Banach空间正规结构的充分条件

22-两个- -2Journal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，91埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章Banach空间正规结构的充分条件Satit Saejunga，Ji Gaob，*a泰国孔敬大学理学院数学系，40002b美国宾夕法尼亚州费城社区学院数学系，邮编：19130-3991收稿日期：2012年10月20日;接受日期：2012年2013年2月4日在线发布本文给出了Banach空间正规结构的两个充分条件。第一个一个是由Gao的U -凸模的推广--新模给出的2000年数学潜规则分类： 46B20、47H10、37C25、54H252013年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍设X是一个Banach空间，其对偶空间为X*。 设SX={xX：ixi=1}和BX={x X：ixi6 1}分别是X的单位球和闭单位球。定义1.1[1]。称Banach空间X的一个非空有界凸子集K具有正规结构，如果对于K的每个包含多个点的凸子集H，存在一个点x02H，使得超fkx0-yk：y2Hg直径H;<*通讯作者。联系电话：+1 610 259 7341。电子邮件地址：saejung@kku.ac.edu（S. Saejung），jgao@ccp.edu（J. Gao）.同行评审由埃及数学学会负责其中，直径H = sup{ixyi：x，y H}表示H. 称Banach空间X具有正规结构，如果X的每个有界凸子集都具有正规结构。称Banach空间X具有弱正规结构，如果对X的每个包含多个点的弱紧凸集K具有正规结构。我们也说X有一致法线结构如果存在0c 1使得对于如上所述的任何子集K，存在x02K使得<<超fkx0-yk：y2Kgc·diamK：<注1.2.对于自反Banach空间，正规结构与弱正规结构是一致的。此外，如果一个空间具有一致的正规结构，那么它是自反的。定义1.3.一个Banach空间X被称为具有不动点性质，如果当C是X的有界闭凸子集时，它遵循每个非扩张映射T：CfIC，即，iTxTyi6ixyi对于所有x，yC，总是有固定的点。如果将上述集合C的1110- 256 X？ 2013埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.12.003制作和主办：Elsevier关键词不动点性质正规结构U-凸模WORTH性质92S. Saejung，J.GaoX ð ÞX你好！12.当Mazcunan-Navarro[7]证明XðÞ¼ð Þh i <$k k <$g2r ¼f 2i>j2IXnX-2 kXXnn12X数据库名称：¼inf 1-1Xk：x;x;. ;x2BX;minkxi-xjkPex-y，x 因此，委员会认为，121XX¼Σnnby ‘‘weakly compact’’, then we say that注1.4.对于自反Banach空间，不动点性质与弱不动点性质是一致的.最近林[2]成功地构造了一个具有不动点性质的非自反空间。Kirk在[3]中证明了每个具有弱正规结构的Banach空间都具有弱不动点性质。从那时起，许多保证（弱）正规结构和（弱）不动点性质的几何性质得到了广泛的研究。让我们回忆一下一致凸性的概念，它可能被认为是希尔伯特空间凸性性质的最自然的推广。Banach空间X是一致凸的，如果d.尺寸：1/4英寸。11xyk：x;y2S;kx-ykPe>0很容易看出s（X）=2和d<$1 <$d。此外，在[10]中证明，定理1.6. 若X是Banach空间，且对某个nP 1，d<$n<$1> 0，则X具有一致正规结构.Jime'nez-Melado[9]也证明了以下结果，n = 2。定理1.7. 设X是一个具有WORTH性质的Banach空间[11]，即，limjkxn-xk-kxnxkj 0对所有x2X和X中的所有弱空序列{xn}. 如果d 2-n> 0，则X具有弱不动点性质。最近，Fetter和Gamboa de Buen证明了这一点[12]。每个具有WORTH性质环向Banach空间都有对于所有的e（0，2）。我们还知道，每个一致凸空间都有一致的正规结构。在[4]中，Lau引入了U-空间的概念，并证明了一致凸空间类严格包含在U-空间类中。后来，Gao[5]引入了所谓的U-凸性模。