递归分析与量子函数的拓扑分类和联系

79--《理论计算机科学电子札记》66卷第1期（2002年）网址：http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume66.html12页递归分析中的递归量子函数、回避点、Kalanj Kalantari1，2美国西伊利诺伊大学马科姆分校数学系拉里·韦尔奇3美国西伊利诺伊大学马科姆分校数学系摘要在本文中，我们总结了我们的方法和发现在一个点的设置递归拓扑和递归分析。递归分析最近得到了广泛的关注，我们的方法，而从其他学校的diquerying，确实有连接到他们。在这里，我们还介绍了我们在实数上的量子和全递归函数上的一些发现，介绍了我们对非递归点的分类，并评论了我们的工作与他人的工作之间的联系1介绍在实分析中，从有理数“构造”实数的一种常见方法一个数列{an}是柯西的，如果对每n个元素都有n个元素f（n），使得数列的元素与f（n）之间的距离比2−n更近。如果序列和f都是可计算的，则序列收敛到递归实数。递归的实数和递归-已经有了广泛的研究;而不是列举该领域早期作者的长长的名单，我们建议读者参考Brattka Kalantari的全面（1998年，尽管现在还不完整）参考书目[3]。[1]我们感谢Vasco Brattka和Klaus Weihrauch对本文的准备和介绍所给予二○ ○二年六月二十三日2电子邮件地址：i-kalantari@wiu.edu3 电子邮件地址：l-welch@wiu.edu2002年由ElsevierScienceB出版。 诉 操作访问根据C CB Y-NC-N D许可证进行。卡兰塔里和韦尔奇80{{\fn黑体\fs22\bord1\shad0\3aHBE\4aH00\fscx67\fscy66\2cHFFFFFF\3cH808080}一般来说，有三种经典的方法：Fréchet的抽象空间，Hausdor的邻域类和Kuratowski的闭包类。在所有这些方法中，点是一个先验的对象与之一起工作。但是，通过一系列其他点或一系列嵌套的邻域来接近一个点通常是富有成效的。认识到这一点，我们选择使用无点方法来建立经典拓扑和递归拓扑之间的联系（其中无点方法特别密切，因为递归点被定义为逼近序列因此，我们处理的对象不是点，而是豪斯多尔意义上的邻域。这些邻域形成了空间的子基。无点理论存在于我们的对象语言层面。在元语言的水平上，我们毫不犹豫地提到点，我们的许多结果是关于点的性质的定理我们的机器依赖于基，因此对于每个空间，我们必须选择具有某些特定性质的子基，以便我们的方法产生我们想要的结果碰巧的是，许多通常研究的空间，如Rn，都有这样的子基，它们是最常用的。在类比Rn我们选择考虑连接，第二可数，定期空间至少有两个点。第二可数性准则是必要的，如果我们要研究一个空间从一个点自由，递归的透视，因为我们的子基的每个成员必须命名为一个非负整数。证明了每个空间的正则性和第二可数性都同胚于Hilbert立方体[0，1]ω的非平凡连通子空间.因此，我们的空间是可度量化的，至少从古典数学家的角度来看一些，如R拓扑的开放区间与合理的端点，显然也是递归度量化。我们所有的空间是否都是递归可度量化的是一个开放的问题;我们推测它们不是。到目前为止，我们既没有研究我们空间上的可度量性，也没有发展出一个在我们的环境中有用的递归度量的正式定义除了对我们所研究的每个空间的这些准则之外，我们还对我们为它选择的子基施加了一些约束，当然，我们认为该子基是可数的，并由自然数索引我们还要求每个成员都有紧闭包;这保证了一个基本的开集合{α i：iω，每个α i+1αi将有非空交集。为为了便于拓扑推理，我们要求我们的子基的每个成员是连接的。最后，为了正确地计算出点的递归性质，我们还要求我们的空间是半递归表示的，这意味着对于我们的子基，关系α<$β= α，α<$β和α<$β应该是递归可判定的。我们处理点的方法与Weihrauch的方法非常相似，因为我们用包含它的开集序列来“命名”每个点。