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基于虚拟弹簧和阻尼的动态姿态估计(DAMP)的解决方案
5926i=1i=1.Σ3T.Σ22⌦22二-X轴,,2NN动态位姿估计恒阳MITUniversity ofCambridge剑桥Jean-Jacques Slotine模型关键点场景虚拟弹簧场景云虚拟弹簧关键点基元体模型类别模型虚拟弹簧实例关键点(a)点云配准(b)原始配准(c)类别配准(d)绝对姿态估计(e)类别APE图1:我们提出动态姿态估计(DAMP),这是第一个通用和实用的框架,用于通过模拟由虚拟弹簧和阻尼引起的刚体动力学(顶行,洋红色线)来根据2D和3D视觉对应执行姿态估计。DAMP几乎总是返回跨五个姿态估计问题(底行)的全局最优刚性变换。(a)使用Bunny数据集[16]的点云配准;(b)使用球体,平面,圆柱体和圆锥体的机器人模型的原始配准;(c)使用PASCAL 3D+数据集[51]的椅子类别的类别配准;(d)使用SPEED卫星数据集的绝对姿态估计(APE)[45];(e)使用FG 3DCar数据集的类别APE [34]。摘要我们研究的问题,对齐两组三维几何图元已知的对应关系。我们的第一个贡献是表明,这种原始对齐框架统一了五个感知问题,包括点云配准,原始(网格)配准,类别级3D配准,绝对姿态估计(APE),和类别级APE。我们的第二个贡献是提出动态姿态估计(DAMP),第一个通用和实用的算法来解决原始对齐问题,通过模拟刚体动力学所产生的虚拟弹簧和阻尼,其中弹簧跨越相应的基元之间的最短距离。我们在所有五个问题的模拟和真实数据集上对DAMP进行了评估,并证明了(i)在3D-3D对应的前三个问题中,DAMP总是收敛到全局最优解;(ii)虽然DAMP有时在具有2D-3D对应的最后两个问题中收敛到次优解,但是使用用于逃避局部最小图像的方案,DAMP总是成功的。 我们的第三个贡献是去神秘化的令人惊讶的经验表现的DAMP和正式证明的全局收敛结果的情况下,点云注册的特征的局部稳定性的基础动力系统的平衡点。11代码:https://github.com/hankyang94/DAMP1. 介绍考虑找到最佳刚性变换(姿势)以对准两组对应的3D几何图元X={Xi}和Y={Yi}的问题:Nmin dist(TXi,Yi)2,(1)T2SE(3)i=1其中SE(3),(R,t):RSO(3),t R32是3D刚性变换(旋转和平移)的集合,T X表示刚性变换T对基元X的动作,并且dist(X,Y)是两个基元X和Y之间的最短距离。特别地,我们关注以下原语:1. 点:P(x),{x},其中x2R3是3D点;2. 直线:L(x,v),{x+v:2R},其中x2R3是直线上的一点,v2S2是单位方向;33. 平面:H(x,n),yR:n(yx)= 0,其中xR3是平面上的一点,而nS2是垂直于平面的单位法线;2SO(3),RR3 3:RRT=RTR=I3,det(R)=+1是正确的3D旋转的集合。3Sn-1,{v2Rn:kvk=1}是n维单位向量的集合3D模型虚拟弹簧2D关键点方位矢量相机帧虚拟弹簧类别模型方位矢量2D关键点相机帧5927}{2222$2++其中x2R3是中心,A2S3+++2S22图1(b)显示一个例子,其中语义上的意思是-4. 球面:S(x,r),{y2R3:ky-xk2=r2},其中x2R3为中心,r >0为半径;5. 柱面:C(x,v,r),yR3:dist(y,L(x,v))=r,其中L(x,v)(在2中定义)是圆柱体的中心轴,r>0是半径,dist(y,L)是点y到直线L的正交距离;6. 锥孔: K(x,v,✓),{y2R3 :vT(y-x)=cos✓ky-xk},其中x2R3是ape x,v2S2最近,越来越多的研究试图使用诸如立方体、圆锥体、圆柱体等的简单图元来表示和近似复杂的3D形状。以获得存储效率和向3D形状的不同部分分配语义含义的能力[50,20,33]。这些因素激发了下面的原始配准问题。示例2(基元配准[9,33])。 令Xi=3为中心轴指向圆锥内部的单位方向,θ(0,θ)为半角;7. E(x,A),. y2R3:(y-x)TA(y-x)1Σ,++P(xi),xR,是一个三维点,设Yi是任意类型在问题(1)中的1 - 7个基元中,基元配准寻求最佳刚性变换以将一组3D点对准到一组3D基元。