先需要定义V-图的范畴定义2.2设V是一个范畴。(i) 一个小V-图G由一个集合ob（G）组成，对于每个x，y∈ob（G），对象G（x，y）∈V.(ii) 一个从G到GJ的V-图映射是一个函数f：ob（G）−→ob（GJ），对于每个x，y∈ob（G），在V中有一个映射fx，y：G（x，y）−→GJ（fx，fy）.我们用V-Gph表示所有小V-图和映射的范畴.构造（-）-Gph通常扩展到局部小范畴的2-范畴上的endo-2-函子。76T. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）73V(0)（n+1）（n）我(0)（n+1）（n）很容易看出函子：i∈I（V-Gph/Gi）−→V-Gph/（i∈IGi）（asi∈IGi）同构于f。因此也是满射的Q定义2.3对于每个自然数n和任何范畴，（n）V-Gph定义如下：V-Gph= V;V-Gph=（V-Gph）-Gph.定义2.4对于每个自然数n和任何具有有限乘积的范畴V，范畴V-Cat（n）定义如下（使用增广结构）：V-Cat= V;V-Cat=（V-Cat ）-Cat。当V=Set时，我们将V-Gph（n）用n-Gph表示，并将V-Cat（n）n-猫我们现在证明，如果V是一个有有限极限的广延范畴，那么V-Gph和V-Cat也是。实际上，为了确保V-Gph和V-Cat是广延的，对V具有严格初始对象的弱得多的要求是严格的。回想一下，一个范畴中的初始对象0被称为严格的，如果每个进入0的态射都是同构。每一个广延范畴都有一个严格的初始对象;考虑（1）中的情形I=0命题2.5如果V是一个有严格初始对象0的范畴，那么V-Gph是广延的。证据V-图的集指标族（Gi）i∈Ii∈IGi）=i∈IOb（Gi）给出，（G）（（i，x），（iJ，xJ））=.Gi（x，xJ）ifi=iJ，i∈I0否则。（1）是真实的，是可靠的。 对于V-Gph/（i∈IGi）中的任意对象（f：H −→i∈IGi），定义一个对象（fi：Hi−→Gi）i∈I∈ i∈I（V/Gi），通过f沿共射σi：Gi−→i∈IGi;注意这些拉包仍然存在，并且Hi是恰好是H的合适的因为0是严格的，（i∈Ifi：i∈IHi−→命题2.6如果V是一个有严格初始对象和有限乘积的范畴那V猫的范围很广.证据与上述类似。参见[8，命题2.6]了解细节（注意，在初始对象为0和有限个乘积的范畴V中，0是严格的当且仅当0×B∈V=0）。QV-Gph或V-Cat中的有限极限是直接的.我们将把回调作为一个例子，因为它们将在第3节和第4节中发挥重要作用。T. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）7377命题2.7设V有有限个极限。交换平方KP BHGA XF在V-Gph或V-Cat中是拉回当且仅当下图左边的正方形是Set中的拉回，并且对于任何对p1，p2∈ ob（P），写作ai=h（pi），bi=k（pi）和xi=f（ai）=g（bi），i=1，2，右边的正方形是V中的拉回。Kob（P）ob（B）P（p1，p2）kp1，p2B（b1，b2）Hob（A）FGob（X）hp1，p2A（a1，a2）fa1，a2gb1，b2X（x1，x2）为了在后面的章节中证明单子的笛卡尔性，我们需要几个关于可拓性的结果，所以我们在本节的剩余部分收集这些结果，扩展[8]的工作。命题2.8具有小余积的范畴V是广延的当且仅当对任意集合I，V的对象的I-指标族（Xi）i∈I，V中的态射f：A−→i∈IXi，以及交换平方τiAiAfiXiσiFi∈IXi（二）在V中（其中σ i是第i个共投影），每个正方形（2）是拉回正方形当且仅当（τ i）i∈I定义一个共积（即A=i∈IA i，τ i是第i个共投影）。证据 参见[8，命题2.3]。Q命题2.9设V是一个广延范畴。对于V中的任何集合I和I-索引的回调正方形族，如下图左侧所示，正方形78T. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）73我右边是一个回调。QIPiBii∈IPii∈Iqii∈IBi我爱我AiXifii∈Ipii∈IAii∈Ifii∈Igii∈IXi赞成。 