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Peter Yichen Chen1,2, Maurizio Chiaramonte1, Eitan Grinspun2,3, Kevin Carlberg11Facebook Reality Labs Research2Columbia University3Toronto Universitycyc@cs.columbia.edu, mchiaram@fb.com, eitan@cs.toronto.edu, carlberg@fb.com��0材料点法在非线性流形上的模型简化使用深度学习0摘要0本文提出了一种基于投影的模型简化方法,用于材料点法(MPM),这是一种在工程和计算机图形学中用于模拟固体、流体和多相现象的流行的欧拉-拉格朗日方法。所提出的技术采用了变形映射的运动学逼近,通过强制变形轨迹驻留在由对应于解码器的参数化函数表达的低维流形上来实现。通过显式逼近变形映射,变形梯度可以通过不同参数化函数的微分来简单计算。此外,该映射可以被反转以生成新的材料点,从而允许自适应细化。该方法通过投影生成动力学,即在每个时间步骤,该方法执行两个步骤:(1)计算欧拉网格节点上的速度,(2)将计算出的速度最小二乘投影到这个低维流形的切空间上。该方法支持超级简化,这对于实现与原始材料点数量无关的计算复杂性至关重要。大规模问题的数值例子说明了该方法在几乎没有误差的情况下能够实现数量级的计算成本节约。0介绍0材料点法(MPM)(Sulsky,Zhou和Schreyer1995;Jiang等,2016)是一种混合的欧拉-拉格朗日离散化方法,在计算机图形学界广泛应用于固体、流体和多相模拟。由于其双重的欧拉和拉格朗日表示,MPM相对于有限元法具有几个优点:大变形、断裂以及接触和碰撞都相对容易处理。然而,MPM对材料的双重表示使其特别计算昂贵。这使得MPM无法在时间关键和实时设置中使用,例如快速设计、交互式应用程序和控制。0本文的版权所有者为其作者。根据知识共享署名4.0国际许可(CCBY 4.0)许可,允许使用。0简化模型我们介绍了一种构建基于投影的简化模型(ROM)的策略,该策略引入了一个运动学近似,包括构建低维非线性流形逼近变形映射,并通过首先计算欧拉网格节点上的速度,然后将计算出的速度最小二乘投影到流形的切空间上来生成动力学。0运动学:低维流形类比于为有限维动力系统状态空间构建低维非线性流形(Lee和Carlberg 2020),可以将参考域Ω ref �Rd的任何元素限制在低维流形上演变。我们首先将近似的变形映射表示为˜ φ : Ω ref × T × D → R d,其中 ˜ φ ( ∙ ; ∙ , µ ) ∈ S ( µ ), � µ ∈ D 且 ˜ φ ( ∙ ; t, µ ) : X �→ ˜ x ( t,µ ) (1)0:Ω ref → ˜ Ω( t, µ ) , � t ∈ T , µ ∈ D ,0其中 S ( µ ) 表示满足初始和基本边界条件的可行解空间,˜Ω( t, µ ) � R d表示对应于时间t ∈ T和参数实例µ ∈D的近似变形域,并强制运动学约束˜ φ ( X ; ∙ , ∙ ) ∈ M ( X) := { g ( X ; ˆ y ) | ˆ y ∈ R r } � R d,(3)0�X∈Ω_ref,其中g:Ω_ref×Rr→Rd表示r维流形的参数化。运动约束(3)意味着存在广义坐标ˆx:T×D→Rr,使得˜φ(X;t,µ)=g(X;ˆx(t,µ)),�X∈Ω_ref,�t∈T,µ∈D。