基于离散均匀化的自动颅骨配准

4310基于离散均匀化的自动稳健颅骨配准0赵俊丽1，齐鑫2，温成峰2，雷娜*3，顾先锋201 青岛大学数据科学与软件工程学院，中国青岛 2 石溪大学计算机科学系，美国石溪 3大连理工大学国际信息科学与工程学院，中国大连01,2,3 zhaojl@yeah.net,xinqi@cs.stonybrook.edu,chwen@cs.stonybrook.edu,, *Corresponding:nalei@dlut.edu.cn,gu@cs.stonybrook.edu0摘要0颅骨配准在法医学中起着基础性的作用，对颅面重建至关重要。复杂的拓扑结构、缺乏解剖特征和质量较低的重建网格使得颅骨配准具有挑战性。在这项工作中，我们提出了一种基于离散均匀化理论的自动颅骨配准方法，该方法可以处理复杂的拓扑结构，并对质量较低的网格具有稳健性。我们应用动态Yamabe流来实现离散均匀化，该流在流动过程中修改网格的组合结构，并将多连通颅骨表面共形地映射到具有圆形孔的平面圆盘上。通过匹配它们的平面图像使用调和映射，可以对3D表面进行配准。该方法具有严格的理论保证，自动进行，无需用户干预，并且对低质量网格具有稳健性。我们的实验结果证明了该方法的效率和有效性。01. 引言0颅骨是人类固有的生物特征。Wilkinson [39]表明，颅骨的形状决定了人的面部特征，因此可以从颅骨重建面部，这被称为颅面重建。随着计算机技术的快速发展，计算机辅助颅面重建在刑事调查中的未知尸体识别、法医学中的颅骨识别、人类进化研究中的人类理解等方面起着重要作用。颅骨配准是颅面重建的关键预处理步骤。表面配准是计算机领域中的一个基本问题。0计算机视觉旨在寻找从目标数据到参考数据的最佳映射，以实现它们之间的一对一对应关系。三维颅骨配准旨在找到不同姿势和大小的三维颅骨模型的密集点之间的一对一对应关系。建立准确的颅面数据配准是构建颅面统计模型的基础和前提。总的来说，颅骨配准具有挑战性，因为颅骨表面具有非常复杂的拓扑结构、不同的形态和非刚性变形。此外，特征的定义和提取也很困难。因此，传统方法很难实现自动配准。由3D扫描或CT图像重建产生的网格质量较低，这使得数值计算非常不稳定。尽管许多研究人员已经做出了巨大的努力，但自动和稳健的颅骨配准仍然是一个基本的挑战。为了处理复杂的拓扑结构并提高配准的稳健性，我们提出了一种基于最新理论突破的新方法：离散均匀化理论，它可以处理具有任意拓扑结构和较差网格质量的表面。与以前的方法不同，我们使用动态Yamabe流来实现离散均匀化。因此，我们的方法在任意三角网格上具有收敛的理论保证，并实现全局微分同胚和高配准精度，优于其他方法。0贡献本工作提出了一种新的颅骨配准方法。该方法具有一些优点：01.严格：离散均匀化理论保证了解的存在和唯一性，因此算法具有坚实的理论基础；43202.自动：整个计算流程是自动的，没有任何手动输入或用户干预；3.鲁棒：均匀化理论适用于任意多边形表面，因此算法对网格质量不敏感；4.有效：实验结果证明了我们方法的有效性、准确性和鲁棒性；5.通用：该方法足够通用，可以处理具有复杂拓扑的表面。02. 相关工作0配准的文献非常丰富，这里我们只简要回顾了最相关的三维表面配准工作。02.1. 刚性配准方法0刚性配准方法使用刚性变换来匹配形状。Besl和McKay提出的迭代最近点（ICP）是最经典的刚性配准方法。由于局部搜索，ICP经常陷入局部最优，并且对初始化质量敏感。有各种改进的ICP方法[40, 1]被提出。Rusinkiewicz和Levoy[33]总结了各种ICP变体算法，并从以下几个方面改进了ICP算法：控制点选择、特征度量、空间搜索、点对权重和刚体变换。Cheng等人[8]提出了一种基于Clifford代数瞳孔距离不变性的三维头骨配准方法，并构建了相应的可视化配准平台。通过刚性配准很难建立精确的点对点对应关系。02.2. 非刚性配准方法0非刚性配准方法采用非刚性变换，可以捕捉不同样本之间的变形。薄板样条（TPS）变换方法很受欢迎[11, 4, 5, 23,3]。Chui和Rangarajan[11]提出了TPS-RPM配准方法，旨在将TPS添加到ICP的框架中。