通过 的 定义 的 扩展性，的 函子：i∈I（V/Xi）−→i∈IXi）是范畴的等价，特别地，它保持二元产品.Q命题2.10设V是一个有有限乘积的泛范畴。任何B∈ V，函子（−）× B：V −→ V保持小余积。证据在任何类别中，下图左边的正方形总是回调。因此，对于任何对象B∈V，集合I，和V的对象的I-索引族（Xi）i∈I，对于每个i∈I，右边的正方形是拉回。A×Bh×BC×B01-02Xi）×Bπ1π1一个CHπ1Xiσiπ1i∈IXi因此，根据命题2.8，（i∈IXi）×B=i∈I（Xi×B）。Q命题2.11设V是一个广延范畴。 对于任何对象Y ∈ V，切片范畴V/Y又是可拓的。证据 C显然V/Y有小的余积，i∈I（f i：X i−→Y）=（[fi]i∈I：正则函子（V/Y）/f−→ V/X，它映射（h：（g：A−→Y）−→f）∈（V/Y）/fto（h：A−→X）∈ V/X是范畴的同构。 对于任何集合，和V/Y的对象的I-指标族（fi：Xi-→Y）i∈I，图i∈I（（V/Y）/fi）=i∈I（V/Xi）（V/Y）/[fi]i∈I=V/（i∈IXi）（其中垂直箭头是上面提到的正则同构）交换。 由于下限是假设的等价，因此上限也是 一个.Qi∈IV/（i∈IXi−→Y）。还要注意，对于V/Y的任何对象（f：X−→Y），T. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）7379××i∈Ii∈I推论2.12设V是一个有拉回的扩张范畴。(i) 对于V中的任何态射g： B−→ X，集合I，以及V中的回调正方形的I-索引族，如下图左边所示，右边的正方形是回调。QIPiBi∈IPi[qi]i∈IBPIGAiXfii∈Ipii∈IAiGX[fi]i∈I(ii) 对任意对象X∈ V，集合I，I-指标态射族（fi：Ai−→X）i∈IinV，setJ，J-指标ed态射族（gj：Bj−→X）j∈JinV，nd（I×J）-指标拉回正方形族在下图左边Pi.Jqi，j BJi∈I，j∈JPi、jj∈J（[qi，j]i∈I）j∈JBjpi，jgjAiXfii∈I（[pi，j]j∈J）i∈IAi[fi]i∈I[gj]j∈JX证据(i) 根据这个假设，切片范畴V/X有有限个乘积×X（由V中的拉回给出），并且是广延的（命题2.11）。 因此，根据命题2.10，由（g：B−→X）∈V/X的二进制积保持小的余积，即，（fi） Xg=（fi Xg）.(ii) （1）A（i）= A3V-Gph上的卡波单胞菌j∈Jgj）=i∈I，j∈J（fi×Xgj）.Q在这一节中，我们证明了在V上的条件下，由遗忘函子U：V-Cat−→ V-Gph诱导的V-Gph上的单子是carnival，这意味着如下。定义3.1（i）如果一个自然变换的所有自然平方都是回调，则称之为carbohydrate(ii)对于任何具有拉回的范畴C，C上的单子T=（T，μ，η）是可卡的，如果函子T保持拉回，并且如果μ和η是可卡的自然变换。80T. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）73∈∈..ΣΣ命题3.2如果V有有限积和小余积，且对任意B ∈V，函子（−）× B：V −→ V保持小余积，则健忘函子U：V-Cat −→ V-Gph允许一个左伴随。证据 设V-图G =（ob（G），（G（x，y））x，y∈ob（G）），G上的自由V-范畴由V图ob（G），nNw0，.，wnob（G）w0=x，wn=yG（wn−1，wn）×···×G（w0，w1）x，y∈ob（G）具有明显的复合律（使用（−）×B保持小的余积的假设定义）和单位元。 Q满足命题3.2假设的范畴V的例子包括具有小余积的Carnival闭范畴[20]和具有有限积的扩展范畴（根据命题2.10）。命题3.3如果V是一个有有限极限的扩张范畴，则由命题3.2确定的健忘函子U的左伴随：V-Cat-→ V-Gph保持拉回。证据 这是由命题2.7、命题2.9和推论2.12（ii）得出的。Q命题3.4如果V有严格初始对象0和有限积，则范畴V-Gph和V-Cat允许小的上积，而健忘函子U：V-Cat −→ V-Gph保持小的上积。