强非连续格的特征及性质研究与证明

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记333（2017）31-41www.elsevier.com/locate/entcs强半连续格青鱼河1号，罗山徐2号扬州大学数学系，扬州225002。中国摘要本文引入并研究了强非连续格，这是一类介于非连续格和连续格之间的新的完备格证明了完备格L是强超连续的，且L是超连续的且交超连续的。建立了（强）连续格中半下关系的强插值性质利用分配性和近似恒等式给出了强非连续格的特征定理，揭示了强非连续格确实具有与连续格相似的性质构造了一个巧妙的反例，证明了非连续格不一定是强非连续格。关键词：交连续格;交连续格;强交连续格;分配性;有限分离性;近似恒等式1引言Zhao在[12]中用Rav[9]提出的半素理想代替理想，引入了非连续格的概念，并证明了非连续格具有许多类似于连续格的性质[10]。作为连续格的推广，非连续格丰富了Domain理论[2]的研究内容.到目前为止，人们已经做了很多与非连续格有关的工作。Bi和Xu[1]在半连续格上引入并研究了半Scott拓扑和半Lawson拓扑。Li和Wu[8]研究了连续格与完全分配格之间的关系.姜文[5]讨论了非连续格中的伪素数，并给出了非连续格的一些刻画.Li在文献[7]中引入了dcpos中的半素集和dcpos中的广义连续格。他和徐在[3]中探讨了国 家 自 然 科 学 基 金 （ 11671008 、 11626207 、 61472343 、 11401514 ） 、 江 苏 省 高 校 特 色 建 设 基 金（PPZY2015B109）、江苏省高校科研项目（15KJD110006）、扬州大学创新人才培养基金（2016CXJ005）1电子邮件：smileheqingyu@163.com2电子邮件：luoshanxu@hotmail.comhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2017.08.0041571-0661/© 2017作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。32Q. 赫利湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333给出了连续格及其分配映射的一些性质，并对赵文在[12]中提出的问题给出了否定的回答。Wu和Li在[11]中引入了交半连续格，它是交连续格的一个对应，是交半连续格的自然定义。众所周知，连续格都是交连续的。然而，在后面我们将构造一个反例来说明一个连续格不一定是满足连续的。 这是连续格的一个意想不到的情况。注意，在连续格L的定义中，使用的条件是对于每个元素x∈L，x≥x。如果在定义中将不等式改为相等，那么就得到了强连续格的概念[12]，而不是强连续格的对应物。因此，在完备格的领域中找到某种适当类型的半连续性是很有意义的，这种半连续性比连续性弱，但比交连续性强基于这一动机，本文定义了一种新的连续性，称为强连续性，其条件是：对于完备格L，对于每个x∈L，↓x）=x。我们将看到，新的连续性意味着普通的连续性。与连续性类似，在强非连续格中，一个元素可以由它的半下（和下）元逼近，证明了强非连续性等于非连续性加上交非连续性，弱于连续性.利用完备格的一些分配性和近似恒等式，给出了强非连续格的刻画定理。我们将组织我们的文件如下：第2节给出了目录;第3引入了强非连续格，研究了它们的性质，证明了（强）非连续格中半下关系的一些强插值性质，并构造了一些反例; 4建立了强非连续格的刻画。2个房间我们回顾了一些基本的概念和结果，将在续集中使用。他们中的大多数人都来自[2]和[12]。其他未说明的概念请参考[9]。设L是偏序集。所有理想的集合（分别为，在L中的滤波器）由Id（L）表示（分别地，Filt（L））。设P∈Id（L），称P是素的，如果L\P=n或L\P∈Filt（L）. 很容易看出，在一个半格L中，理想P是素的，对所有a，b∈L，a∈b∈P蕴涵a∈P或b∈P。我们用PI（L）表示L的所有素理想族。对于格L和AL，我们分别使用A（A）表示上确界（分别为，A的值，如果它存在。2.1[9]设L是一个格。 L的理想I称为半素，如果对任意x，y，z ∈ L，x <$y∈ I和x <$z ∈ I蕴涵x <$（y <$z）∈ I. L的所有半素理想的族记为Rd（L）。引理2.2 [12，引理1.2]格L的理想P是半素i，若存在L的素理想Pj（j∈J）使得P =j∈JPj.Q. 赫利湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 33333j∈j（2）对L的任意半素理想Pj族{Pj}j∈J，j∈J（Pj）=xyi <$x∈I，对于L的每个理想I，使得y≤I. 我们用↓x表示x∈L，x=（2000年）。保持。因此，PI（L）≠Rd（L）和Rd（L）在交集下闭合在dcpoL中，我们说x远低于y，或者x近似于y，记为xy，如果当D是有向的且D≥y时，则对某个d∈D，x≤d.等同，集合{a∈L：ax}。