定义主轴的确定矩阵4问题(1),当专门针对基元1-7时,包括关于根据视觉测量的姿态估计的广泛类别的基本感知问题,并且发现对对象检测和定位[30,39]、运动估计和3D重建[58,56]以及同时定位和映射[10,52,42]的广泛应用。在本文中,我们考虑问题(1)的五个例子,图中给出的图形说明1.一、注意,我们将自己限制在当所有对应XiYi,i= 1,. ..,N是已知的并且是正确的,原因有两个:(i)存在诸如 RANSAC[19]和 GNC[52,3]的通用算法框架,其重新获得对不正确对应的鲁棒性(即,异常值);(ii)即使当所有对应都正确时,由于可行集SE(3)的非凸性,问题(1)也可能难以求解。示例1(点云配准[27,53])。令问题(1)中的Xi=P(xi)和Yi=P(yi),其中Xi,yi为R3,点云配准寻求最佳刚性变换以对齐两组3D点。图图1(a)示出了使用Bunny数据集[16]的点云配准的实例,其中粗体蓝色和红色点分别是关键点P(x)和P(y)点云完整的机器人模型被紧凑地表示为集合平面、圆柱体、球体和圆锥体,而通过解决问题(1)将噪声点云观测与其对准。示例1和2都需要已知的3D模型,其形式为干净的点云或固定图元的集合,这可能是非常受限的。例如,在Fig.1(c),想象机器人已经看到椅子的多个实例并且仅存储了语义不确定性椭圆(SUE)集合形式的类别“椅子“的可变形椅子的腿),而椭球体的方向和大小表示类别内该关键点的类内变化(有关如何从数据计算SUE的详细信息,请参见补充材料)。现在,机器人看到一个椅子的实例(以蓝色显示),它以前从未见过,或者它见过但无法访问精确的3D模型,并且必须估计实例的姿势w.r.t.本身在这种情况下,我们制定了一个类别级的3D注册使用SUE。示例3(类别注册[36,11,46])。 假设Xi=P(Xi),XiR3是3D点,并且Yi= E(yi,Ai),yiR3,Ai3是语义关键点的SUE,类别配准寻求最佳刚性变换以将点云对准到类别级语义关键点的集合。我我配准通常出现在需要对齐在不同空间和时间获取的两个或更多个激光雷达或RGB-D扫描[58]时,并且在实践中,采用手工制作[43]或深度学习[13,21,57]的特征描述符来生成点对点对应关系。然而,在许多情况下,获得(在运行时)或注释(在训练时)点对点对应(例如,告诉一个点位于一个平面上要比精确地定位它在平面上的位置容易得多,如图1(b)所示。此外,众所周知,点对线和点对面等对应关系可以在ICP等算法中实现更好的收敛[7]。以上三个示例1-3展示了问题(1)在给定3D-3D对应关系的情况下建模姿态估计问题的灵活性接下来的两个示例示出了给定2D-3D对应关系(即,绝对姿态估计(APE)或透视n点(PnP))也可以问题(1)的形式公式化的关键在于,2D图像关键点由所谓的方位矢量唯一地确定(假设相机本征是已知的),所述方位矢量源自相机中心并经过成像平面上的2D关键点(参见图1)。图1(d))[26]。因此,APE可以被公式化为将3D模型与一组3D方位向量对准。4Sn,Sn,Sn表示实数nn的集合对称的,正的类似地,可以唯一地确定半定和正定矩阵。通过包含两个与两个2D点相交的方位向量的3D平面是一个积极59282222YX⌦XXYYX我我 我我我++示 例 4 ( 绝 对 姿 态 估 计 [30 , 1] ) 。 设 Xi=P( Xi), XiR3是3D点,并且Yi=L(0, vi),V1S2是2D关键点的方位矢量(相机中心是0R3),APE寻求找到最佳刚性变换以将3D点云对准到一组方位矢量。图1(d)示出了将卫星线框模型与一组2D关键点检测对准的示例。类似地,通过允许3D模型是SUE的集合,我们可以将示例4推广到类别级APE。示例5(类别绝对姿态估计[55,34])。设X=E(x,A),x 2R3,A 2 S3,be a SUEof因此需要良好的初始猜测以用于收敛。Zhou等[59,60]开发了一种凸松弛技术来解决具有弱透视相机模型的APE类别 ,并显 示了有效 和准确 的结果 。Yang 和Carlone [55]后来表明,[59,60]中的凸松弛比他们基于平方和(SOS)松弛开发的凸松弛更不紧密。然而,[55]中的SOS松弛导致目前无法有效求解的大型半定规划(SDP)最近,随着机器学习的出现,许多研究人员求助于深度网络,直接从2D图像中回归3D形状和相机姿势[11,31,49]。我们把-[49][31][29][32 ][34][35]类别级语义关键点,并且Yi=L(0,vi),作为2D关键点的方位向量,类别APE寻求找到最佳刚性变换以将3D类别与实例的2D关键点对齐。