回想一下，Banach空间X是U-空间，如果你说的是：1/4。11xyk：x;y2S;hx-y;fiPe，对于某些f2 r>0固定点属性。本文的目的有二：（1）利用Gao引入的U-凸模uX的推广--新模，改进了一致正规结构的一个充分条件;（2）证明了具有WORTH性质的全2-凸Banach空间的对偶空间具有正规结构.2. 受Gao U凸模启发的一个新模X-2 kXX我们首先定义以下的模数。对于所有的e2（0，2）。这里$x表示x的范数1支持泛函的集合SX，也就是说，XFS Xω：x;f f1 .从上面的定义可以看出，dX6uX.在[6]中，Gao和Lau证明了每个U-空间都有一致正规结构.对于函数f（e），我们写fa-lime！a-fe。Gao[5]证明了Banach空间X具有一致正规结构1-2uX（1-）>0意味着X具有不动点性质。在[8]中，Saejung用超幂方法证明了一个Ba-当uX（1）>0时，每个空间X及其对偶X*具有一致正规结构。他还举了一个例子，说明这样的条件是尖锐的。值得注意的是，上述两个模量都是由定 义 2.1. 设 X 是 Banach 空 间 ， n2N. 我 们 说 两 组 向 量{x1，. . ，xn+1} cS X和ff2;.. ;fn<$1g <$SXω满足性质（Gn，e），其中e2[0，2]，如果minhxi-xj;fiiPe和fj2rxj对于j/2;. . . ;n=1：在这种情况下，我们写（{x1，. ，xn+1}，{f2，. ，fn+1}）（Gn，e）.德费恩tn . ;xn12S X;9f2;.. . ;fn<$12SXω这样，. ; x n1g; ff2;. ; f n1g2 G n; eg：我们定义un：½0;tX！1/2（1空间中只有两个元素因此，很自然地，你在哪里？1-1kx100x100. xk：. ;xg;12另一个允许-X中有更多元素旋转。在这个方向上的许多有趣的模量之一是由Jime′nez-Melado[9]引入的，并由MazcunEina'n-Navarro[10]推广到下面的一个。n1×f f2;.. . ; f n1g2 G n; e n：n11n1备注2.2. 很容易看出，和定义1.5. 设X是Banach空间，sX：¼supfe2½0;2]：9x;x;. . . X2BX;使得minkxi-xjkP例如：我们定义dn：½0;sX！1/2（1.Xþ kxx· ··xXX● tn（X）6sn（X）对所有n2N;● 对于所有的e2 [0，t n（X）），u ∈ P d ∈ P。引理2.3. 设H是Hilbert空间，x，y2SH.然后e2kx-ykPe（）hx-y;xiP2：n1ΣIn112n1证据请注意，<$x-y，x+y<$=ixi2-iyi2 =零等n1：Banach空间正规结构的充分条件93HXn1PPPXfgnMnnnMnMnXnMn4XYð Þh i¼-*kx-yk1/4hx-y;x-yi /4hx-y;xi /4hx-y;-yi1/42hx-y;xi：Q因此，如果n>m，则hy-y;gi hy;gi -hy;gi hx;fi提议2.4.[10]设H是Hilbert空间，nP1.然后sH1-hym-xm;gni -hxm;gn-fniP1- kym-xmk-kgn-fnkP 1- 2e：这意味着（{y1，. . ，y n+1}，{g2，. . ，gn+1}）2（Gn，1-2e）和d1-ne21-2小时10分钟因此.ΣX对于任何e2[0，Sn（H））.nky1···yn1k6n11-u1- 2：根据引理2.3，我们有2.5号提案设H是Hilbert空间，且nP1.然后另一方面，ky1···yn1kP kx1···xn 1k-nkxi-yikur1-Pkx1···xn 1k-n1ePhx1· ··xn1;f1i -n1e.e2对于任意e2[0，tn（H））.与[10]的命题3.1.3类似，我们有这意味着1-4-e：第二章2.6号提案设X是Banach空间，nP1.然后uX101-2014年4月：<(a) 对于所有的e2[0，t（X）），XXn+1个设e =0，则对所有n个P1，u=n= 1 -1/2 0 这证明X(b) 你好。对所有的e2[0，2]，e <$6 u X <$e <$。引理2.7（Bishop-Phelps-Bollob a′s[13]）. 设X是一个Banach空间，0<∈<1。给定z2BX和h2SXω 与定理H2.10定义（[15，16]）。设X和Y是Banach空间。