Schneider和Eisert提出了一种用于3D头部数据的自动配准方法[34]，将ICP和TPS相结合。Deng等人[13]提出了一种结合全局和局部变形的头骨配准方法。Chen等人[7]提出了一种使用TPS变换和柱面投影的非刚性三维颅面配准方法。这些方法大多依赖于手动校准的特征点，这是耗时且主观的。虽然胡等人[22,32]提出了基于随机采样控制点的迭代TPS配准方法，但无法保证配准结果。02.3. 保角参数化方法0保角参数化[16, 37,45]是从三维表面生成二维表示的强大工具0在保留局部特征并构建它们之间的对应关系的同时，进行非刚性三维表面配准。保角映射的性质使其对表面变形不敏感，特别适用于三维非刚性表面配准。在三维面部表面配准中，实现了几种保角参数化配准方法，并取得了良好的结果[41, 25, 29, 50,36]。已经引入了许多计算方法，例如最小二乘保角映射[27,26]、基于全纯微分的方法[46]和Ricci流技术[25, 24,45]。Koebe的迭代被推广到计算具有多个边界组件的零亏格曲面的保角参数化[47]和具有边界的高亏格曲面[49]。Wang[38]应用谐波映射进行高分辨率、非刚性密集三维点跟踪，Shi[35]应用它研究约束的人脑表面配准。Zeng等人[46]将双曲Ricci流应用于三维人脸匹配和配准。为了处理复杂的拓扑和大变形，我们选择保角参数化作为头骨配准的主要工具，因为通过二维保角参数化进行三维形状配准大大降低了难度并提高了准确性。不幸的是，大多数现有的保角参数化方法需要良好的网格质量。最终，我们选择离散均匀化方法[17]，因为该方法可以处理具有任意拓扑和低网格质量的表面。03. 理论背景0本节简要介绍理论背景，详细处理请参考[30, 18,12]。特别是，离散均匀化定理的详细证明可参考[17]和[14]。03.1. 光滑曲面均匀化0均匀化定理是微分几何中最基本的定理之一。0定理1（庞加莱-科比均匀化定理1907）假设S是具有黎曼度量g的闭曲面，则存在一个函数u：S→R，使得度量e^2ug诱导出恒定的高斯曲率。对于具有正、零和负欧拉特征数的曲面，常数分别为+1、0和-1。0现代证明基于Hamilton的Ricci流。0定义1（标准化Hamilton的Ricci流）给定闭黎曼曲面（S，g），流方程定义为：0d0dt = -2κ(t) - 2πχ(S)0A(t)0∞where g(t) = e2u(t)g(0), K(t) denotes the Gaussian curva-ture, while χ(S) and A(t) represent the Euler characteristicand the total area of the surface S respectively.4330H30图1：平面上欧几里德三角形的双曲凸包。0Ricci流方程的收敛性证明[19, 20,10]及其解导致了保角均匀化度量。为了进行配准，广泛使用保角映射。0定义2（保角映射）给定Riemannian度量g1和g2的两个Riemannian曲面（S1，g1）和（S2，g2），如果由φ诱导的拉回度量和原始度量之间差异为标量函数：φ�g2 =e^2λg1，其中λ：S1→R是标量函数。0保角映射保持角度，因此将无穷小圆映射为无穷小圆[18]。文献中引入了多种技术[46, 45, 25, 6]。03.2. 离散均匀化0这项工作基于离散均匀化理论[17, 14]。上半空间模型用于双曲空间H3。0分配了黎曼度量ds^2 = (dx^2 + dy^2 +dz^2)/z^2。测地线是垂直于xy平面的垂直线或圆弧。双曲平面是在xy平面上具有赤道的半球面。xy平面是无穷远处的平面。假设我们在xy平面上放置一个欧几里德三角形∆，通过其外接圆的半球面是一个超平面H2。0（如图1所示）。通过每对顶点，存在一个双曲测地线。H2上的三条测地线形成一个双曲理想三角形，即三个顶点的双曲凸包。假设M是一个三角形多面体表面，相邻三角形∆1和∆2的交集是边∆1∩∆2=e。这两个三角形在xy平面上等距嵌入，两个双曲凸包沿着通过边的端点的测地线粘合。通过这种方式，我们可以将所有面的双曲凸包粘合在一起，形成一个具有顶点处奇点的双曲面˜M。