(4)0假设参数化函数在其第一个参数上连续可微,方程(4)意味着近似变形映射的变形梯度可以通过参数化函数的微分来计算,即˜F:(X,t,µ)→� ˜φ(X;t,µ)≡�g(X;ˆx(t,µ))0: Ω_ref × T × D → R d × d. (5)the manifold-parameterization function g : Ωref × Rr → Rdcan be constructed in a variety of ways, we employ a fully-connected, 5-layer, deep-learning architecture (i.e., a multi-layer perceptron) with ELU activation functions due to theircontinuous differentiability. ELU can be viewed as a smoothextension of the more popular ReLU activation function. Weset g ← gθ⋆ where θ⋆, the network weights, are the (approx-imate) solutions to the problemminimizeθ, {ˆx(t,µ)}t∈Ttrain, µ∈Dtrain̸f σi,n = −f ei,n =J˙vi,n+1 =vpn+1 =minˆx(tn+1)�p∈M∥0,其中�表示对第一个参数的微分。此外,假设参数化函数在其第二个参数上连续可微,方程(4)意味着近似解的速度可以通过链式法则计算,即˙˜φ(X;t,µ)≡∂g0∂ ˆ x(X;ˆ x(t,µ))˙ˆ x(t,µ). (6)0µ∈D_train,t∈T_train,X∈Ω_ref,train(∥gθ(X;ˆ x(t,µ))−φ(X;t,µ)∥220+ λ 1 ∥�gθ(X;ˆx(t,µ))−�φ(X;t,µ)∥2F0+ λ 2 ∥ ∂ 0∂ ˆ x(X;ˆx(t,µ))˙ˆx(t,µ)−˙φ(X;t,µ)∥22),0(7)其中D_train�D,T_train�T,Ω_ref,train�Ω_ref表示已求解原始(全阶)MPM并且有可用解的参数、时间和参考域实例,˙ ˆ x(t,µ)=ˆ x(t+∆t,µ)−ˆ x(t,µ)0Δt是通过显式欧拉法计算的,Δt是MPM的时间步长,λ1,λ2∈R+表示变形梯度和速度的惩罚参数。0动力学:速度投影为了在每个时间实例生成基于投影的动力学,提出的ROM(1)计算了欧拉网格节点上的速度,并(2)对计算出的速度执行最小二乘投影到低维流形的切空间。然而,为了确保计算复杂度与原始材料点数n_p无关,我们必须将这些步骤限制在域的子集上执行。为此,我们提出了两种单独的超降维方法。0超降维方法#1:材料点投影我们提出的第一种方法是材料点中心的。我们首先通过随机抽样确定一组样本材料M�{1,...,np}。我们还考虑这些材料点的邻居N�{1,...,np},定义为计算样本材料点在所有t∈T和µ∈D的动力学所需的材料点集;注意M∩N=�。确定了这些材料点后,算法1提供了由结果(在线)降阶模型模拟所采取的步骤。虽然这种方法可能导致操作次数与原始材料点数np和欧拉基函数数nb无关,但它需要计算(和跟踪)邻近材料点的集合,这是困难的0算法1:ROM动力学方法#10输入:广义坐标 ˆ x ( t n ) 和速度 ˙ˆ x ( t n)。输出:广义坐标 ˆ x ( t n +1 ) 和速度 ˙ ˆ x ( t n+1 )。01 确定需要计算样本材料点动力学的网格节点 I � {1,...,n b },即 I = { i | N i ( x p n ) � = 0对于任何 p ∈ M},其中 N i 是欧拉基函数。02 计算每个样本和邻近材料点 p ∈ M ∪ N在时间点 t n 评估 (4)–(6) 得到的变形梯度 F pn,速度 v p n 和位置 x p n。03 执行‘从粒子到网格’转移,计算 i ∈ I 的情况。0p ∈M∪N。