与Weihrauch有明显区别的是，我们使用子基的递归一对一数值索引。这并不以任何方式限制我们卡兰塔里和韦尔奇81⊆−开发，因为我们的空间的半递归表示允许这样做。虽然我们可以选择使用包含点的子基的所有成员的序列作为点的名称，但我们选择使用收敛到它的闭包嵌套序列来命名它，我们称之为锐化过滤器。在半递归表示的空间中，一种命名点的方法可以很容易地替代另一通过将我们的命名方法应用于任何空间，我们可以通过自然的过程获得一个新的空间，其点可以用无点方法研究。当原始空间如上所述时，新空间与它同胚。我们的研究是为了阐明一些结构的研究人员进入递归分析在20世纪60年代，特别是那些俄罗斯人，如切·萨伊京，沙宁，扎斯拉夫斯基·这些研究人员提出了一个很自然的问题：例如，中间值的有效版本定理和最大-最小定理成立，而最大-最小定理对函数序列的有效版本成立，同样不适用于中值定理。它们的许多构造都是例如，Specker [31]证明了在I=[0，1]上存在递归函数，使得f（I）I，尽管f达到最大递归值，但该值不是在递归实数处达到的。类似地，Orevkov [25]构造了一个Cérénitin [4]使用了类似于Specker的思想函数f在[1，1]上，定义为0，但不定义在0的任何邻域的所有点上。ZaslavskiSchmidi [35]证明了在I上存在无界递归函数。某些俄罗斯的研究人员，CeZenitin，Shanin和ZaslavskiZeniti，特别是，经常只考虑他们的函数在递归点上的行为相反，Goodstein [8]，Pour-ElRichards [26]和其他人已经广泛地研究了递归函数，这些递归函数在Rn或Cn。普尔-理查兹的发现是自俄国学派以来的重大贡献。最近的方法，如Weihrauch和Brattka的方法，允许研究不需要完全的函数我们加入我们的声音，附带条件是，因为我们对俄罗斯人的工作特别感兴趣，我们总是选择在所有递归点上定义我们的函数。考虑到这一点，我们考虑两个不同的函数的Escherichatization第一种是在空间的所有点上定义的函数，我们简单地称之为递归函数。当空间是R中的闭区间时，我们的递归函数恰好是Aberth [1]，Goodstein [8]，Lacombe[20]，Mazur [22]，Myhill [24]，Pour-El [25]所研究的经典连续递归函数卡兰塔里和韦尔奇82}联系我们&[26]，[27]，[29]。其次是那些在某些非递归点上无法定义的量子函数，我们称之为递归量子函数。那些可以从递归量子函数的域中排除的点我们称为可避免点，而那些不能被排除的点我们称为阴影点。因为我们有兴趣分析俄罗斯的工作，我们要求这些函数至少在所有递归点上定义虽然R中闭区间上的递归量子函数可能在该区间的某些点上没有定义，并且在某些方面可能表现为病态，但它也显示了区间上经典连续函数的一些性质;例如，它满足中值定理这些功能已被CeEscheritin研究 [4]，[5]，Shanin [29]，Zaslavski [35]，et al.在这种情况下可以提出的一个问题，就像20世纪60年代研究人员提出的原始问题一样自然在本文中，我们总结了我们的方法和我们的几个发现。我们的一些定理的证明可以在我们的论文[13]，[14]，[15]和[16]中找到;其他的即将到来。2点函数我们处理点的基本方法是通过锐化滤波器。重要的是要有一个准则，以无点的方式说明两个锐滤波器收敛到同一点，并且能够说明锐滤波器收敛到点x意味着什么。第二章. 1设X是一个拓扑空间，其基为S_i={δi：i∈ω}。一个序列{α i：i∈ω}<$$>是一个锐滤子，如果下列条件成立：（<$i）（αi+1<$αi），和（<$β，γ）[（β<$γ）<$<$i[（αi <$β=<$）<$（αi <$γ）]]。我们说A={αi：i∈ω}收敛于x，或者x是A的极限，并写A| x，如果α i={x}。 对于A={αi：i∈ω}和B={βi：i∈ω}sharp如果是滤波器，我们说A等价于B，并且写A<$B，如果（i）[α i<$β i/=]。