0定义3（离散保角等价）给定两个三角形多面体表面M1和M2，如果它们对应的双曲面˜M1和˜M2是等距的，则两个多面体表面是离散保角等价的，表示为M1�M2。0三角网格上的欧几里德度量引入了离散曲率。在每个三角形[v i, v j, v k]上，度量确定了角度θ jk i，表示在顶点vi处的角度。0定义4（离散高斯曲率）离散高斯曲率定义为顶点上的角亏损，K: V → R，0K(v) =020jkθ_jki,0jkθ_jki,v∈∂M (1)0很容易证明总离散高斯曲率满足离散Gauss-Bonnet条件[18]：0iK(v_i) = 2πχ(M) (2)0我们的方法基于Yau等人最近发现的以下定理[17]：0定理2（离散均匀化）给定一个三角多边形曲面M，给定满足Gauss-Bonnet条件2和¯K(v_i)∈(-∞, 2π]的目标曲率¯K:V →R，那么存在另一个与M离散共形的多面体曲面˜M，其离散高斯曲率等于¯K。03.3. 动态Yamabe流0可以通过动态Yamabe流获得离散均匀化。离散曲面M上的度量g表示为边长函数l: E →R+，满足三角不等式。根据有限元方法，对于与面[v_i, v_j,v_k]和[v_j, v_i, v_l]相邻的内部边[v_i,v_j]，其余切边权重定义为：0w_ij = cotθ_ijk + cotθ_ijl (3)0由于边界边[v_i, v_j]仅与一个面[v_i, v_j,v_k]相邻，因此相应的边权重定义为：0w_ij = cotθ_ijk (4)0我们称三角剖分为Delaunay三角剖分，如果所有边权重均为非负。0定义5（离散曲面动态Yamabe流）离散曲面动态Yamabe流定义如下：0d0dt = ¯K_i - K_i(t) (5)4340其中u_i是离散共形因子，表示为u: V →R，¯K_i是顶点v_i处的目标曲率。根据u，边[v_i,v_j]的长度由以下公式给出：0l_ij = exp(u_i)¯l_ijexp(u_j) (6)0其中¯l_ij是初始边长。在流动过程中，我们更新三角剖分为Delaunay三角剖分。0为了加速计算，我们使用牛顿法求解离散Yamabe能量的Hessian矩阵，其定义如下：0E(u) = ∑u^0i=1 (¯K_i - K_i)du_i0然后可以解出Hessian矩阵：0∂K_i/∂u_j = 0∂u_i = w_ij (7)0∂K_i/∂u_i 0[i,j]∈E w_ij (8)0其中E表示三角剖分的边集，w_ij在方程3和4中定义。03.4. Koebe的拓扑多环迭代0尽管对于任意拓扑的简单连通域提供了上述技术的严格证明和分析，但对于多连通域（如人类颅骨表面）的共形映射需要额外的步骤。Koebe的迭代方法[47]为零亏格多连通曲面提供了一种优雅的方法。0定理3（Koebe）假设(S,g)是一个多连通环形带有Riemann度量g的区域，那么存在一个共形映射φ: S →C，将S映射到带有圆形孔的单位圆盘。这种类型的共形映射是唯一的，除了一个Möbius变换[43]。（证明可参见[43]）04. 计算算法0在我们的情况下，颅骨表面被视为具有零亏格和多个边界的多连通区域。我们应用动态Yamabe流来计算与Koebe的迭代框架相一致的平面圆域的共形映射。为了进行配准，我们使用约束调和映射来确定颅骨之间的匹配关系。图2显示了我们方法的流程图。0图2：我们方法的一般流程图0算法1：环上的共形映射0输入：具有边界∂M = γ1 -γ0的输入拓扑环网格M，目标曲率¯K，阈值ε输出：结果度量函数lij和到规范环的嵌入01 对M进行双覆盖，构造具有亏格1的M1；02计算由R3中的曲面嵌入引起的初始边长¯lij，将共形因子u初始化为全零；03 while true do04 用公式6计算边长；05 根据公式3和4计算角度和边权重；06 根据余切边权重通过边交换更新三角剖分；08 如果对于所有i，|¯Ki - Ki| < ε，则09 break；010 计算Ricci流的梯度；011 使用公式7和8计算Ricci能量的Hessian矩阵；012 解线性系统Hess(u)δu = �E(u)；013 u = u +δu；end014 计算边长{l ij}；015 将曲面切割以去除双覆盖，得到¯M；016将¯M等距地嵌入C，使得γ1的图像φ(γ1)的长度为2π；017 将表面φ(¯M)映射到具有复数指数映射expz的平面环；018 返回度量{l ij}和指数exp z的嵌入04.1. 