0ρ 0 σ ( F p n ) � x N i ( x p n ) m p。0p ∈M∪N。0ρ 0 b ( x p n ) N i ( x p n) m p。0其中 J := det( F ),σ 表示柯西应力,b表示体积力,m p 是材料点质量,ρ 004 执行更新步骤,计算 i ∈ I 的情况。0m i ( f σ i,n + f ei,n )。0∆ v i,n +1 = ˙ v i,n +1 ∆ t n vi,n +1 = v i,n + ∆ v i,n +1。05 执行‘从网格到粒子’转移,计算 p ∈ M ∪ N的情况。0i ∈I v i,n +1 N i (x p n )。06 更新广义坐标 ˆ x ( t n +1 ) = ˆ x ( t n ) + ∆ t n ˙ ˆx ( t n +1 ),其中 ˙ ˆ x ( t n +1 ) 满足最小化问题0∂ ˆ x ( X p ; ˆ x ( t n ))ˆ x ( t n +1 ) −v p n +1 ∥ 2 2。ne�e=1nq�q=1(�jρ ˙vjNj Ni)|xq wq= −ne�e=1nq�q=1(σ(F )∇Ni − bNi)|xqwq+�∂Ω(8)̸̸min˙ˆx(tn+1)∥0在实践中要做的事情。下一种方法通过采用以样本节点为中心的视角来缓解这个问题。0超级降维方法 #2:样本节点投影这一部分介绍了一种利用事实的替代方法,即——如果构造成可逆的话—流形参数化函数 g可以根据变形配置中的位置和广义坐标的值在参考域中给出位置的逆。因此,这种方法的关键元素是:(1)无需跟踪单个材料点,(2)能够根据需要生成有效的材料点,(3)在欧拉网格上执行经典有限元积分以组装控制方程。关于积分,我们首先注意到�0q =1 f ( x q ) ρ ( xe q ) w q。0其中 n e 是元素的数量, n q 是积分点的数量,w q是积分权重。考虑使用经典技术近似从运动方程的弱形式中的积分0t N i,i = 1,...,n b。0与第一种方法相比,这种方法(算法2)不需要跟踪任何固定的材料点或它们的邻居。相反,在步骤1中选择一组样本节点 I并利用变形映射的可逆性,该方法可以产生一个与原始材料点数 n p 和欧拉基函数数 n b独立的操作计数,而无需任何特殊跟踪。0数值实验 单元测试对于单元测试,我们在弹性材料制成的圆柱体顶部进行一次时间步的剪切。0使用梯度惩罚进行训练在表1中,我们比较了不同的训练设置。当λ1和λ2都设置为零时,网络仅使用位置信息进行训练,而不使用一阶梯度信息。虽然降阶模拟的位置误差和变形梯度误差相对较小,但观察到了较大的速度误差。当λ2为正值且λ1保持为零时,网络现在使用额外的时间梯度信息(速度)进行训练。因此,速度误差得到了显著改善,这也导致了位置误差的显著改善。然而,变形梯度略微增加。因此,我们通过同时设置λ1和λ2为正值来训练空间(变形梯度)和时间(速度)梯度信息。0算法2:降阶动力学方法#20输入:广义坐标ˆx(tn)和速度˙ˆx(tn)。输出:广义坐标ˆx(tn+1)和速度˙ˆx(tn+1)。01选择(任意)感兴趣的样本节点I�{1,...,nb},满足对于某些x02定义包括积分点和权重xqn∈Ω,wqn∈R+,q=1,...,nq的积分规则,用于在样本节点I处组装控制方03对于每个时间实例tn,通过评估(4)-(6)来计算每个积分点q=1,...,nq的变形梯度Fqn和速度vqn,其中Xqn满足xqn = g(Xqn;ˆx(tn),q=1,...,nq。04 执行“粒子到网格”的转移,通过对于i∈I计算0fσi,n = −0nq�0q=10J(0ρ0σ(Fqn)�xNi(xqn)wq0fei,n =0nq�0q=10J(0ρ0b(xqn)Ni(xqn)wq。05 对于i∈I执行更新步骤0˙vi,n+1 = 0mi(fσi,n + fei,n)0∆vi,n+1 = ˙vi,n+1∆tnvi,n+1 = vi,n + ∆vi,n+1。