主办方：埃及生物多样性公约和议定书科学杂志2（2015）50e54分数阶时滞微分方程的修正Laguerre小波方法Muhammad Asad Iqbala，Umer Saeedb，Syed Tauseef Mohyud-Dina，*a巴基斯坦塔克西拉HITEC大学理学院数学系b巴基斯坦伊斯兰堡国立科技大学自然科学学院A R T I C L E I N F O文章历史记录：收到日期：2014年2月26日收到日期：2014年2014年10月20日接受2014年12月4日在线发布保留字：步骤方法分数阶时滞微分方程数学学科分类：35Q7942C1539B9A B S T R A C T本文提出了Laguerre小波方法（LWM），并将其与分步法相结合，求解分数阶线性和非线性延迟微分方程。计算工作是完全支持所提出的算法的兼容性，因此同样可以扩展到其他物理问题也。一个非常高的精度水平，明确反映了这种方案的可靠性，这样的问题。版权所有2015年，曼苏拉大学。由Elsevier B. V.制作和托管。这是一个CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/）。1.介绍分数阶微分方程被应用于模拟广泛的物理问题，包括地震的非线性振荡[1]、流体动力学交通[2]、许多粘弹性材料的频率依赖性阻尼行为、信号处理[5]和控制理论[6]。此外，在应用数学的几个领域[1，7e11]经常使用分数阶微分方程。这些也被用于研究流行病，年龄结构人口增长[12]，自动化，交通流量和 许 多 工 程 问 题 。 本 文 的 基 本 动 机 是 发 展 一 种Laguerre小波方法（LWM），并将其与分步法[13]相结合，求解分数阶线性和非线性延迟微分方程[4]。据观察，所提出的方法是完全兼容的复杂性，这样的问题，是非常用户友好。误差估计明确揭示了非常高的精度水平的建议的技术。*通讯作者。电子邮件地址：syedtauseefs@hotmail.com（S.T. Mohyud-Din）。由曼苏拉大学负责进行同行审查。http://dx.doi.org/10.1016/j.ejbas.2014.10.0042314- 808 X/版权所有2015年，曼苏拉大学。由爱思唯尔公司制作和主持 这是一篇CC BY- NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/）。可在www.sciencedirect.com在线获取ScienceDirect杂志主页：http://ees.elsevier.com/ejbas/default.asp一.-- j;a;b2R;as0：一XXxxcn1nXXXXdyð 0XX002m2k-12k-1ðð2mþ3-xÞLmþ1ðxÞ -ðmþ1ÞLmðxÞÞ请选择您的语言：. XX例如，《生物多样性和生物多样性科学杂志》2（2015）50e54512.拉盖尔·瓦文萨小波[2，3，5]构成了由称为母小波的单个函数的伸缩和平移当伸缩参数a和平移参数b连续变化时，我们有以下连续小波族：[10]你是我的朋友。x-c≤;0xb;1a≤2;（3）yxpx;-b≤x≤0：其中gx是源项函数，fy是给定的连续线性或非线性函数。根据所提出的方法，首先用分步法将时滞微分方程（3）转化为非齐次的，ja;b1人b2一齐次常微分方程，用初始函数p≠x ≠0，方程（3）表示如果我们将参数a和b限制为离散值，a<$a-k;b<$nb0a-k;a0>1;b0> 0;我们有以下族你是我的朋友。x-c≤;0xb;1a≤2;（4）离散小波这是一个分数阶微分方程，方程（4）的解可以扩展为：j xjajkj. 拉盖尔小波系列作为如下：y=x=P∞ P∞Ck;n200jn;mx;n1m¼0n;m其中jk;n形成L2<$R <$的小波基。特别是，当a01/2和b01/4，则jk;n nn nxn构成标准正交基。Laguerre小波jn;m∈x∈j∈k;n;m;x∈k涉及四个其中jn;m <$x<$由等式（1）给出。我们近似yx由截断级数2k-1 M1设tsn<$1;2;/;2k-1;k为任意正整数，m为拉盖尔多项式的次数，yk;M-nmn<$1m <$0jn;mx标准化时间它们定义在半0;1μs的区间上那么对于以下情况，应存在总共2k-1M个8><2kL~（-1）。2kx-2n1;-≤x<;确定2k-1M系数c10;c20; c21;...; c 2 M - 1 ;...; c 2k-10; c 2k-11; f; c 2k- 1 M - 1。（一）C11;>：0;其他智慧，即2k-1M-1哪里1yk;M0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000n<$1m <$0jn;m 你好，（五）L~mxm！Lmx;（2）m/40;1; 2;1;M- 1。 由方程式（2）系数用于d2k-1M-1dxk;M100%dxn<$1m <$0cnmjn;m0p00：正交正规性这里，Lmx是关于区间[l/20;∞]上的权重函数wx1的m次拉盖尔多项式，并且满足以下递归公式我们看到应该有2k-1M-2个额外条件来恢复未知系数cnm。