图1(e)示出了根据本发明的一个实施例的估计图1(e)的物体的姿态的示例。使用SUE的类别级集合的汽车。严格地说,例2包含例1、例3和例4,但我们将它们分开,因为它们具有不同的应用。相关工作。据我们所知,这是第一次在同一框架下提出这五个看似不同的我们将简要地讨论现有的解决这些问题的方法。可以使用奇异值分解[27,5]以封闭形式求解点云配准(示例1点云配准的最新进展(尤其是处理离群值)的全面回顾可参见[58]。然而,其他四个例子不承认封闭形式的解决方案。在点到点、点到线和点到平面对应(称为网格配准[56])的情况下,可以使用分支定界[38]和半定关系[9]全局求解图元配准(示例2此外,不存在可以解决具有全局最优性保证的包括点到球体、点到圆柱体和点到圆锥体对应的基元配准的求解器。绝对姿态估计问题(示例4)一直是计算机视觉中的主要研究方向,并且存在基于Grobner基[30]和凸关系[1,44]的若干全局求解器。对于类别级配准和APE(示例3和5),大多数现有方法将它们公式化为同时估计形状系数和相机姿态,即,他们将未知实例模型视为类别模板的线性组合(称为活动形状模型[15]),并寻求估计线性系数以及相机姿态。[25,40,34]中的作品通过交替形状系数的估计和相机姿态的估计来在成像平面上。因此,问题(1)也可以适应在透视n点和线(PnPL)[1,35]的文献中常见的点对线对应。这条研究路线的细节。贡献我们的第一个贡献,如在前面的段落中所描述的,是统一的五个姿态估计prob- lems对齐两组几何图元的一般框架下。虽然在[9,38]中已经针对点到点、点到线和点到平面对应提出了这样的命题,但是将其推广到更广泛的基元类别,例如圆柱体、圆锥体、球体和椭圆体,并且在类别级配准(使用SUE的思想)和给定2D-3D对应的姿态估计中示出其建模能力我们的第二个贡献是开发一个简单,通用,直观,但有效和高效的框架来解决所有五个例子通过模拟刚体动力学。正如我们将在第3节中详细介绍的那样,一般公式(1)允许我们建模为固定刚体和移动刚体,其中T表示w.r.t.的相对姿态。.然后,我们将虚拟弹簧放置在Xi和Yi中的点之间,这些点在给定T的情况下达到最短距离dist(TXi,Yi)。虚拟弹簧自然地施加力,在该力下,被拉向由牛顿-欧拉刚体动力学控制的运动,并且此外,动力系统的势能与问题(1)的目标函数一致。通过假设在具有恒定阻尼的环境中运动,动力系统将最终到达平衡点,从该平衡点可以获得问题(1 我们构建这样一个动态系统的灵感来自于最近基于物理学的配准[22,23,28]的工作,但在显示模拟动态可以解决更广泛和更具有挑战性的姿态估计问题方面远远超出了他们,而不仅仅是点云配准。我们将我们的方法命名为动态位姿估计(DAMP),我们希望它能激发计算机视觉和动态系统之间的联系。我们在模拟数据集和真实数据集上评估DAMP(第4节),并证明(i)DAMP总是返回具有3D-3D对应关系的示例1-3的 全 局 最优 解; ( ii ) 尽 管 DAMP以 非 常低 的 概 率(1%)收敛到给定2D-3D对应关系的次优解(示例4-5),但使用模拟数据集,DAMP总是返回具有3D-3D对应关系的示例1 - 3的全局最优解。<5929----:⇥2··K- K- kk-(pg(λ)=0,-{{(x,y+kxkcos✓u):u2S2,p(X,Y)p =一个简单的逃避局部极小值的方案,DAMP几乎总是成功的。我们的最后一个贡献(3.2节)是(部分地)揭开了5. 点圆柱(PC),X=P(x),Y=C(y,v,r):({(x,y+ru):u2S2,u?如果x=yDAMP算法,并证明了点云配准的非平凡全局收敛结果。(X,Y)p=(x,y+r x-y)kx-yk、(7)否则平衡点的稳定性将分析扩展到其他例子仍然是开放的。2.几何与动力学在本节中,我们提出了两个关键的结果支持的DAMP算法。一个是几何的,涉及计算两个几何图元之间的最短距离,另一个是动力学的,涉及模拟N-图元系统的牛顿-欧拉动力学。2.1. 几何当rey,y+v,=vT(xy),是x到中心轴L(y,v)上的投影。 如果x位于中轴线上,那么圆上任何一点,经过x且与v正交的函数达到最短距离,否则x的投影在圆柱体上实现最短距离。6. 