证据在V-Gph和V-Cat中，通过取对象的不相交并将来自不同分量的对象之间的hom-object设置为0来给出小的余积（cf.命题2.5的证明）。Q命题3.5如果V是一个有有限极限的广延范畴，那么单位η：id V-Gph= φUF在命题3.2中的附加词F E U是carbohydrate。证据 这是从命题2.8开始的。Q命题3.6如果V是一个有有限极限的广延范畴，则对于每个自然数m，（V-Gph）mM（V-Cat）mV-猫idV-CatV猫，其中ε是命题3.2中的附加函数F E U的计数，是m元乘积函子，是实数。证据 令（f（1），.，f（m））：（G（1），.，G（m））−→（GJ（1），.，GJ（m））是一个态射UFV-GphεFT. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）7381i=1i=1i=1i=1单位为（V-Gph）m。 我们的目标是展示广场FU（FG（1）×···×F G（m）εFG（1）×···×FG（m））FG（1）×···×F G（m）FU（F f（1）×· · ·×F f（m））FU（F GJ（1）×···×F GJ（m））εFG'（1）×···×FG'（m）Ff（1）×···×Ff（m）F GJ（1）×···×F GJ（m）是一次撤退。通过命题2.7，它表明，对于每一个对象对（x（1），...，x（m ）），（y（1），.，y（m ））∈ob（FU（FG（1）×· · ·×FG（m ）= ob（G（1 ）×·· ·× G（m）），平方Fu. M（F G（i））（x（i），y（i））m（F G（i））（x（i），y（i））Fu. M（F GJ（i））（f（i）x（i），f（i）y（i））m（F GJ（i））（f（i）x（i），f（i）y（i））在V中是回调。这是由命题2.10、命题2.9和推论2.12（ii）的适当应用得出的。Q设T=（T，μ，η）是V-Gph上由FE诱导的单子U：V-Cat−→ V-Gph。定理3.7如果V是有有限极限的扩张范畴，则单子T对V-Gph的影响是carbohydrate。证据这是由命题3.3、命题3.5和命题3.6得出的（取m= 1）。Q4V-Gph（n）上的卡波单胞菌在这一节中，我们证明了从严格n维V-范畴到n维V-图范畴的遗忘函子有一个左伴随。我们始终假设V是广延的，并且有有限的极限。由此可见，V-Gph和V-Cat是同样的（根据命题2.5，2.6和2.7），因此，通过归纳，对于每个自然数n，范畴V-Gph（n）和V-Cat（n）也是有有限极限的广延的。回想一下，根据命题2.10和3.2， 健忘函子U：（V-Cat（n））-Cat−→（V-Cat（n））-Gph允许一个左伴随F.定义4.1对于每个自然数n，我们定义一个附加函数F（n）EU（n）：V-Cat（n）−→V-Gph（n）递归如下：(i)F（0）=U（0）= idV;82T. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）73V-Gph（n）ε（nVEE(ii)F（n+1）EU（n+1）是合数：F（n）-GphF（V-Gph（n））-GphU（n）-Gph（-Cat（n））-GphU（V-Cat（n））-Cat。命题4.2对于每个自然数n，F（n）：V-Gph（n）−→ V-Cat（n）保持回调。证据对于n= 0，断言是平凡的。归纳地进行，如果F（n）保持回调，则命题2.7的F（n）-Gph也保持回调。函子F：（V-Cat（n））-Gph −→（V-Cat（n））-Cat通过命题3.3保持回调。Q命题4.3对于每个自然数n，U（n）：V-Cat（n）−→ V-Gph（n）保持小的余积。证据 对于n = 0，断言是平凡的。归纳地说，如果U（n）保持小的上积，它保持初始对象，所以函子U（n）-Gph保持小的上积。函子U：（V-Cat（n））-Cat−→（V-Cat（n））-Gph也由命题3.4保持小余积。Q命题4.4对于每个自然数n，单位η（n）：id V-Gph（n）=附加函数F（n）E U（n）的U（n）F（n）是可积的。证据 观察其单位为carbohydrate的附件在compo- sition下关闭。归纳地进行，如果η（n ）是carnival，那么由命题2.7得到的η（n ）-Gph也是carnival。