这些条件可以通过将等式（4）代入等式（3）中来获得;L0×101;L1=1-x;Lm100mmm²2;m²0;1;2;3;/：Da2k-1M-3n<$1m<$02k-1M-3n<$1m<$0！. X轴（六）修正的Laguerre小波方法（MLWM）：在本文，我们考虑的延迟微分方程的形式我们现在假设等式（6）在2k-1M-3点xi处是精确的如下所示jn;mx由于初始条件提供了两个条件dxacnmjn;mxfcnmjn;mx表1e实施例1的数值结果不精确解建议方法误差该方法M¼5建议方法M¼10建议方法20米0.01.000000000001.000000002002.00000E-092.70000E-081.00000E-090.10.900316999800.900330165901.31661E-052.04000E-089.00000E-100.20.802410647300.802442454103.18068E-051.75000E-081.10000E-090.30.707730678000.707741103101.04251E-051.78000E-089.00000E-100.40.617405647900.617373051303.25966E-052.83000E-081.00000E-090.50.532280730200.532227938505.27917E-054.12000E-088.00000E-100.60.452953789100.452938106501.56826E-054.87000E-085.00000E-100.70.379809389900.379878598606.92087E-055.91000E-085.00000E-100.80.313050504000.313167159801.16656E-047.68000E-083.00000E-100.90.252727753300.252664236906.35164E-059.57000E-081.00000E-101.00.198766110400.197972978507.93132E-041.30400E-077.00000E-10XX我252埃及《国际刑事法院和检察院学报》2（2015）50e543.求解过程例1.考虑以下形式a-T.t.t-3吨.t.t.tut-ut-e2sin2 u2-2 e4 cos4 罪4 u4;Da2k-1M-3. X-2k-1MX-3！. X轴0≤t≤1; 0a<≤1;在初始条件u=0.001的条件下：上述系统的精确解是：表1显示了两种方法之间的绝对误差比较确切溶液和近似溶液为M<$5; 10; 20和K<$1的改进Laguerre小波方法（MLWM）。dxa n<$1m<$0cnmjn;m2006年1月1日n<$1m<$0cnmjn;m阿克斯岛埃格·埃克斯-埃普a-c：（七）实施例2. 考虑分数延迟微分方程，形式的作用x点的最佳选择是移位的u的零点，你不知道。0≤t≤1;1a≤2;3T我4 2Laguer repolynomi alsofdegre.e2k-1M-2intheinterval1/20;1]即xi<$si<$1;其中si<$cos;i¼1;受初始条件u=0;u'= 0; u '= 0的限制：2i-12k-1M-1组合等式（5）和（7）以获得2k-1M线性从这些方程中我们可以计算未知系数的值。对于一阶和二阶时滞微分方程也重复同样的过程。上述系统的精确解为utt2：表2显示了通过改进的Laguerre小波方法（MLWM）得到的M1/45和k1/4的表3e实施例3的数值结果不精确解建议方法的解决方案建议方法M¼5建议方法M¼10建议方法20米0.01.000000000000.999999999505.00000E-106.30000E-090.000000欧元0.10.904837418000.904837439702.17000E-081.49000E-081.00000E-100.20.818730753100.818729270801.48230E-062.35000E-081.00000E-100.30.740818220700.740811681806.53890E-063.17000E-081.00000E-100.40.670320046000.670310096009.95000E-064.00000E-080.000000欧元0.50.606530659700.606539170808.51110E-064.82000E-081.00000E-100.60.548811636100.548902798009.11619E-054.82000E-081.00000E-100.70.496585303800.496894104003.08800E-046.50000E-080.000000欧元0.80.449328964100.450095449007.66485E-047.39000E-081.00000E-100.90.406569659700.408178427801.60877E-038.27000E-083.00000E-101.00.367879441200.370