点锥(PK),X=P(x),Y=K(y,v,✓):8>{(x,y)}如果vTxy -kxyksin✓(X,Y)=yuTv=coskxyk}if =v,(8)鉴于黑盒优化[37],在解决问题(1)之前需要回答的问题是>{(x,y+w):=wTxy}否则其中xy,x-y,w,R✓v,其中R✓2SO(3)为为了在给定的TSE(3)处评估成本函数,因为dist(X,Y)函数本身就是一个最小化。 Al-轴vxy三维旋转矩阵kxyk角度✓。6虽然在点云配准的最简单情况下,dist(X,Y)=xy可以解析地写成,但是下面的定理指出,通常dist(X,Y)可能需要非平凡的计算。定理6(最短距离对)。 设X和Y是类型1 - 7的两个基元,定义(X,Y)p为在X和Y之间达到最短距离的点的集合,即第一个条件vTxyxysin✓ 对 应 于 K 的对偶锥中的x,并且顶点y达到最短距离第二个条件对应于x位于中心轴上并且在圆锥体内部,在这种情况下,圆锥体表面上的整个圆实现最短距离。在最后一个条件下,X到圆锥(的极端射线)上的唯一投影实现最短距离。(X,Y)p,arg min(x,y)2X Y在以下情况下,(X,Y)kx-yk。(二)7. 点椭球(PE),X=P(x),Y=E(y,A):(λ>0p可以解析地或数值地计算。{(x,(λA+I)-1xy+y):g(λ)=0,}否则1. 点-点(PP),X=P(x),Y=P(y):(X,Y)p={(x,y)}。(三)2. 点-线(PL),X=P(x),Y=L(y,v):(X,Y)p={(x,y+v):=vT(x-y)},⑷其中y+v是x在直线上的投影3. 点平面(PH),X=P(x),Y=H(y,n):T(X,Y)p={(x,x+n):=n(y-x)},(5)其中xy,xy和g(λ)是单变量函数其表达式在补充材料中给出。如果x属于椭球,则最短距离为零。否则,在椭圆体的表面上存在实现最短距离的唯一点,该最短距离通过找到函数g(λ)的根而获得。8. 椭 球 线(EL),X = E(x,A),Y = L(y,v):(X,Y)={(y+v,y+v):2[1,2]}if∆≥0,(10){(z(λ),y+(λ)v):λ>0}否则其中x+n是x在平面上的投影4. 点球(PS),X=P(x),Y=S(y,r):其中yx,y x,以及∆、1、2、z(λ)、(λ)、g(λ)在补充文件中给出(X,Y)=({(x,z):z2S(y,r)}ifx=y、(6)材料直观地,判别式∆决定p(x,y+rv):v=x-ykx-yk}否则Xy(and因此dist(X,Y))可以{(x,x)}ifx 2E,(9)5930⇥2当直线与椭圆体相交时。 如果 为非空交点,则为整条线段其中如果x与球心重合,则整个球体达到最短距离,而否则x在球体上的投影y+rv达到最短距离。6a b表示a,bR3的叉积。Given an axis-angle representation (v, ✓)of a 3D rotation, the rotation matrix can be computed as R = cos ✓I3 +sin ✓[v]⇥ + (1 — cos ✓)vvT, where [v]⇥ is the skew- symmetric matrixassociated with v such that v ⇥ a ⌘ [v]⇥a [54].5931F4Xf11x,xX14 4X1XvC4WFxc,qX2F3X3X3 X3x2,xμ··22-第八章><>2Ⓢ2N222QYX2Xi=1i++QCQ 我Ni=1CCP(由1,2确定)达到最短距离零。否则,唯一的最短距离对可以通过首先找到一元函数g(λ)的根λ,然后将λ代入z(λ)和(λ)来获得。定理6的详细证明在补充材料中,用数值方法求g(λ)的根。备注7(距离)。在(2)中定义的dist(,)函数是从凸分析[17]继承的,并且适合于本文中的问题。然而,它可能是不明确的,例如,将棱锥与球体对齐一个潜在的更好的距离函数是Hausdorff距离[41],但它的计算要复杂得多。2.2. N-原始刚体动力学从物体坐标系到全局坐标系的旋转,vcR3表示质心的平移速度,r R3表示刚体的角速度w.r.t.质量中心。在t= 0时,假设xc(0)=x¯,q(0)=[0,0,0,1]T,vc(0)=0,r(0)=0,(11)使得体坐标系与全局坐标系一致(q(0)是单位旋转)。呼叫xri ,xix¯x i w.r.t. 的相对位置在身体坐标系中表示的质心(恒定值w.r.t.