设A ={α i：i∈ω}是π中的一个锐滤子.则A是递归的，如果存在递归函数f：ω→ω，使得对于每个yi，αi=δf （i）. LetRec（X）={x：（A\x）（A是递归锐滤波器）}。事实证明，处理每一个都收敛到X的同一点的锐滤波器类等价于处理X的点。也就是说，在[13]中，我们证明了对于我们类型的空间X，即锐滤子空间，X=[A]：A是在λ中的锐滤子，其中[A]=B：（B是锐滤子）（A）B），与X同胚，其中X上的拓扑由下式导出：X上的拓扑。在我们的一个空间上的完全递归函数是由一个集合函数生成的卡兰塔里和韦尔奇83∀↓ ∧↓ ∧⊆ ⇒⊆→⟨⟩称为递归对应，在空间的子基递归量子函数类似地由递归量子对应产生。定义2.2设X，X，Y是拓扑空间。一个部分递归函数F：<$X→<$Y是一个递归对应，如果（i）（<$α，β）[[F（α）↓ <$F（β）↓ <$α<$β]<$[F（α）<$F（β）]]，(ii)（α，β）[[F（α）F（β）α β][F（α）F（β）]](ifF具有性质（1）和（2），我们说F是单调的;），并且（iii）（AB）（F（A）↓）（F（A）is a sharp filterinX）（A A）（F（A）is a sharp filter inY）]。一个部分递归函数F：<$X<$Y是一个递归量子对应，如果(i) F是单调的，并且(ii) （A）A（A）B（F（A）↓）B（F（A）是A（Y）中的一个锐化滤波器）。定义2.3设F：X→Y 成为一个通信。 定义fF：X→Y由fF（x）=F（A）中的唯一点，其中x∈X，A是一个锐滤波器使得A|x，F（A）↓和F（A）是λY中的锐滤子。对于递归对应F，我们把它在空间fF上生成的函数称为递归函数。如果F是一个递归量子对应，我们称函数f F为递归量子函数。当我们希望强有力地区分递归对应和递归量子对应时，我们将前者称为递归（完全）对应。我们必须小心，这些集合函数真正生成从点到点的映射。定义2.4一个递归量子对应G：λX→ λY被称为诚实的，如果对于每个锐滤波器A（递归或非递归的），A为实数（G），存在一个锐滤波器BλA，其中G（B）是λY中的锐滤波器。这个诚实的问题对我们的工作至关重要，因为在R中存在一个递归的量子对应，它是不诚实的（见[15]）。然而，碰巧的是，任何这样的函数，只要在递归点上行为正确，即使在一些非递归输入上不诚实，也有一个诚实的等价物。定理2.5每一个递归量子对应都有一个诚实等价. 也就是说，如果F是一个递归量子对应，则存在一个诚实的递归量子对应G <$F使得f G= f F。卡兰塔里和韦尔奇843经典递归分析需要注意的是，我们的锐滤波器和递归（完全）对应产生了与其他人研究过的相同的递归点和递归函数让Rec（R）是我们设置中的递归实数集（即递归锐滤波器）。设Rrecursive是R中根据Goodstein/Pour-El-Richards分类是递归的点的集合。定理3.1 Rec（R）= Rrecursive.定理3.2从实数到实数的任何递归（完全）对应都生成一个从实数到实数的经典递归函数。 对于任何从实数到实数的经典递归函数f，存在从实数到实数的递归（完全）对应，其恰好生成该f。关于实数上的递归函数的一个主要事实如下。Theorem3. 3（Grzegorczyk，CeEscheritin，Kreisel-Lacombebe-Schoenfield）关于I（R中的一个区间）的每一个全递归函数是连续的。这个定理也适用于递归量子对应，因为递归量子函数，虽然不一定在所有X上定义，但在其定义域上仍然是连续的，并且其定义域包含无数个非递归点。闭区间[a，b]上的递归量子对应有几个性质，它与以该区间为定义域的连续函数共享：它满足中间值定理的有效版本，就像它在整个区间[a，b]上连续一样;因此，如果它的范围也是[a，b]的子集，它也满足布劳威尔不动点定理的有效版本递归量子对应也具有经典相交性质的有效版本：定理3.4设{Fk：k ∈ ω}是从λ X到λ Y的递归量子对应的一致递归序列，使得对所有x ∈ Rec（X）和所有j，k ∈ ω，fFj（x）= fFk（x）. 