附加词FEU的单位：（V-Cat（n））-Cat−→（V-Cat（n））-Gph是命题3.5的笛卡尔式。Q命题4.5对于每对自然数n和m，自然变换U（n）F（n）（F（n））m（n）（V-Gph（n））m（V-Cat（n））mV-Cat（n）idV-Cat（n）V猫，其中ε（n）是附加函数F（n）E U（n）的计数，是m元乘积函子，是实数。证据 通过归纳n。假设该主张对n=k成立，且对所有M.为了简洁起见，我们将附接F（k）-GphU（k）-Gph写为FJUJ，其计数ε（k）-Gph写为εJ。我们的目标是表明，对于每一种形态， （f（1），.，（f（m））： （G（1），.，（G（m）） −→（GJ（1），.，GJ（m）） 在（V-Gph（k+1））m中，EET. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）7383U（F1（Mi=1 FFJG（i）mi=1 FF′f（i））F U U（JJF U U（′ ′Mi=1 FFJG（imi=1 FF′f（i））U（i=1i=1i=1i=1i=1i=1Vi=1Fε′M''i=1i=1i=1ε′'Mi=1'图中的外部矩形Fε′M（i）εm（i）（F））U（i=1FF G）Fi=1FF G）mi=1MFFJG（i）FF′f（i）FFJUJU（mFFJGJ（i））FU（mU（i=1FF G（i））FFJGJ（i））M FFJGJ（i）在V中，Cat（k+1）是回调。右边的方格是命题3.6的拉回，所以我们要证明左边的方格也是拉回。由于F保留了命题3.3的回调，它表面上表明，平方01 -02-02mi=1 FJG（i））ε′mi=1 FF'G（i））U（mi=1 FJG（i））F′U′U（mFF′f（i））mi=1 FF′f（i））FJUJU（mFFJGJ（i））U（mU（i=1FF G（i））FFJGJ（i））在（V-Cat（k））中-Gph是回调。通过命题2.7，它表明，对于每对对象（x（1），...，x（m）），（y（1），.，（2）A（2）B（3）C（MFFJG（i）=ob（G（1）×···×G（m）），平方F（k）U（k）（m（FFJG（i））（x（i），y（i））m（FFJG（i））（x（i），y（i））F（k）U（k）（m（FFJGJ（i））（f（i）x（i），f（i）y（i）m（FFJGJ（i））（f（i）x（i），f（i）y（i））in -Cat（k ）是回调。 命题2.10命题4.3对于n=k，左伴随F（k ）保持小的余积，命题2.9，推论2.12（i），以及归纳假设。Q对于每个自然数n，设T（n）=（T（n），μ（n），η（n））是上的单子，V-Gph（n）由附加函数F（n）EU（n）诱导：V-Cat（n）−→V-Gph（n）。定理4.6对于每个自然数n，单子T（n）是实数。U（i=1εmFF'G'（i）i=184T. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）73证据这是由命题4.2、命题4.4和命题4.5得出的（取m= 1）。Q这个定理将允许我们使用T运算的理论，我们现在解释.T. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）73855T-操作数在这一节中，我们将回顾一个Carnummonad的T-运算和它们的代数T[16]。命题5.1如果T是范畴C上的一个有有限极限的Carnummonad，其终结对象为1，则片范畴C/T1，其对象为（p：P −→ T1），具有如下的monoidal结构。Monoidal乘积是（p：P−→T1）<$（q：Q−→T1）=（q<$$>π2：（P，p）<$Q−→T1），其中（P，p）<$Q由下面的回调定义，q<$=μ1<$Tq是q的Kleisli扩张：π2q<$（P，p）Q TQT1π 1T！PpT1单位是I =（η1：1 −→ T 1），相干同构由拉回的普适性决定。定义5.2设T是范畴C上具有有限极限的Carnummonad一T-操作数是幺半群范畴（C/T1，T，I）中的幺半群.这个想法是一个carbummonadT决定了一个概念的代数理论，其中T-运算是代数理论。