时间),则在作用在位置xi处的外力fi下,以全局坐标系表示,动力系统的运动方程为xc=vcq=1qr~s(t)=F(s;fi,xi,µ)=、(十二)vstecc:=ac=Mf:其中,r是r的同态化,系统的质量,f是总外力2:=f0Nif=Xzfi-µm(vc+}|Rq(rxri){),(13)2其中RqSO(3)是与四元数q相关的唯一旋转矩阵,J是惯性J,-mPN [xr]22S3e expressedinthebody fram e,图2:N-基元刚体动力学的示例为总扭矩系统,N=4。Xi=1第1、3条是椭圆体,X二、四是点。=XRT(x-x)(RTf0),(14)在一个环境中移动的基元{Xi}Ni=1常数阻尼系数μ>0,且每个基元Xi具有位于xiR3w.r.t.处的尖块。一个全球坐标框架(图2)的情况。假设存在作用在位置xi R3处的每个基元上的外力fiR3,i= 1,. ..,N.注意我们不限制xi= xi,即外力不需要作用在尖质量的位置。例如,当X i是椭圆体时,Xi是椭圆体,但xi可以是椭圆体表面上或内部的任何点(参见图2)的情况。 我们假设每个基元具有相等的质量m i= m,i = 1,. ......、 N,使得N-本原系统的质心在x′,1N xi(in全局帧)。下一个命题陈述了控制N-本原系统运动的方程组命题8(N-原始动力学)。 令s(t),[xT,qT,vT,rT]T2R13是N-在身体坐标系中(RT将向量旋转到身体坐标系)。命题8的证明直接来自[6]。注释9(无界基元)。 在本文中,它足以考虑有界基元(椭球,点)在N-本原系统。对于无界基元(例如,线,平面),它仍然开放如何分配其质量。 一个简单的想法是,把它所有的质量,m,i,都放在,接触点,x,i上。3. 动态位姿估计3.1. DAMP概述DAMP中的思想是将其视为图1中的N-原始刚体。2,并且将其视为全局框架中的保持固定并生成外力以使其保持固定的一组基元。图中的原始刚体2,其中xcR3表示质心在全局坐标系中的位置,q2S3表示即,每个基元Yi对Xi施加外力fi位置xi(图中的红色箭头)2)的情况。虽然这个想法是受相关作品的启发[22,23,28],但我们的结构i=1r :==J -1(-rJr)和在本文中,我们考虑一个由N我15932XC;XFK KK K-·←X-XXC SX4x<$=i=1i,xrN=xi-x¯,J=-m[xr]22(line第12段)。对于最短距离对(x,y),DAMPi=1我⌦我我i=1吉吉这些部队在两个方面与它们有很大的不同:(i)我们将系数为k的虚拟弹簧放置在每个弹簧之间;算法1:DAMP1输入:基元X={X i}N且Y={Yi}N;(ii)使用定理6找到虚拟弹簧的两个端点,因此阻尼i=1µ>0(默认:µ= 2);质量m>0i=1虚拟弹簧跨越的距离最短Xi和Yi。有了这个,我们就有了下面的引理。引理10(势能)。如果虚拟弹簧的两个端点位于最短距离对(TX,Y),且弹簧具有常系数(默认值:m= 1);弹簧系数k>0(默认值:k= 2); boolean:EscapeMinimum(默认值:False);试验次数Tmax> 0(默认值:Tmax=5);平衡阈值“> 0(默认值:“= 10- 6);步长dt> 0(默认值:dt = 0. 3);最大值步数Kmax(默认值:Kmax= 103)伊伊普k= 2,则问题(1)的代价函数等于动力系统的势能。2输出:问题(1)的估计T2SE3 %计算X的NPNxXlem(1). 特别地,我们要求(X,Y)对是5J=LLT,其中L为下三角形我我定理6中列出的七种类型之一,其包括实施例1-5。DAMP首先使用图中每个基元的指向质量xi的位置计算质心x'、相对位置xri和惯性矩J(第4行)。(因为在实施例1 - 5中Xi是点或椭圆体,所以Xi如图1所示被很好地定义。2)的情况。然后,DAMP计算J的Cholesky因子分解,并存储下三角Cholesky因子L(第5行),其稍后将用于计算角加速度Eq.(十二)、8在第7行中,模拟在s0处初始化,如(11)中所示,其基本上表明在静止时开始,没有任何初始速度。 在主循环的每次迭代中,DAMP第一个计算的最短距离对(xi,yi)6 初始化百分比7s=s0,如等式中所示(十一)8 %模拟动力学9如果EscapeMinimum则T= 0,=,=10,其中j = 1,. ......