多环上的动态Yamabe流0拓扑圆盘上的动态Yamabe流已经被彻底讨论过[41]。基于理论的正确性4350(a) 具有八个边界的原始网格0(b) 填充6个孔0(c) 第1步0(d) 填充第一个孔并打开另一个0(e) 第2步后的结果0(f) 第4步后的结果0(g) 第6步后的结果0(h) 最终结果0图3：Koebe的迭代方法演示。(a)是具有八个边界的原始曲面。(b)展示了填充孔的结果。(c)显示了从(b)到规范环的第一个共形映射结果。(d)关闭第一个孔并打开第二个孔。(e)是去除所有填充后的第二个共形映射结果，以便更好地可视化。(f)(g)是第4步和第6步后的结果。(h)表示最终结果，其中所有边界都是完美的圆。0对于任意拓扑[18]，我们将将算法推广到拓扑多环。填充和穿孔需要对头骨模型上的孔进行填充和穿孔，以便可以使用Koebe的迭代算法，以及可以将多环修改为环或反之亦然。填充的质量对算法结果没有影响。因此，我们只需找到每个孔的中心点，并将中心点连接到孔边界边上的顶点以构造三角形。穿孔时，我们移除中心点和所有连接到这些点的三角形。环上的动态Yamabe流为了计算从拓扑环到规范平面环的共形映射，我们首先对环进行双覆盖[21]，构造一个具有亏格为1的闭合曲面。然后，我们可以应用欧几里得Ricci流过程来计算平面度量。最后，将复平面上的指数映射与平面嵌入组合，以获得到规范环的最终映射。算法的详细信息如算法1所示。04.2. 多环的Koebe迭代0为了解决具有边界和7个孔的多连通区域头骨表面的共形映射问题，使用了Koebe的迭代框架。基本思想如下：首先，填充头骨的孔洞，每次打开一个孔洞以生成具有零亏格和两个边界的拓扑环。然后，使用动态Yamabe流计算环的共形映射到规范环。重复此步骤，每个孔洞依次映射到一个圆，直到所有内部边界收敛到标准圆。完成迭代过程后，共形映射为-0算法2：多环形的广义Koebe迭代0输入：具有边界 γ 0 , γ 1 , γ 2 , γ 3 , γ 4 , γ 5 , γ 6 ,γ 7 的多连通表面 M ，阈值  � ，输出：共形映射  φ  :M  → ¯ M ，其中 ¯ M 是平面圆域，( c 0 i , r 0 i )表示每个边界的圆心和半径01 用拓扑圆盘  D k  填充所有边界  γ k ，∂D k  =γ k ，其中 k  = 1 , ...,  7 ；当 � 7 k =1 | c t +1 k −c t k |  +  | r t +1 k −  r t k |  > �  时执行以下操作0对于  k  = 1 , ...,  7 ，执行以下操作02 移除一个圆盘  D k ，构造一个环形区域 S k ；03 使用算法1求解共形映射  φ  :  S k  → ¯ S k ;04 用 ¯ D k 填充 ¯ S k 上的孔洞；结束05 计算圆盘 ¯ D k 的圆心和半径  ( c t +1 k , r t +1k )  ; 结束06 返回  φ0通过Koebe迭代算法，我们得到了具有孔洞的多连通区域与具有圆形孔洞的单位圆盘之间的共形映射。Koebe迭代算法的步骤在算法2中给出，图3中进行了演示，结果如图4所示。共形映射保持内在对称性，因此最终结果是对称的。4360(a) 原始头骨表面0(b) 共形映射结果0(c) 在圆域上使用棋盘格纹理0(d)在原始表面上使用棋盘格纹理0图4：多连通表面上共形映射的可视化结果。在列（b）和（c）中，我们可以验证所有内部圆都接近完美圆。共形映射结果在Möbius变换下是唯一的。04.3. 约束谐波映射0为了找到两个表面之间的配准，变形过程开始之前通常会标记关键点。与人脸表面不同，头骨表面没有明显的关键点，如眉毛、鼻尖或嘴唇。在我们的配准过程中，我们使用头骨表面的边界作为内在关键点。边界被映射到圆上，并自动对齐。然后，将约束谐波映射算法3应用于从算法2获得的圆域。图5显示了头骨表面之间的映射。所得到的映射是共形差异同胚的，且在Möbius映射下是唯一的；该算法在迭代次数方面以指数速度收敛。