06选择(任意)满足条件的样本材料点xsn,s=07 如果需要,执行“网格到粒子”的转移,通过对于s=1,...,ns计算0vsn+1 =0i∈Ivi,n+1Ni(xsn),0其中,vsn可以通过对于X=Xsn,s=1,...,ns的情况下计算方程(6)来计算,其中Xsn满足xs n = ˆ x ( X s08更新广义坐标ˆx(tn+1)=ˆx(tn)+∆tn˙ˆx(tn+1),其中˙ˆx(tn+1)满足最小化问题0ns�0∂ˆx(Xs;ˆx(tn))˙ˆx(tn+1)−vsn+1∥22。0.01%0.16%0.11%0.01%0.13%0.11%0训练位置速度变形参数误差梯度误差0λ1=0,λ2=0 0.19% 13% 0.2% λ1=0,λ2=0.010.004% 0.3% 0.3% λ1>10000,λ2>0.01 0.004%0.2% 0.2%0表1:训练参数对降阶模拟精度的影响。同时使用空间(λ1)和时间(λ2)梯度惩罚可以获得最佳结果。材料以3个材料点离散化。0投影位置速度变形方案误差梯度误差0材料点中心0.01%0.06%0.11%0样本节点中心0.01%0.06%0.11%0材料点中心,超级减法(6)0样本节点中心,超级减法(6)0表2:投影方法和超级减法。无论是否使用超级减法,两种投影方法都能达到相同的准确性水平。材料被离散成17个材料点。0应该是积极的。如预期的那样,观察到了位置、速度和变形梯度的最佳误差。0材料点中心投影与样本节点中心投影在表2中,我们比较了使用不同投影方法时减小阶模拟的准确性。所有的模拟都使用相同的网络和相同的权重。无论是材料点中心方法还是样本节点中心方法都能达到相对较小的误差。0超级减法表2还展示了超级减法的有效性,我们只使用原始材料点的一个小子集进行投影,从而降低了计算成本。虽然原始材料点的数量为np=17,但使用6进行投影可以达到相同水平的位置误差。0戳击试验一个弹性圆柱,在表3中列出了其信息,在顶部被戳击(图1)。戳击力由其球坐标f(ρ,θ,φ)来表征。我们通过改变表征戳击力的三个参数来生成训练和测试数据,其中ρ∈[1.0,1.2],0图1:材料在顶部被不同力量戳击,导致不同的变形状态。0试样信息值单位0半径10厘米 高度40厘米 E 12500帕纽0.30表3:戳击试样信息0θ∈[0°,9°],φ∈[10°,15°]。通过全因子抽样生成了27个模拟,其中22个用于训练,5个用于测试。每个模拟包括36个时间步或0.25秒。因此,总共使用了945个模拟快照进行训练和测试。全阶模拟中有np=1368个材料点。广义坐标的维数选择为5,有效地将模拟的维数减小了821倍。超级减法的材料点数量为15;这些点是从施加戳击力的部分、固定圆柱的底部以及材料允许自由变形的中间部分选择的。减小阶模拟能够以0.50%的位置误差重现训练案例,并且能够以0.55%的误差预测测试案例。0未来工作在未来,我们希望扩展我们的工作以支持可塑性、断裂、接触和碰撞。0参考文献江成;施罗德;特兰;斯托马金;塞尔,2016年。用于模拟连续材料的材料点方法。在《ACMSIGGRAPH 2016课程》中,1-52。0李凯和卡尔伯格,2020年。使用深度卷积自动编码器对非线性流形上的动力系统进行模型简化。《计算物理杂志》404:108973。0Sulsky, D.; Zhou, S.-J.; and Schreyer, H. L. 1995. Applica-tion of a particle-in-cell method to solid mechanics.Computer physics communications 87(1-2): 236–252.
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