、Kmaxdo11%计算最短距离对(定理6)12(xi,yi)2(xi(s),Yi)p,i = 1,. ..,N13fi=k(yi-xi),i= 1,. ..,N14%计算状态的导数(命题8)15s=(s;fi,xi,µ),其中J=LLT(12)16%检查平衡17ifsstec <”“那么18如果EscapeMinimum和T Tmax,则固定Yi和当前状态s的Xi,表示为Xi(s)19S=S [s,C=C [kPN ky-xk2ii20sN(0,I13)%随机扰动在Xi和Yi之间产生瞬时虚拟弹簧端点在xi和yi,导致虚拟弹簧力fi= k(yixi)(线13)。然后,DAMP使用等式来计算状态s的时间导数(12)-(14)(第15行)。如果s“小于预定义的阈值”,则动态参数系统已经达到平衡点,并且仿真停止(线23)。否则,DAMP更新动力系统的状态,对q进行适当的重正化以确保有效的3D旋转(第27行)。的初始姿态为(x´,I3),并且的最终姿态为是(xc,Rq),因此,DAMP返回转换的对齐T从最初的状态到最终状态(第30行):R=Rq,t=xcRqx¯。跳出局部极小值。DAMP框架允许一个简单的方案,用 于 逃 避 次 优 的 解 决 方 案 。 如 果 布 尔 标 志EscapeMinimum为 True,则每次系统达到平衡点时,DAMP都会计算系统的势能(即成本函数由引理10得出),将能量和状态存储在,并随机扰动状态的导数(想象7以前的工作[22,23,28]使用两个点云之间的引力和静电力,在这种情况下,动力系统的势能不等于(1)的目标函数。[8]也可以直接求J的逆,因为J是一个33的小矩阵。21T=T+1其他22个23断裂24端部月25日结束26%使用四元数校正27s=s+dts,s(q)s(q)ks(q)k28端部29如果EscapeMinimum则s=S(arg minC)30返回n:T=(Rq,xc-Rqx¯)在线20上的虚拟在对多个Tmax试验执行EscapeMinimum方案之后,DAMP使用具有最小势能的状态(第29行)来计算最终解T。3.2. 全球融合:点云配准由于外部阻尼μ,DAMP保证收敛到s=0的平衡点,这是李雅普诺夫理论[47]中众所周知的结果然而,系统(12)可以具有许多(甚至无限个)平衡点。因此,一个自然的问题是:DAMP是否收敛于N我们现在陈述DAMP算法(算法1)。DAMP的输入是两组几何图元,如prob中的5933NXN XYNK K最小化系统势能的平衡点如果答案是肯定的,那么通过引理10,我们可以保证DAMP找到问题(1)的全局极小点。下一个定理建立用于点云配准的DAMP定理11(全局收敛)。 在问题(1)中,设XY是通用配置下的两组3D点。(i) 系统(12)有四个平衡点(s=0);(ii) 其中一个(最佳)平衡点使势能最小;(iii) 其他三个虚假平衡点与最佳平衡点相差的;(iv) 伪平衡点是局部不稳定的。因此,DAMP(具有EscapeMinimum=False的算法1)保证收敛到最优平衡点。定理11的证明涉及代数,并在补充材料中给出。条件4. 实验我们首先证明了DAMP总是收敛到给定3D-3D对应关系 的 最 优 解 ( 第 4.1 节 ) , 然 后 我 们 证 明 了EscapeMinimum方案有助于逃避给定2D-3D对应关系的次优解(第4.2节)。4.1. 3D-3D:经验全球收敛点云配准。 我们从(0,1 3)随机采样N =100个3D点,然后通过应用随机刚性变换(R,t)来生成,然后添加高斯噪声(0,0.01213)。我们在没有EscapeMinimum的情况下运行DAMP,并将其估计的姿势与.r. t进行比较。地面实况姿态,以及Horn方法[ 27 ](标签:SVD)返回的最佳表1显示[27]第二十七话e R(○)(0. 065/0 011/0188)(0. 065/0 011/0188)e t(m)(1. 6e-3/1。4e-4/4。3e-3)(1. 6e-3/1。4e-4/4。3e-3)e¯R(○)(2. 9e-5/0/5。1e-5)e¯t(m)(2. 3e-7/6。1e-9/6。(第9 e-7段)表1:点云配准:DAMP收敛到全局最优解。误差(平均值/最小值/最大值)。原始注册。 为了测试DAMP在基元配准上的性能并验证其全局收敛性,我们遵循[ 9 ]中的测试设置,使用具有点到点、点到线和点到平面对应关系的随机配准问题,并将DAMP与[ 9 ]中基于半定松弛(标签:SDR)的最先进的可证明的最佳求解器进行比较。