在代数理论的这个概念中，零的对象由T1给出，而T-操作数O=（（arO：O−→T1），m，e）的基础对象（ar O：O−→T 1）∈ C/T1表示一族由零索引的操作我们表示T-操作数的范畴，即， 么半群范畴（C/T1，I），通过T-Opd。注意我们有一个典型的健忘函子V：T-Opd −→ C/T 1。（三）代数理论的目标是定义一个代数概念。 的情况下在T-操作数中，我们定义一个T-操作数O的代数为C（单子T的基范畴）的对象C，其作用为O。我们从monoid范畴中monoid的作用设M=（M，M，I）是monoidal范畴，A是范畴.M在A上的一个伪作用是从M到A上的严格幺半群范畴（[A，A]，n， idA）的一个强幺半群函子.我们经常把强么半群函子的结构沿着2-附连（-）× AE[A，-]迁移，并给出一个关于函子M：M×A-→ A的伪作用以及凝聚的自然同构（X<$Y）<$A<$=X<$（Y<$A），I<$A<$=A86T. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）73∈nC∈其中X，Y∈M，A∈ A。给定M在A上的一个伪作用，我们可以定义M中的幺半群（M，m，e）在A的对象A上的一个作用是态射a：MA−→A满足结合性和作用的单位公理。现在我们回到T-operad的设置. 我们得到了monoidal范畴（C/T1，T，I）在范畴C上的一个典型伪作用，它由函子给出<$：（C/T1）×C −→ C，它将（p：P−→T1）∈ C/T1和C∈C映射到（P，p）<$C∈C定义为回调π2（P，p）TCπ 1T！PpT 1。T-操作数O的O-代数则定义为O的作用。例5.3若设C=Set，T为自由幺半群，则T-运算符与非对称运算符一致。其中的arity是自然数：T1 =N。更详细地说，在这种情况下，T操作数的数据由集合O和函数ar O：O−→ N，m：（O，ar O）<$O−→O和e：1 −→O组成。解此方程，我们得到一个集合族（On）n∈N，一个函数族（mn，k1，. kn：On×Ok1×···×Okn−→Ok1+···+kn）n，k1，.，kn∈N，且有一个元素nte∈O1。 W e i n解释为元n的所有（导出）运算的集合，并且m n ，k1，. kn映射元组（φ，θ1，.，θ n）的运算到它们的代换φ（θ1，.，θn）。非对称运算符对应方程理论的子类称为强正则方程理论[4]，也就是说，理论中，相同的变量出现在相同的顺序，没有重复，在任何方程的两侧。强正则方程理论的例子包括幺半群和幺半群作用的理论，但不包括交换幺半群或群的理论。一个O-代数由一个集合C和一个满足作用公理的函数（O，ar O）<$C−→C组成。由于（O，ar O）<$C=nNO n×C，这样的函数对应于一族函数[φ]]：Cn−→ C，对于每个n ∈ N和φ ∈ O n（φ的解释）。例5.4如果我们令=n-Gph =Set-Gph（n）且T=T（n）是自由严格n-范畴单子，则T（n）-操作数称为n-球形操作数[16，9.3节]。这些点构成一个n-图T（n）1，其元素可以看作是一个球形粘贴方案.更准确地说，对于任何一对自然数n和k∈ {0，...，n}，n -图的k-胞腔如下递归地在n上：n -图G的0-胞腔是ob（G）的元素; G的（k+1）-胞腔是三元组（x，y，θ），其中x，yb（G）和θ是G（x，y）的k-胞腔则T（n）_1的k-胞腔是k维球状粘贴T. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）7387κj（h，k）阴谋我们绘制了一个典型的二维球形粘贴方案的图片····一个n-球形操作数（（arO：O−→T1），m，e）的乘法构成了n-图O的一个胞元φ和一个以φ的元数形式排列的O的胞元族。一个O-代数由一个n-图C和一个n-图（O，arO）的映射构成C−→C。n-图（O，arO）<$C的k-胞腔是O的k-胞腔φ加上C中的细胞家族以φ的arity的形状排列。[16]详情请见例5.5如果我们令C=V-Gph（n）对于一个有有限极限的扩张范畴V，T=T（n）是自由严格n维V-范畴单子，那么T（n）-操作数是n-球形操作数的一个丰富版本。