我们说Y在X中是有限可表示的，如果对任何e>0和任何Y的有限维子空间N存在X的子空间M1-hz;hi6e2，则存在y2SG2$使得4X yiy-zi 6 e和ig-hi 6 e。这个结论是由詹姆斯证明的。14.第2.8节设X是一个Banach空间。则X不自反当且仅当对任意< m时，fn=0。定理2.9. 若X是Banach空间，且对某个n P1，u∈n<$1-> 0，则X是自反的.具有与N相同的维数和同构T：Nfim使得对于任何y2N1-e假设这是Banach空间的一个性质。 我们说一个Banach空间X具有超性质，如果只要Y在X中是有限可表示的，则Y具有性质。例如，我们说X是超自反的，如果在X中可有限表示的任何空间Y是自反的。定理2.11.如果一个Banach空间Y在一个Banach空间X中是有限可表示的，则une-6 uneX Y证据设0e 1。<<如果X不可逆，则是序列{xn}cSX和fnSXω 满足以下两个条件：(a)x; f1e2 当n为6m时;以及(b) 当n > m时，fn=0。根据引理2.7，我们可以找到两个序列{yn}cSX和fgng <$SXω对所有n2N满足以下三个条件(c) gn2ryn;对于所有e> 0。为了证明这个结果，我们需要下面的引理2.7的修改版本，它的证明被省略了。引理2.12. 设X是一个Banach空间，0<∈<1。则存在一个数d> 0使得对于给定的z 2 X和h 2 X，其中h∈z，h∈=1且izi，ihi2（1-d， 1+d），存在z^2SX和h^2rz^使得kz^-zk6e和kh^-hk6e。定理2.11的证明 我们证明了，对于(d) ign-fni6e;(e) iy n-x ni6 e.所有g> 0。 设g> 0。 我们选择元素y1，y2，。. 、yn+12SY和g2; . ;gn<$12SYω，使得294S. Saejung，J.GaoY¼2¼◦n1X--*ð Þ--i>j¨¨þXX¨¨¨求f ^y^i;f^i< $2SX×SXω 使得f^i2ry^i;ky^i-yik<8e和kfi-fik<8e.因此，我们有1000 0 那里是{x 1，x 2，. ，Xn}c，我们要找到我们的候选人x1，x2，.. . ，xn+12SX和f2;. .fn<$12SXω，并考虑1-1k×1···xn <$1k的估计.从前面的引理可以 得 出 ， 存 在一 个 数 00。它是由X的反射性和Banach-Alaoglu较弱顺序紧凑。显然，正常结构和弱正常结构是一致的。假设X不具有（弱）正规结构。设e> 0。 有{x1，x2，. ，xn+2} c S X和ff1;f2;.. . ;fn<$2g <$SXω使得(a) 对于所有的in j，iixii1∈(b) 对于所有16i6n+2，(c) <对于所有inj，这样的扩展fi。我们注意到输入y：¼xi-xn2对于 i = 1， . . ， n +1。 然后我10001PkyikPhyi;fiiP1-e¼ 1-2e 根据引理2.7，我们可以● 对于所有i=2，. . . ，n+1;10001000q8E<1000● 1-d 6 if ii 6 1 + d，对于所有i =2，. . ，n+1。pq8ep因此，我们可以发现，^x^1;.. . ;x^n=12SX和以下两个估计：f2;.. . ;f^n<$12SXω，使得● 对于所有i=2，. . . ，n+1;● k^xi-xikjhx^i-x^j;f^iPmini>jhx^i-xj;fii -3g/lmini>j1¨Xnþ1 ¨phy-y;gi -3gPe-3g.此外，由于kPn<$1x^ikP1/161-y8eI j我1/1nkPn1xik -n1gP1-dkPn1yk-n1gP1-gkPn1yk -n1g，我们有1/1 我61-1n1x-xÞ¨þpffi8ffiffieffi1/1 我¨ ¨ðnþ1Þð1þeÞ¨i¼1n= 2● 1-d 6 ix ii 6 1 + d，对于所有i =1，. . ，n+1;1n=2伊什n=2第8页¨Banach空间正规结构的充分条件95--XðÞ¼ð Þnðnþ1Þð1þeÞi¼16.1 g/kg。1-1¨Xnþ1 是的！200克611-e1个月e96S. Saejung，J.Gao¨第8页n6- 1-葡聚糖葡聚糖2g：Banach空间正规结构的充分条件97ðnÞ- -一种98S. Saejung，J.GaoY让g =0给出结果。HBanach空间正规结构的充分条件99ð Þ.定理2.13. 