特别地,我们在半径为10的场景内随机采样50个点、50条线和50个平面(总共150个基元),在每个基元上随机采样一个点,并通过随机(R,t)变换采样点,然后添加高斯噪声(0,σ2/3)。我们将噪声水平σ从0增加。01至2,并在每个噪声水平下执行1000次蒙特卡罗运行图3绘制了DAMP和SDR的旋转估计误差和运行时间的箱形图(由SeDuMi[48]用CVX接口[24]求解的 我们观察到(i)DAMP总是返回与SDR相同的解,其被证明是全局最优解(补充材料绘制SDR的相对对偶间隙总是零);(ii)DAMP比SDR快约10倍,尽管在Matlab中使用for循环来实现。翻译错误看起来与旋转错误相似,如补充材料所示该实验表明,相同的全局收敛定理11很可能在具有线和平面对应的一般基元配准的情况下成立事实上,补充材料也执行相同的一套实验使用机器人原始模型图。图1(b)中,球体、圆柱体和圆锥体,表明DAMP也总是收敛到准确的(最可能最优的)姿态估计(注意,我们不能声称全局最优,因为在这种情况下,没有保证全局最优的求解器,例如SDR [9],以验证DAMP)。的旋转(eR)和平移(et)估计误差DAMP和SVDw.r.t.地面实况以及101100在DAMP和SVD估计之间(eR和e¯t),低于1000100蒙特卡洛跑。统计结果表明:(i)DAMP总是收敛于全局最优解(e¯R,e¯t是nu-);十比一十比一(ii)DAMP返回准确的姿态估计。平均而言,DAMP收敛到最佳平衡点10-20.010.10.5 1 2噪声水平10-20.010.10.5 1 2噪声水平在27次迭代(s<10- 6)中,并且在6次中运行。3毫秒。虽然DAMP在3D中比SVD慢,但它开辟了一个新的当SVD变得昂贵时,通过使用几何代数[18]模拟刚体动力学[8]来执行高维点云配准的方法我们还使用Bunny数据集进行点云配准,并且DAMP总是返回正确的解决方案,如图所示。第1(a)段。图3:DAMP的旋转误差和运行时间比较与SDR[9]在随机原始配准与增加的噪声水平。DAMP总是收敛到全局最优解,同时速度快10倍。类别登记。我们使用PASCAL3D+数据集[51]中的三个类别,飞机,汽车和椅子来测试DAMP的类别注册。特别是,如果有一份SDR潮湿SDR潮湿旋转误差[度]运行时间[s]5934YB 2YNXKk=1- 你好ck Bk,其中ck≥0,Kk=1 ck= 1。 在这之后我们类别中的K个实例,其中每个实例具有N个语义关键点KR3<$N,k= 1,. ..,K.我们首先将K个实例的类别模型构建成N个SUE(参见补充材料),并如问题(1)中那样使用它。然后,我们通过遵循行为P形模型[60,55]随机生成该类别P ory的未知实例,即S=S X更有挑战性的DAMP收敛。我们还将DAMP应用于通过使用SPEED数据集[45]的神经网络[12]第1段(d)分段。电话:+86-510 - 88888888传真:+86-510 - 88888888EscapeFalse True False True False True成功率(%)10010099. 8 100 100100应用随机变换(R,t)以获得在问题(1)中。 我们有N= 8,K= 8代表飞机对于汽车,N= 12,K= 9;对于座椅,N= 10,K= 8。对于每个类别,我们执行1000次Monte Carlo运行和图。4总结了旋转和平移估计误差。我们可以看到,DAMP为每个类别的所有1000次Monte Carlo运行返回准确的旋转和平移估计 由于一个全局最优的求解器是不可用的情况下注册的点云的一组椭球,我们不能要求的DAMP的全局收敛,虽然结果高度建议的全局收敛。注册椅子类别的示例如图所示。第1段(c)分段。表2:DAMP对绝对姿态估计EscapeMinimum标志设置为True和False。形状 *DAMP(逃逸)DAMP(无逃逸)100 101 102旋转误差[度]图5:DAMP的旋转估计误差(有和没有EscapeMinimum)和FG3DCar上的形状s[34]。APE类别。 我们在FG3DCar上测试DAMP[34]102101100十比一飞机轿厢椅子类别100十比一10-210- 3飞机轿厢椅子类别类别APE,每个包含300张汽车图像其中N= 256个2D界标检测。 DAMP通过对准SUE的类别模型来执行姿态估计(参见图10)。图1(e))到该组方位矢量。