0算法3：圆域的约束谐波映射0输入：具有边界 { γ i } 和 { δ i } 的表面 S 1  和 S 2，以及圆域嵌入 φ ( S 1 )  和  φ ( S 2 )，输出：具有匹配边界的谐波映射  f  :  φ ( S 1 )  →φ ( S 2 )01 设置边界条件，使得 f ( φ ( γ i )) =  φ ( δ i ) ;02 使用边界条件求解泊松方程；03 返回谐波映射 f05. 实验结果和评估0该研究是在中国北方汉族志愿者的全头CT扫描数据库上进行的。CT扫描是使用临床多层螺旋CT扫描系统（西门子Sensation16）获得的。首先，我们提取了颅面部-0我们从原始CT切片图像中提取了颅面模型的边界，并使用MarchingCubes算法[28]重建了3D颅面网格。我们去除了颅面模型的后部，因为整个头部的顶点太多，而且特征主要集中在头部的前部。其中一个模型被随机选择为参考模型，而其他模型被选择为配准的目标模型。算法使用通用的C++在Windows VisualStudio和Matlab下实现。所有实验都在一台配有Corei7-7700 CPU和8GB内存的个人电脑上进行。05.1.自动配准0图5显示了配准的过程。左列显示源表面，右列显示目标表面。两个表面都被共形地映射到顶部行的平面圆域中，映射表示为ϕk：Sk→R2。两个圆域ϕk(Sk)具有不同的配置，内圆心和半径不相同。然后我们构造一个谐波映射f：ϕ1(S1)→ϕ2(S2)，将内圆映射到相应的内圆。配准结果通过颜色编码纹理映射（e，f）显示，其中相应的棋盘格具有相同的颜色。整个计算流程完全自动，没有任何手动输入或用户干预。05.2.全局微分同胚0在我们的方法中，多连通区域通过动态Yamabe流被共形地映射到平面圆域上；解的存在性和唯一性在论文中作为定理3进行了理论保证。我们的方法可以轻松地实现全局最优，并且始终找到与等距曲面相同的唯一最佳解。4370（a）φ1：S1→R20（b）谐波映射f：φ1(S1)→φ2(S2)0（c）φ2：S2→R20（d）来自Koebe迭代方法的配准结果0（e）通过约束谐波映射改进的配准结果0（f）目标表面0图5：配准结果。（a）和（c）与图4中的相同。（b）表示谐波映射结果，将（a）中的圆边界约束为与（c）中的圆边界匹配。（d）表示针对（f）的初始配准结果。（e）改善了配准结果，特别是在牙齿、颧骨和鼻子区域。0图6：由我们的映射引起的Beltrami系数分布0为了验证映射是否是全局同胚（单射和满射），我们计算每个面的Beltrami系数µ[44,42]。映射是分段线性的，在每个三角面上，映射可以局部表示为w = αz + β¯z，α，β∈C。Beltrami系数µ =β/α。可以证明，当且仅当∥µ∥<1时，映射是同胚的；当且仅当∥µ∥=0时，映射是保角的。我们计算每个面上µ的范数，并在图6中显示Beltrami系数范数的直方图。很明显，所有Beltrami系数的范数都小于1，所以映射是同胚的；直方图高度集中在0附近，少于1%的面的Beltrami系数||µ||>0.05，因此映射是高度保角的。这个观察结果与离散均匀化的理论要求一致。05.3.复杂拓扑和鲁棒性0计算全纯微分[48]的算法，在Koebe的迭代[47]中使用，对于具有低质量的网格可能会发生崩溃。0低质量的网格可能导致解的存在性理论上存在，但实际上无法实现。相比之下，本文提出的动态Yamabe流方法收敛到由离散均匀化定理[17,14]保证的唯一解，并在[14]中使用双曲几何和变分方法进行了证明。而全纯1-形式方法等价于基于有限元方法（FEM）在离散曲面上求解椭圆偏微分方程[51]。如果三角剖分质量较低，则无法保证收敛性。当前方法对于具有低质量的网格具有鲁棒性。这个理论进步极大地提高了配准的稳定性和准确性。我们设计了一个实验来展示所提方法处理复杂拓扑的能力。图7显示了传统全纯微分方法[48]（左）和当前方法（右）得到的映射结果。很明显，全纯微分方法引入了大量的翻转，并且无法产生参数化；相比之下，所提方法可以产生全局双射映射。图8展示了所提方法对低质量网格的鲁棒性。左侧框架显示具有大量钝角的网格，它产生具有高条件数的离散Laplacian矩阵；传统方法[20,15]无法产生合理的映射。