如果X是Banach空间，u∈n∈1-> 0，nP1，则X是超自反的.100S. Saejung，J.Gao证据 它直接由定理2.11和2.9推出。HBanach空间正规结构的充分条件101XX在最后一次估计中让e = 0，则得到u X10，a矛盾102S. Saejung，J.Gao最后，为了得出一致正规结构，我们只需引用KhamsiBanach空间正规结构的充分条件103结构意味着一致的正常结构。H备注2.16.存在一个Banach空间X，使得104S. Saejung，J.Gaou（1）=0但u∈ 2n∈ 1-n>0。 因此，上述结果扩展了Banach空间正规结构的充分条件105ðnÞ- -一种其中，[8]。事实上，令X<$R2;k·kn，其中定理2.14. 如果X是一个Banach空间，其中uX1 > 0对于某些人nP1，则X具有一致正规结构.这个结果的证明是基于Saejung得到106S. Saejung，J.Gaox;ymaxfjxj;jyjg; ifxyP0;Banach空间正规结构的充分条件107如果xy60：108S. Saejung，J.Gaoh i¼12f g！ 2nnnFI1nn-m个n-m个●2nn3. 关于完全2-凸空间再一次，我们有limn！1kxn-xn2k ¼1。我们选择一个整数N3>N2，使得最后，我们证明，在存在的价值性质11每个对偶是全2-凸的空间都有正规结构。回想一下，Banach空间X是完全2-凸的[19，20]，如果只要{ixn+xmi}收敛，{xn引理3.1.设{xn}是Banach空间X中的序列，{fn}是在SXω中的序列，使得以下条件成立：fn（xn）=ixni，对所有n;w wωjkxn-xn2k-1j2<2和jkxnn-xn2k- kxn-x n2k j22<对于所有的nPN3.设n3=N3。然后1 1jkxn3-xnik-1j2n1，使得● 如果X是完全2-圆的，则X具有正规结构。*1 1 1● 如果X是完全2-凸的，则X具有正常的结构。jhx n2; fij <22;jhx n2; fn1ij <22;以及 jhx n1;f n2-fij<22：同样，我们选择一个整数n3>n2 使得证据因为X*是完全2-圆的，所以X是自反的。如果X不具有正规结构，则它包含弱空序列jhx1;fij;jhx1fij<;和jhx;f— 国际新闻报{xn}使得lim nfi 1ixn-xi=diam{xn}=1，所有n323n3;ni23nin3x2co fxg。 注意0 2 co fxg所以limixi=1。我们1<22对于i1; 2：接下来选择序列{fn}inSXω 使得fn=ixni，对于所有的人通过反射性，我们可以提取一个子序列通过归纳法，我们可以找到一个严格递增的整数序列{nk}，使得以下条件对所有k都成立：● jhxn;fij;<{x n}，仍然用{x n}表示，使得对于所有xcoxn，w lim nfi 1ixn-xi =diam{xn}=1和fnfBXω。调用由引理3.2和3.1得出的结论是，{xn}的{y n}和{fn}的{g n }，使得K● 公司简介2K;<对于所有i= 1，. . ，k;k1i2k● Lim我y-yi=liminti=1;● jhxn;fn— <对于所有i = 1，. . ，k.nnmn mnnnmn mi k12k● Limiyi=limy，g=1;因此，对于所有i=1，. . ，k，我们有● limnnmym，gn=0.公司简介;fnkij6jhxni ;fnk-fij jhxni1;fij2k1<12012年1月：最后，证明了序列{gn}违反了X*的全2-凸性.事实上，证明是通过让yk^x nk来完成的。 和gk^fnk。H引理3.2.假设{xn}是一个弱空序列，2 PlimkgngmkP limhynym;gngmi<$2limhym;gnilimhyn;gmi <$2：Banach空间X满足WORTH性质且对所有的x2 cof xng，lim nfi 1ixn-xi = diam{xn}= 1. 则存在{xn}的子序列{y n}，使得但n-m个n-m个limkgn-gmk< $$> limhyn-ym;gn-gmi <$2：林启义-yk limky埃什基k1：n-m个n-m个n-m个n mn-m个n m最后一个断言来自第一部分，因为在证据 设n1=1。 那就来吧！1kxn-xn1k ¼1。我们选择一个整数N2，反射性WORTH性质的存在是一个自对偶性质（见[21]的定理3）。jkxn -xn11k-1j2

下载后可阅读完整内容，剩余1页未读，立即下载