903869403.02443E-038.62000E-082.00000E-10表4e实施例4的数值结果不精确解建议方法的解决方案建议方法M¼5建议方法M¼10误差该方法20米0.01.000000000000.999999999505.00000E-105.20000E-082.10000E-080.10.995004165300.995004230906.56000E-086.33000E-082.11000E-080.20.980066577800.980067567109.89300E-077.78000E-082.09000E-080.30.955336489100.955338409501.92040E-069.32000E-082.09000E-080.40.921060994000.921061744907.50900E-071.10700E-072.08000E-080.50.877582561900.877579145903.41600E-061.27600E-072.06000E-080.60.825335614900.825328770206.84470E-061.44500E-072.04000E-080.70.764842187300.764845360803.17350E-061.62800E-072.03000E-080.80.696706709300.696760246205.35369E-051.79200E-072.00000E-080.90.621609968300.621801340501.91372E-041.95600E-071.99000E-081.00.540302305900.540793143304.90837E-042.21800E-071.97000E-08表2e实施例2的数值结果不精确解建议方法的解决方案建议方法M¼50.00.00000000000-0.000000001411.41421E-090.10.010000000000.010000047584.75800E-080.20.040000000000.040000096939.69300E-080.30.090000000000.090000147011.47010E-070.40.160000000000.160000198201.98200E-070.50.250000000000.250000250902.50900E-070.60.360000000000.360000305503.05500E-070.70.490000000000.490000362403.62400E-070.80.640000000000.640000422004.22000E-070.90.810000000000.810000484804.84800E-071.01.0000000000001.000000551005.51000E-07一2例如，《生物多样性和生物多样性科学杂志》2（2015）50e5453图1e例1中给出的分数阶DDE的修正Laguerre小波方法解及其与精确解的比较实施例3.考虑以下形式上述系统的精确解是：表4显示了以下两种方法的绝对误差比较：ut-ut-ut-0：3000e-t0：3 ;0t<≤1; 2a<≤3;精确解和近似解M 1/45; 10; 20和k1的改进Laguerre小波方法（MLWM）。受初始条件u= 0×1的约束;u'01 -1;u000 1：上述系统的精确解是y=x=t：表3显示了两种方法之间的绝对误差比较确切溶液和近似溶液用改进的Laguerre小波方法（MLWM）对M1/5; 10; 20和k1/4进行了计算实施例4.考虑非线性分数阶时滞微分方程ua=1-2u2.0≤x≤1;1a≤2;受初始条件u=01;u'=0 0：4.结论用改进的Laguerre小波方法（MLWM）成功地求解了分数阶线性和非线性时滞微分方程分数阶延迟微分方程的解收敛于整数阶延迟微分方程的解，如图1和图2所示。 1e 4。根据表格，我们得到更准确的结果，同时增加M.计算工作和数值结果清楚地反映了所提出的方法（MLWM）是非常用户友好的，但非常准确。图2e例2给出了分数阶DDE的修正Laguerre小波方法解及其与精确解的比较54埃及《国际刑事法院和检察院学报》2（2015）50e54图3给出了例3中分数阶DDE的修正Laguerre小波方法解及其与精确解的比较图4.例4中给出的分数阶DDE的修正Laguerre小波方法解及其与精确解的比较引用[1] 他JH。含分数阶导数非线性振动及其应用。91.第91章：你是我的女人[2] 他JH。非线性分数阶微分方程及其逼近的一些应用。Bull Sci Tech1999;15（2）：86e 90.[3] Bagley RL，Torvik PJ.分数阶微积分应用于粘弹性的理论基础。 J Rheol 1983;27（3）：201e 10.[4] DavisAR，Karageorghis A，Phillips TN. 粘弹性流动模拟中主要两点法问题的谱Galerkin方法. 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