而我们提出的方法实现了全局同胚映射，如右侧框架所示。05.4. 注册精度0图5和9显示了我们的注册结果。通过颜色编码显示了两个注册颅骨的对应关系。源颅骨上的每个方格都映射到目标颅骨上的一个方格，颜色相同。为了衡量注册精度，我们在源颅骨和目标颅骨上手动选择了16个解剖特征点。然后我们测量特征点的图像与目标上对应特征点之间的距离，并以颅骨表面的包围盒对角线进行归一化。我们在数据库中使用我们的方法对105个颅骨进行了实验。大多数非刚性注册方法需要手动标记特征点，而我们的方法可以实现全自动化。Average Er-ror of ICP1052.2489%2.5812%0.3323%Figure 10: Error comparison of our method and ICP6. ConclusionsAcknowledgements4380(a)使用全纯1-形式的映射结果[48]0颅骨数量0图7：使用(a)全纯1-形式和(b)动态Yamabe流的比较。全纯1-形式的结果由于不理想的三角剖分质量而产生了大量面翻转。低质量的三角剖分对动态Yamabe流的影响较小。0ICP的平均误差0(b)我们方法的共形映射结果0图10：我们方法和ICP的误差比较0(a)特征点06. 结论0图9：使用特征点对应关系可视化的注册结果。(a)显示由颅颜专家标记的特征点。(b)展示了我们的注册结果中的对应点。0致谢0表1：我们方法和ICP的平均误差比较0参考文献0我们方法的平均误差0注册改进0无法自动实现；之前的共形参数化方法可能在一些颅骨上失败，而我们的方法可以实现高注册精度，因为它与现有的共形映射方法[9, 31, 41, 47,48]非常不同(详细信息可在补充材料中找到)。这里我们仅与经典的自动ICP方法进行了比较，注册误差结果显示在表1和图10中。结果表明，我们的平均误差小于ICP的平均误差。0这项工作提出了一种基于离散均匀化理论的颅骨表面注册新方法，可以处理具有复杂拓扑和低网格质量的表面。多连通颅骨表面被共形映射到一个平面圆域，解的存在性和唯一性在理论上得到保证。我们的实验结果表明，该方法完全自动化，无需用户干预，对低质量网格具有鲁棒性，实现了全局微分同胚和高注册精度。该方法可以直接推广到注册具有复杂拓扑的不同形状。未来，我们将进一步探索应用类似方法进行部分颅骨表面匹配。0这项工作得到了自然科学基金(编号176228, 141855,1737812)和中国国家自然科学基金(编号61702293,61772105, 61720106005, 61432003,61572078)以及中国博士后科学基金(编号2017M622137)的支持。References4390[1] Nes¸e Alyuz, Berk Gokberk, and Lale Akarun.区域注册用于抗表情3D人脸识别. IEEE信息取证与安全交易,5(3):425–440, 2010. [2] Paul J Besl and Neil D McKay.3D形状注册方法. 在传感器融合IV:控制范例和数据结构中, 卷1611,页586–607. 国际光学和光子学学会, 1992. [3] Fred L. Bookstein.主要变形:薄板样条和变形分解. IEEE模式分析与机器智能交易,11(6):567–585, 1989. [4] Benedict J Brown and SzymonRusinkiewicz. 使用薄板样条的非刚性范围扫描对齐.在3D数据处理、可视化和传输, 2004. 3DPVT 2004.第2届国际研讨会上, 页759–765. IEEE, 2004. [5] Benedict JBrown and Szymon Rusinkiewicz. 全局非刚性3D扫描对齐.在ACM图形交易(TOG)中, 卷26, 页21. ACM, 2007. [6] Francis EBurstall, Dirk Ferus, Katrin Leschke, Franz Pedit, and UlrichPinkall. S4和四元数中的共形几何. Springer, 2004. [7] YucongChen, Junli Zhao, Qingqiong Deng, and Fuqing Duan.