然后有一个递归量子对应H <$F0使得fH=kfFk.不过，请注意，递归量子函数可能远非完全。因为在[0，1]上存在一个递归量子函数，它不仅是部分的，而且不可扩展为更大区域的连续函数这个函数是无界变化的，它的域是一个开集，可以在勒贝格测度中尽可能小此外，任何（可能无限）区间上的递归量子函数都可以被限制到勒贝格测度为零的区域，这样的限制也是递归量子函数。因为这对于不可扩展函数和任何其他函数都是正确的，所以存在递归量子卡兰塔里和韦尔奇85S{ ∈}S[0，1]上的无界变差函数，不能扩展为[0，1]上的全递归函数，其定义域为勒贝格测度零。这些结果的证明可以被修改以得到类似于上面引用的Specker，CeZelitin和ZaslavskiZeliti的结果，而得到的函数仍然是不可扩展的。4避暗点和阴影点一个可避免的点是一个有一个递归可重复的这些见证人中的每一个都是一个基本的不包括点的开集，并且整个见证人序列在这个意义上，可避免的点是那些“递归地远离”递归点的点。 在第5节中，我们将可避免点与量子递归对应域联系起来。定义4.1设<$X，<$X<$是一个拓扑空间。设存在一个部分递归函数φ：ω→ω且x∈X，使得对任意n(i) 如果n是一个递归锐滤波器（在所有锐滤波器的标准枚举中），则φ（n）↓;(ii) 如果φ（n）↓和φn（φ（n））↓（如果φn是一个锐滤波器，则为真），则x∈/n（φ（n））.然后我们说φ是x的避免函数，或者x通过φ是可避免的。如果x通过某个φ是可避免的，我们说x是可避免的。φ是一个回避函数，如果它是某个x的回避函数。对于避免函数φ，令φ=x X：φ是x的避免函数，并将φ称为φ的谱。如果一个点x是非递归的且不可避免的，我们说x是一个阴影点。类似于Rec（X）表示X的递归点的集合，我们使用Av（X）和Shad（X）分别表示X的可避免点和阴影点的集合。蒂韦莱ThusX=Rec（X）stecAv（X）stecShad（X）.命题4.2设φ是一个回避函数。则Sφ是无处稠密的完备闭集，不含孤立点，且S φ的每一点都是S φ的凝聚点。定理4.3(i) X中所有可避点的集合是第一类。(ii) X中的阴影点集属于第二类。(iii) 此外，Shad（X）在X的每一点凝聚.Specker [31]证明了极限不是递归实数的递归实数序列的存在性。我们已经将该结果扩展到一个有界的点序列，该点序列不一定是递归的，也不一定具有卡兰塔里和韦尔奇86S∈→−→S唯一极限点定理4.4对任意α∈α，存在一个递归序列R ={ρn<$α：n∈ω}的基本开集，使得：(i) （i，j）[ii=jρiρj=j];以及(ii) 如果S={yn：n∈ω}是任意点集，且对每个n，yn∈ρn，则S的所有极限点都是可避的。当是一个递归点序列时，我们得到了斯派克定理的推广定理4.5对任意α∈ R，存在α中的递归点的一致递归可逼近序列，其极限点都是可避免的。5域exdomains设f：XY是一个递归量子函数.因为f的定义域可能不是X的全部，并且因为这一事实对我们很重要，所以我们定义f的外域为exdom（f）=X dom（f）。连接外域与可避免点和阴影点的基本定理是这样的。定理5.1设F：<$X→ <$Y是递归量子对应。则exdom（f F）<$Av（X），因此dom（f F）≥ Shad（X）。因此，递归量子函数fF的域包含所有递归点和阴影点，以及至少一些可避免的点，而exdomfF仅由可避免的点组成事实上，我们在[13]中证明了可避免点正是那些可以从递归量子函数的域中排除的点因为递归量子函数在它们的定义域上是连续的，并且因为Rec（X）在X上是稠密的，所以如果两个递归量子函数在递归点上一致，那么它们也在两者的定义域中的所有阴影点和可避免点上一致由于外域完全由可避免的点组成，光谱如何与外域相互作用的问题自然出现。定理5.2如果F：<$X <$Y是递归量子对应，φ是递归回避函数，则存在递归量子对应G<$F使得dom（f G）= dom（f F）−Sφ。