它们与n-球状运算符几乎相同，唯一的区别是讨论单个n-胞元不再有意义;它们现在形成V的对象。6收缩在本节中，我们描述了由Leinster[16]引入的收缩概念，并将其推广到丰富的设置。 我们遵循Garner [10]，将收缩定义为对某些对角填充物的选择。下面的定义是[11，命题3.8]中描述的构造的一个例子。定义6.1设C是一个范畴，J是一个集合，F=（fj：Aj−→Bj）j∈J是C中的J-指标态射族。(i) C中态射g：C−→D上的一个收缩（相对于F）是一个J-指标函数族（κj）j∈J，使得对于每个j∈J，κj给V中使（4）的周长可交换的每对态射（h，k）赋值一个态射κj（h，k），使整个图（4）可交换。AjhCfjgBjDK（四）(ii) 从（g：C−→D，（κ）j∈J）到（gJ：CJ−→DJ，（κJj）j∈J）的压缩态射映射是从g到gJ的态射（u：C−→CJ，v：D−→DJ）的映射，它与压缩交换：对于每个j∈J和（h，k），88T. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）73HuCκ′j（uh，vk）κj（h，k）GKDv⎜0n+1个0、F.定义域κj，u<$κj（h，k）=κjj（u<$h，v<$k）.AjCJfjg′BjDJ换句话说，对于每个j∈J，κj是下面的函数ρj的一个部分，由拉回的普适性导出。C（Bj，C）C（fj，C）C（Bj，g）ρjPjC（Bj，D）C（fj，D）C（Aj，C）C（Aj，g）C（Aj，D）正如在[ 10 ]中所观察到的，Leinster的收缩概念，对于每个自然数n，是定义6.1的特殊情况，其中C = n-Gph，F是某个族F（n）=（f（n），...，f（n）），由n-Gph中的n +2个态射组成. 在给一个精确的定义，我们希望通过绘制一个暗示性的图形来直观地了解它们picture. 例如，当n= 2时，可以将族绘制为好吧Σ.··ΣF.··Σ、F.··Σ⎞⎟F（2）=⎜f（2），（二）1（二）2（二）3⎟好吧·Σ.··Σ.··Σ.··Σ⎟⎠这个想法是F（n）的一个元素是（n）n+1个由于缺少维数大于n的单元，所以不再是单态。为了在丰富设置中给出F（n）的递归定义，我们从辅助定义开始。对于任何初始对象为0的范畴V j，定义悬置函子<$：VJ−→ VJ-Gph，它将X ∈FT. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）73890n+1个V映射到<$X =（{s，t}，（<$X（i，j））i，j∈{s，t}），由<$X（s，t）=X，<$X（i，j）= 0如果（i，j）/=（s，t）;参见。[16，第9.3节]。定义了离散VJ-图函子D：Set−→VJ-Gph，它将集合I映射到DI=（I，（0）i，j∈I）.函子D是ob（−）的左伴随：VJ-Gph−→Set。定义6.2设V是一个有有限极限的扩张范畴。对于每个自然数n，定义一个族F（n）=（f（n），...，V-Gph（n）中态射的f（n）90T. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）730V−→V递归如下。(i) f（0）：0−→1和 f（0）：1 + 1−→1是V中唯一的态射。0 1终端对象1.(ii) f（n）：D−→D{}，其中R和{}是空集和单点集，是V-Gph（n）中初始对象D之外的唯一态射，且对于每个i∈ {1，...，n+1}，f（n）=<$f（n−1）.i i−1对于每个对象X∈V-Gph（n），我们有范畴ContrF（n）（X），它是到X的带有压缩的态射（关于F（n）），其对象是带有压缩的态射g，如定义6.1（i），使得g的余域是X，其态射是具有压缩（u，v）的态射的映射，如定义6.1（ii）中所示，使得v= idX。注意我们有一个典型的遗忘函子VJ：ContrF（n）（X）−→ V-Gph（n）/X。（五）我们将特别关注X=T（n） 1的情况。7局部可表示范畴和扩张范畴根据Leinster，对于任何具有有限极限（具有附加条件;见下文）和任何自然数n的扩张范畴V，我们定义一个弱n维范畴为具有压缩的初始T（n）-操作数的代数。