如果对于每个元素x∈L，集合↓x是有向的，如果x = x，则L称为domain。一个完全格是一个域，称为连续的格子对于完备格，用半素理想代替理想，Zhao在[12]中定义了way-below关系的弱形式定义2.3[12]设L是一个完全格。定义L上的关系式：对于x，y∈L，x∈y，如果对L的任何半素理想I，y≤I蕴涵x ∈ I。一 个元素x ∈ L称 为n-紧的，如果x<$x。 对于每个x ∈ L，x={y∈L：y<$x}，记SK（L）={x∈L：x<$x}。定义2.4[12]一个完全格L被称为是连续的，如果对于任何x∈L，x≤（？x）.一个完备格L称为强连续格，如果对任意引理2.5[12]强连续格是连续格，并且连续格是连续格。连续格是连续的。对于分配完备格，强连续性、连续性、非连续性是等价的.特别地，有限格都是连续格。注2.6对于完备格L和a，b，c，d∈L，(1) 对每个a∈L，a ∈a是半素理想，且ab蕴涵a ∈b;(2) a≠b不蕴涵a ≤b，典型模格M5是一个反例;(3) （传递性质）如果a ≤ b <$c ≤ d，则a <$d。 如果是一个B B B C，那么就是一个B C。(4) 如果a，b ≠ c，则a ≠ b ≠ c。引理2.7[12，定理1.8]如果L是连续格，则x<$y蕴含存在z∈L使得x<$z<$y。引理2.8[12，定理1.9]设L是完备格，则下列条件等价：(1) L是连续的;（P）持有;（3）对L的素理想Q j的任意族{Qj}j∈J，j∈J（Qj）=（j∈JQj）3强连续格在这一节中，我们定义了强半连续格，并构造了一个巧妙的反例来说明一个半连续格可能不是强半连续格。34Q. 赫利湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333∈ ⊆ ⇓ ∩ ↓↓x≤晶格（<$x <$↓x）≤x。因此（<$x<$↓x）=x且L是强连续的连续的定义3.1设L是一个完全格。 如果对于每个x∈L，（A）：（x<$↓x）=x若有，则称L为强连续的。显然，每个强连续格都是一个连续格，满足性质（A）的连续格也是一个强连续格。很容易看出，如果L是一个没有真素理想的完备格，则L中的每对元素都是关系式，并且L是强连续的。命题3.2每个连续格都是强非连续的。特别地，每个分配非连续格都是强非连续格。证据 由注2.6（1）可以得出，对任意x∈L，有↓xx↓x。 那么x=根据引理2.5，分配连续格是连续的和强连续的。Q下一个例子表明，强连续格可能不是连续的。例3.3令Lxy= L<${x，y}（参见 图1），其中L ={x，T}{xn：n = 0，1，···}。Lxy上的偏序被定义为n ≤x0≤· · ·≤xn· · ·≤ T，x ≤x，y≤ T。显然，Lxy没有真素理想，SK（Lxy）= Lxy.对于任意a，b∈Lxy，我们有a∈b成立。根据定义3.1，Lxy是强连续格。 显然，Lxy不是连续的。Fig. 1.Lxy是强连续的但不是连续的接下来，我们写Xi=x<$I={x<$y：y∈I}，其中x∈L和I<$L。命题3.4对于完备格L，下列陈述是等价的：(1) L是强连续格;(2) 对任意x，y∈L，若x/≤y，则存在z∈ <$x<$<$↓x使得z/≤y;(3) 对于每个x L，存在B xx使得x=B;(4) L是连续的， （x<$$>x）= x<$（<$x）。Q. 赫利湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 33335（xI）。10 - 12 -2000， 10- 2000（一）。由于t=（<$t<$<$t），对于任意r∈<$t<$<$t，我们有r≤x ≤p0 ≤（xI）。 因此，通过r∈ <$t<$<$t的任意性，我们有：r≤t≤x，r<0t≤ I和r∈I。 因此，存在p0∈I使得r=p0，我 ∈Rd（L），若要证明x∈（I）=（x∈I），则x∈（I）≤证据直 截 了 当 。Q定义3.5[11]称完备格L是满足连续的，如果对任意x ∈ L和I ∈ Rd（L），x<$（I）=（x<$I）。回想一下，交连续格意味着满足以下条件的完全格：条件（MC ）：x<$（D）=（x<$D）。根据定义3.5，每个交连续格都是交连续的。注意，对于分配格，每个理想都是半素的。因此，每个分配交连续格都是交连续的。命题3.6每个强连续格都是交连续的。证据 设L是一个强非连续格。对任意x∈L，1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 I）= t=（tt）≤（xI）。Q注意，每个拓扑都是分配交连续格。考虑由R导出的有理数Q的通常拓扑τ（Q）。 很容易证明，τ（Q）不是连续的，因此不是强连续的。然而，τ（Q）显然是满足连续的。因此，交连续格不一定是强交连续的。定理3.7完备格L是强连续的，且L是连续的且满足连续的。证据 第3.6条提案。： 对于每个x∈L，通过L的连续性，我们有： x≥x。 由注2.6（1）和L的交连续性得出x=x<$$>（<$x）=（<$x <$↓x）≤x，且（<$x <$↓x）=x.根据定义3.1，L是强连续的。Q下一个例子表明，非连续格不一定是强半连续的，也不一定满足非连续的.