从一个在X上全的函数fF出发，得到exdom（fG）=φ，证明了谱是一种外域.可避免点具有某些密度性质，这些性质最好用递归量子函数的域和外域来表示。设F是一个递归量子对应，则X的每一点都是Av（X）的凝聚点，因而也是卡兰塔里和韦尔奇87111111∈ T1∈||−||11Av（X）.并且每个x∈exdom（fF）都是exdom（fF）的凝聚点。最后，dom（fF）是Gδ，而exdom（fF）是Fσ，并且不包含孤立点。6锋利的过滤器树递归量子对应结果是100对象，因此我们应用0棵树对我们的研究通过使用递归有界的树，我们可以捕捉无处可避免的点的稠密完美集，我们可以使用这种能力来确定递归量子函数的域的某些属性我们通过在树T的节点上放置基本开集来做到这一点，使得它的无限分支形成尖锐的过滤器，并且使得这些分支收敛到的点T的对于我们来说，关于100棵树的主要事实是：如果T是一个递归有界的0树的sharp filters没有递归分支，那么T是谱避免函数，使得TAv（X）。此外，存在递归量子对应G使得exdom（fG）=T。同样，我们得到了以下重要结果。定理6.1设F：<$X→<$Y是递归量子对应，α∈ θ。 然后存在递归量子对应G <$F，使得||= T <$α <$Av（X），对于具有2 <$0个无限分支的尖滤子T的递归有界<$0树.||= T ⊆ α ∩ Av(X), for somerecursively bounded Π0tree of sharp filters T with 2 ℵ0 infinite branches.因此，委员会认为，||（dom（f F）−dom（f G））<$α|| = 2 0。关于实数的一个有趣的事实是，Av（R），有R中的一个完全递归树T，它是由锐滤波器构成的，使得x。 是否对于每一个这样的x，有一个包含x的可避免点的树，我们不知道。通过构造一个非递归有界的n0树，通过有限的伤害优先参数，我们可以产生一个无处密集的完美的阴影点集定理6.2给定任意δ∈φ，存在一个由锐滤子组成的φ0树T2 <$0个无限分支，使得T <$δ<$Shad（X）。我们这类树没有密集的地方，只有可数的递归树。但是Shad（X）是第二类，所以不是每个阴影点都能在这样的树上找到Cenzer Remmel [6]中非常全面地阐述了100集的理论及其在递归数学中的应用7非密度插值定理我们在定理6.1中看到，任何递归量子函数fF都可以被限制为一个递归量子子函数fG，它的域只在一个基本开集α上与fF的域不同，其中dom fFdomfG =2<$0。 事实上，我们可以将这个结果扩展到其他基数。ΠΠ卡兰塔里和韦尔奇88⊆ ⊆−1定理7.1设F：<$X→ <$Y是递归量子对应，α ∈ δ. 然后存在递归量子对应G和H使得G H F和dom（f H）dom（f G）包含恰好一个点，并且该点位于α中。 （因此，G和H之间不可能存在适当的递归量子对应。）推论7.2设F：<$X→ <$Y是递归量子对应，且κ ≤ <$0。 然后存在递归量子对应G和H，使得G<$H<$F，||dom（f H）− dom（f G）||= κ。定理7.1的一个推论是，我们不能总是在两个嵌套的递归量子函数之间插入一个递归量子函数。与此相反，我们有以下定理的情况下，两个嵌套的递归量子函数的域至少有两个点不同。定理7.3设F和G是从λ X到λ Y的递归量子对应，且G ∈ F，且dom（f F）−dom（f G）至少包含两个点。则存在递归量子对应H：<$X→ <$Y使得H<$F和f G<$f H<$f F。因此，在两个其他的量子递归函数之间的插值是可能的，在完全相同的情况下，经典数学家可以在它们之间插值一个函数。引用[1] Aberth，O.，可计算分析，McGraw-Hill，国际图书公司，1980年。[2] 布鲁姆湖，Shub，M.，&Smale，S.，关于实数的计算和复杂性理论：NP完备性，递归函数和通用机器。Amer. 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