使用薄板样条变换和圆柱面投影的3D颅面注册. PloS one,12(10):e0185567, 2017. [8] Tianyu Cheng, Juping Gu, LiangHua, XinSong Zhang, Hui Yang, Junhong Li, and Yiming Xu.基于Clifford代数瞳孔距离不变性和可视化平台构建的三维颅骨注册. 在2017中国自动化大会(CAC)上, 页7871–7875. IEEE, 2017. [9]Kiran Chilakamarri, Nathaniel Dean, and Michael Littman.三维Tutte嵌入. 数学学会交易, 页129–140, 1995. [10] BennettChow. 2-球上的Ricci流. 微分几何学杂志, 33(2):325–334, 1991.[11] Haili Chui and Anand Rangarajan.一种新的非刚性注册点匹配算法. 计算机视觉与图像理解,89(2-3):114–141, 2003. [12] Junei Dai, Xianfeng David Gu, andFeng Luo. 离散曲面的变分原理, 卷4. 波士顿国际出版社, 2008.[13] Qingqiong Deng, Mingquan Zhou, Wuyang Shui,Zhongke Wu, Yuan Ji, and Ruyi Bai.一种基于全局和局部变形的颅颜重建的新颅骨注册方法.法医科学国际, 208(1-3):95–102, 2011. [14] Xianfeng Gu, RenGuo, Feng Luo, Jian Sun, Tianqi Wu, et al.用于多面体表面的离散均匀化定理ii. 微分几何学杂志,109(3):431–466, 2018. [15] Xianfeng Gu, Sen Wang, JunhoKim, Yun Zeng, Yang Wang, Hong Qin, and Dimitris Samaras.3D形状分析的Ricci流. 在计算机视觉, 2007. ICCV 2007.IEEE第11届国际会议上, 页1–8. IEEE, 2007. [16] Xianfeng Gu,Yalin Wang, Tony F Chan, Paul M Thomp- son, andShing-Tung Yau. 零亏格表面共形0脑表面映射及其在脑表面映射中的应用.医学成像的IEEE交易，第23卷第8期，第949-958页，2004年. [17]顾先锋，罗峰，孙健，吴天琪等. 多面体表面的离散均匀化定理.微分几何学杂志，第109卷第2期，第223-256页，2018年. [18]顾先锋和邱成东. 计算共形几何.国际出版社Somerville，马萨诸塞州，美国，2008年. [19] RichardS Hamilton. 具有正Ricci曲率的三维流形.微分几何学杂志，第17卷第2期，第255-306页，1982年. [20]Richard S Hamilton. 表面上的Ricci流.在数学和广义相对论中，美国数学会-美国数学学会-美国数学学会联合暑期研究会上的数学在广义相对论中的应用，加利福尼亚大学圣克鲁斯分校，加利福尼亚州，1986年，第237-262页.美国数学学会，1988年. [21] 魏宏，顾先锋，邱峰，金淼，ArieKaufman. 共形虚拟结肠展平.2006年ACM固体和物理建模研讨会论文集，第85-93页.ACM，2006年. [22] 胡永利，周明权，吴忠科.一种逼真的三维人脸变形和动画的密集点对点对齐方法.国际计算机游戏技术杂志，2009年:3，2009年. [23] Tim JHutton，Bernard F Buxton，Peter Hammond.使用密集表面模型自动注册三维人脸. 在BMVC，第1-10页.Citeseer，2003年. [24] Miao Jin，Junho Kim，Xianfeng DavidGu. 离散表面Ricci流: 理论和应用.在IMA国际数学表面会议上，第209-232页. Springer，2007年.