例3.8设L ={x，a，b，x，T}<${xn：n = 0，1，···}（参见图2）。图二、L是连续的但不是强连续的36Q. 赫利湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333⎧⎪⎨⊥,either ⊥orx∈{xα}α∈Γ,T，xα=T，对所有α∈ Γ，然而，对于素理想L\↑x，我们有x=x<$（L\↑x）（x（L\↑x））=，k∈<$t <$<$↓ t，k∈ <$x α <$↓xα，对所有α∈Γ和k∈α∈Γ（<$x α <$↓xα），则L上的偏序定义为：x ≤a，b≤x0≤· · ·≤xn···≤ T，x≤ T。显然，L的素理想是L\↑x和L。我们观察到，对于任何t∈L，我们有t=L\↑x且t≤t。因此，L是一个半连续格。揭示了L不是满足连续的，更不用说强连续的，定理3.7.注意，在这个例子中，x不是紧的，并且（<$x<命题3.9如果L是强连续格，则对任意族{xα}α∈L的Γ，以下（SSD）成立：(SSD)α∈Γ（<$xα <$↓xα）=α∈Γ（<$xα <$↓xα）。证据 为了方便起见，让lhs表示（SSD）的左手边，rhs表示右手边。显然，在任何完备格中，lhs≥rhs.为了证明反向不等式，令t=lhs=α∈Γxα。则t≤xα（<$α∈Γ）. 因此，对于任何这意味着对于所有k∈<$t <$<$t，rhs≥k。由于L的强连续性，k的任意性，我们看到rhs≥（t↓t）=t。 所以，（SSD）持有。Q下一个例子表明，一个完备格L的分配性（SSD）不一定意味着L的非连续性，更不用说强非连续性了。所以，（SSD）对于（强）连续性是不够的例3.10令L={x，x，T}<${xn：n = 0，1，···}（参见 图3）。 部分图三. L满足分配性（SSD），但不是连续的L上的阶定义为：n ≤x0≤· · · ≤xn· · · ≤T，n ≤x≤ T。显然，L的素理想是↓x，L\↑x和L。由于L={X}，所以L不是一个连续格。然而，请注意，=x ={}，T= L\↑x=xn（n = 0，1，···）。因此，对于L的任何族{xα}α∈Γ，我们有（SSD）的rhsα∈Γα∈Γxα，否则很容易看出，它等于α∈Γ（<$xα <$↓xα），即（SSD）的lhs，表明（SSD）在L中成立。（xα↓xα）=Q. 赫利湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 33337不此外，可以以类似的方式检查，例3.8中的完备格也成立，表明（SSD）和半连续性一起并不一定意味着完备格的强非连续性在下一节中，我们将定义完备格的更强分配性（SSD）。证明了（SSD）等价于完备格的强连续性。总而言之，我们有下面的完备格的蕴涵关系图。没有一个蕴涵关系DistContzStroContzContzStroSemizSemiMeetSemiz，距离zC¸MeetContMeetSemi半StroSemi，其中，Dist =分配的，Cont =连续的，Semi =连续的，DistContStroCont =强连续，等等。回想一下，在[12]中，对于一个完全格，可以定义一个映射T：L→L对于所有x∈L，T（x）=（x）。 设L表示L的由所有x∈L组成的子集，其中T（x）=x。 由[12，定理3.4]，如果L是连续的，则LT是一个连续的格子。同样，对于一个完备格L，我们可以定义一个映射：L→L通过（x）=（<$x<$↓x），x∈ L.设L<$={x∈L：<$（x）=x}是L的一个子集. 则最小元<$∈ L<$，LT<$L<$，SK（L）<$L <$.如果L是连续的，则最大元素T∈L<$。此外，L在L的任意并下是闭的，因此是L的遗传序中的完备格。若L是强连续格，则L∈L。然而，我们甚至不知道对于一个给定的连续格L，L是否是一个（强）连续格。因此，我们留下以下问题。问题：对于一个连续格L，L是（强）连续格吗？对于非连续格，它们表现出著名的插值性质（引理2.7）。实际上，（强）连续格具有一些强插值性质，如下面的定理和推论所示定理3.11如果L是（强）连续格，则L满足强插值性质：对所有x，y∈L，(SI)x<$y和xy一起意味着（<$z∈L）（x<$z<$y和x/= z）。证据 如果x不是n-紧的，则根据引理2.7，存在z ∈ L使得x<$z<$y和z/=x，证明完成。如果x是n 对于y x，我们有yxy，注2.6（3），有必要。 所以，x yy与x y，（SI）成立。 对于y/≤x，通过L的连续性，存在z1∈xy使得z1x.设z=z1<$x，则38Q. 赫利湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333α∈Γα∈Γα∈Γα∈Γα∈Γz/=x且x<$x≤z<$y。 故（SI）成立。Q由上述定理的证明，我们立即得到下列推论。推论3.12在一个连续格L中，对所有x，y∈L且x≤y，有(SI≤）x<$y蕴涵（<$z∈L）（x<$z<$y且x≤z）;对于所有x，y∈L，其中x，y，有(SI<）x<$y蕴涵（<$z∈L）（x<$z<$y和x

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