更准确地说，定义T（n）-操作数的范畴T（n）-OC为以下范畴的拉回：T（n）-OC对照F（n）（T（n）1）V′T（n）-OpdVV-Gph（n）/T（n）1，其中遗忘函子V和VJ分别是（3）和（5）的适当实例。如果范畴T（n）-OC有一个初始对象（（arL：L T（n）1），m，e，κ），那么初始T（n）-操作数的收缩表示它的基础T（n ）-操作数（（arL：L−→T（n ）1），m，e）（忽略收缩κ）。因此，我们的最终任务是证明T（n）-OC实际上有一个初始对象，也许在V上的某些附加条件下。为此，我们有以下定理。定理7.1如果是局部可表示的扩张范畴，则对任意自然数n，范畴T（n）-OC有一个初始对象。证据 我们将遵循[16，附录G]中的论点（其中V =集合，n=ω），并证明了V-Gph（n）/T（n）是局部可表示的（因此都是完备的T. Cottrell等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）7391V∈和共完全），并且V和VJ是一元的并且具有秩（即，对于某些正则基数α保持α-滤余极限）。然后由[13，定理27.1]得出从T（n）-OC到-Gph（n）/T（n）1的遗忘函子也是一元的，因此特别地T（n）-OC有一个初始对象，由V-Gph（n）/T（n）1中初始对象上的自由代数给出。如果VJ是局部可呈现的，则VJ-Gph也是如此（参见例如，[15，命题4.4]）。迭代地应用这个，我们看到V-Gph（n）是局部可表示的。因此，V-Gph（n）/T（n）1也是如此，它是它的切片。函子V是一元的，因为它是来自一个幺半群范畴的遗忘函子，并且允许一个左伴随G（顺便说一下，由于命题4.3，它具有特别简单的形式GP=nNP<$n）。这是例行表明V有一个等级。函子VJ是一元的，并且有秩，可以从[2]中很容易地推导出来。QV是局部可表示的和广泛的条件是Batanin和Leinster的方法有效的公理化当然，集合范畴满足这个条件，但在他们的工作中，这个事实只是隐含地使用，常常是以具体的集合论操作的形式使用。定义7.2设V是局部可表示的扩张范畴，n是自然数。弱n维V-范畴是初始T（n）-算子的压缩代数，其中T（n）是V-Gph（n）上的自由严格n维V-范畴单子.我们注意到，当V（1，−）不是保守的时，用态射族0−→X和X+X−→X（共对角）来代替定义6.2中的（i）可能更合适，其中X在V的一组强生成元（如果V是局部可表示的，则存在）上。我们感谢一位匿名评论者指出这一点。例7.3如果我们设V=Set，n=2，那么弱2-范畴（弱2维Set-范畴）等价于无偏双范畴，它是对每个自然数m都有一个m元horizontal复合运算的双范畴的一个变体。详情参见[16，第9.4节]例7.4如果我们令V=ω-Cpo且n= 2，则弱2维ω-Cpo-范畴是ω-Cpo-富集双范畴的无偏版本，如[18]所示。引用[1] Batanin，M.一、Monoidal globular categories as a natural environment for the theory of weakn-categories，Advances in Mathematics136（1998），pp.39比103[2] Bourke，J.和R. Garner，代数弱因子分解系统I：可访问的AWFS，纯粹与应用代数杂志220（2016），pp。108-147[3] Burroni，A.， T-ca t'egories（ca t'egoriesdans un triple），CahiersTo pologieG'eom. 第12卷（1971年），pp.215-321[4] Carboni，A. Johnstone，Connected limits，familial representability and artin gluing，Mathematical Structures in Computer Science5（1995），pp.441-459[5] Carboni，A.，S. Lack和R. F. Walters，Introduction to extensive and distributed categories，Journalof Pure and Applied