[25] Miao Jin，Junho Kim，Feng Luo，Xianfeng Gu.离散表面Ricci流.IEEE可视化和计算机图形交易，第14卷第5期，第1030-1043页，2008年. [26] Lili Ju，Josh Stern，Kelly Rehm，KirtSchaper，Monica Hurdal，David Rottenberg.使用最小度量畸变的最小二乘共形映射进行皮层表面展平.在2004年生物医学成像：从纳米到宏观的IEEE国际研讨会上，第77-80页. IEEE，2004年. [27] Bruno L´evy，SylvainPetitjean，Nicolas Ray，J´erome Maillot.用于自动生成纹理图集的最小二乘共形映射.在ACM图形学交易（TOG）上，第21卷，第362-371页.ACM，2002年. [28] William E Lorensen和Harvey E Cline.Marching cubes: 一种高分辨率的三维表面构建算法. 在ACMsiggraph计算机图形学上，第21卷，第163-169页.ACM，1987年. [29] Lok Ming Lui，SheshadriThiruvenkadam，Yalin Wang，Paul M Thompson，Tony FChan. 基于形状的地标匹配的优化共形表面配准.SIAM图像科学杂志，第3卷第1期，第52-78页，2010年. [30]Feng Luo. 多面体表面的刚性.数学预印本math/0612714，2006年. [31] TC Ng，顾先锋，LMLui. 使用Beltrami全纯流的多连通域的Teichm¨uller极值映射.科学计算杂志，第60卷第2期，第249-275页，2014年.4400[32] 秦文宇，胡永利，孙艳峰，尹宝财.基于薄板样条和可变形模型的自动多样本三维人脸配准方法.2012年IEEE多媒体与博览会研讨会，第453-458页. IEEE，2012年.[33] Szymon Rusinkiewicz和Marc Levoy. ICP算法的高效变种.2001年3D数字成像和建模，第145-152页. IEEE，2001年. [34]David C Schneider和Peter Eisert.自动和鲁棒的三维头部扫描配准算法.虚拟现实与广播杂志，第7卷第7期，2010年. [35]石锐，曾伟，苏正宇，HannaDamasio，陆中林，王亚林，邱成东，顾先锋.用于约束脑表面配准的双曲调和映射.2013年IEEE计算机视觉和模式识别会议论文集，第2531-2538页，2013年. [36] 苏克华，崔力，钱坤，雷娜，张俊伟，张敏，顾先锋.基于最优质量传输的多环面表面保面积参数化.计算机辅助几何设计，第46页，2016年. [37]王森，王洋，金淼，顾先锋，Dimitris Samaras.共形几何及其在三维形状匹配、识别和拼接中的应用.IEEE模式分析与机器智能交易，第7期，第1209-1220页，2007年.[38] 王洋，Mohit Gupta，张松，王森，顾先锋，DimitrisSamaras，黄培森.使用谐波映射对密集采样的三维数据进行非刚性运动的高分辨率跟踪. 计算机视觉国际期刊，第76卷第3期，第283-300页，2008年.[39] Caroline Wilkinson. 计算机辅助法医面部重建.法医科学，医学和病理学，第1卷第3期，第173-177页，2005年.[40] Jiaolong Yang，李洪东，贾云德. Go-icp:高效和全局优化的三维配准解决方案.2013年IEEE国际计算机视觉会议论文集，第1457-1464页，2013年. [41] 于小康，雷娜，王亚林，顾先锋.基于动态Ricci流和Teichm¨uller映射的内在三维动态表面跟踪.2017年IEEE计算机视觉国际会议论文集，第2017卷，第5400-5408页. NIH Public Access，2017年. [42] 曾伟和顾先锋.使用拟共形曲率流进行大变形的三维表面配准.2011年IEEE计算机视觉和模式识别会议论文集，第245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