图5将DAMP的旋转估计误差与Shape[55]进行了比较,Shape [55]是一种用于从2D地标进行关节形 状 和 姿 势 估 计 的 最 佳 我 们 可 以 看 到 , 没 有EscapeMinimum的DAMP在6次失败图4:使用PASCAL3D+数据集的飞机、汽车和椅子类别进行类别配准时DAMP的旋转和平移估计误差[51]。4.2. 2D-3D:逃逸局部最小值绝对姿态估计。我们遵循[30]中的协议进行绝对姿态估计。我们首先在相机帧内的[2,2][2,2][4,8]框内生成N个地面实况3D点,然后将3D点投影到图像平面上并添加随机高斯噪声(0,0.01212)到2D投影。然后从2D投影形成N个方位向量,以作为问题(1)中的集合。我们将随机(R,t)应用于地面实况3D点,以将它们转换为世界帧,如问题(1)中的我们应用DAMP来解决N = 50,100,200的这个问题的1000次蒙特卡罗运行,其中EscapeMinimum=False和EscapeMinimum=True(Tmax= 5)。表2示出了DAMP的成功率,其中我们说如果旋转误差低于5〇并且平移误差低于0,则姿态估计是成功的。五、可以看出,(i)即使没有EscapeMinimum方案,DAMP也已经具有非常高的成功率,并且当N= 100时它仅失败两次;(ii)利用EscapeMinimum方案,DAMP实现100%的成功率。该实验表明,方位矢量的特殊配置(即,它们形成指向照相机中心的这300个图像,但是具有EscapeMinimum的DAMP在所有300个图像上都成功,并且返回类似于Shapes的旋转估计(注意,差异是由于Shapes使用弱透视相机模型)。我们注意到,这对于DAMP来说是一个具有挑战性的案例,因为它需要超过1000次迭代来收敛,平均运行时间为20秒。然而,DAMP仍然比Shapes更快(大约1分钟的运行时间),我们相信通过使用并行化[28,2]有很大的加速空间。5. 结论我们提出了DAMP,第一个通用的元算法,通过模拟刚体动力学来解决五个姿态估计问题。我们展示了令人惊讶的DAMP的全局收敛性:它总是在给定3D-3D对应关系的情况下收敛,并且在给定2D-3D对应关系的情况下有效地逃避次优解证明了点云配准的全局未来的工作可以完成(i)将全局收敛扩展到一般的原语配准;(ii)探索GPU并行化[2]以实现快速实现;(iii)将DAMP一般化到高维配准,以用于诸如无监督语言翻译[14,4]等几何代数(GA)[18]可以描述任何维度的刚体动力学,但高维GA中仍然存在计算挑战,值得进一步研究。旋转误差[度]转换误差[m]5935引用[1] Sérgio Agostinho , João Gomes , and Alessio Del Bue.Cvx-PnPL:从点和线对应的绝对姿态估计问题的统一凸解。arXiv预印本arXiv:1907.10545,2019。3[2] Sk Aziz Ali , Kerem Kahraman , Christian Theobalt ,Didier Stricker,and Vladislav Golyanik.基于常微分方程的刚体点集配准的快速重力法。arXiv预印本arXiv:2009.14005,2020。8[3] Pasquale Antonante,Vasileios Tzoumas,Heng Yang,and Luca Carlone.离群稳健估计:硬度,最小调整算法和应用。arXiv预打印arXiv:2007.15109,2020. 2[4] Mikel Artetxe Gorka Labaka和Eneko Agirre。一种用于词嵌入的完全无监督跨语言映射的鲁棒自学习方法。在计算语言学协会第56届年会的会议记录(第1卷:长文),2018年。8[5] K.S. Arun,T.S. Huang和S. D.布洛斯坦两个三维点集的最小二乘拟合 IEEE Trans. 模式分析中国机械工业协会。,9(5):698-700,sept. 1987. 3[6] 大卫·巴拉夫。基于物理的建模简介:刚体模拟i-无约束刚体动力学。SIGGRAPH课程笔记,82,1997。5[7] Besl和N. D.麦凯一种三维形状配准方法。IEEE传输模式分析机器内部,14(2),1992中所述。2[8] 马克·腾·博施。N维刚体动力学。ACM Transactions onGraphics(TOG),39(4):55-1,2
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