生物化学随机π演算中多反应物反应建模的特性和实例分析

理论计算机科学电子笔记171（2007）55-67www.elsevier.com/locate/entcs生物学定量模型汇刊Federica Ciocchettaa，1和Corrado Priamib，2a特伦托大学信息和通信学院意大利特伦托b特伦托大学信息和通信学院微软研究院-特伦托大学计算与系统生物学中心意大利摘要在这项工作中，随机π演算的生物事务的扩展这允许在给出定量信息时将多反应物多产物反应建模为原子作用首先定义了事务的语法和语义，然后讨论了事务的一些性质最后给出了一些实例。关键词：系统生物学，随机π演算，生物事务1介绍系统生物学是一个新的研究领域，旨在从系统层面理解生物系统[14]。在过去的几年中，作为对复杂生物系统动力学建模需求的响应，过程演算在这一研究领域有一些成功的应用[17，7，11，18]。在这个领域中最常用的进程代数之一是π-演算[16]，这是一种最初为指定并发计算系统而开发的形式语言。[17]中描述的生物化学随机π演算已被应用于表示和分析各种生物模型[10，3，19]。生物系统规范的一个关键点是具有两个以上反应物的反应的转化，因为反应在π演算中被建模为两个过程之间的成对通信。两种以上反应物的反应在自然界中很少见，但经常使用第1fedecioc@dit.unitn.it2priami@dit.unitn.it1571-0661 © 2007 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2007.05.00756F. 乔凯塔角Priami/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171（2007）552作为复杂现象的抽象处理这些反应的一种常用方法是将它们分解为一系列两反应物反应。在这种方法之后，出现了一些问题首先，反应物是可能的，并且存在n！分解反应的方法（其中n是反应物的数量）。此外，可能发生的是，在中间复合物形成后，进一步需要的反应物错过，导致死锁。关于定量模型的另一个关键方面是，只有一个速率与反应相关，并且应该从中导出每个基元反应的速率。这里考虑一种不同的方法。遵循[9]中的思想，引入生物事务来模拟复杂反应。一般来说，事务是分布式系统的一系列计算步骤，必须像单个原子操作一样执行。最近，已经有一些尝试通过使用进程代数来正式建模事务[5，15，4]。在[5]中提出了πt-演算：它是异步π-演算的一个扩展版本，用于处理长时间事务和进程中断得到满足。异步π演算的另一个扩展，称为web-π，在[15]中介绍。CSP是在[4]中采用的进程代数，用于对具有跟踪的长时间运行的事务进行建模。在所有这些作品中，只考虑了质量方面。这项工作的目的是扩展[17]中提出的方法，以定义具有生物事务的随机π演算的变体。在这项工作中提出的生物反作用满足一些简单的性质，适合模拟复杂的反应。例如，在事务启动后，它将隔离执行并成功结束。此外，只有在事务结束时才能看到结果。在标准微积分中，只考虑最多两个反应物的简单反应，如[13]中所提出的。由于交易涉及两个以上的反应物，因此需要Gillespie算法的扩展版本其他形式允许表示多反应物多产物反应[12，1]。在[12]中，引入了一种称为κ-演算的核心建模语言。 络合规则允许表示涉及几种反应物的反应。此外，还给出了该演算在异步π演算中的编码.然而，这种演算仅仅是对模型的定性描述。在文献[1]中，我们使用了一个随机的多集重写（SMSR）模型来模拟代谢途径.同样在这种情况下，至少在定性情况下，可以在给定的过程代数中对演算进行编码[2]。在建议的工作中，我们决定直接丰富标准的随机π演算，而不考虑其他中间语言。本文的其余部分组织如下。下一节介绍calculus。之后，在第3节中讨论了一些性质，然后在第4节中描述了两个例子。最后一节报告了一些最后的评论。F. 乔凯塔角Priami/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171（2007）5557Σ2具有生物交易的随机π-演算在本节中，我们报告了具有生物逻辑事务的π2.1总体思路我们遵循[17]中提出的方法，建立在Gillespie [13]的基础上。根据Gillespie，反应的实际速率或速度R是基础速率rb的乘积（即，取决于反应的经验常数）乘以给定状态下可用的反应物的可能组合的数目系统的动态演化基于竞争条件：在一个状态下启用的所有不同动作都“标准”生物化学随机π演算只考虑至多两个反应物的反应，因为反应由两个由于交易代表两个以上的反应物的反应，一个扩展版本的Gillespie方法是必要的（如[8]中提出的）。此外，由于复杂反应的速度是由唯一的速率描述的，该速率与事务的起始前缀相关联，而∞（即关联动作是立即的）被分配给与事务相关的过程中的所有其他前缀。反应的实际速率取决于起始前缀中的速率以及事务中使用的所有其他过程2.2语法动作前缀π和过程P在具有生物事务的随机π-演算中由以下语法定义：π：：=（x（z），r）|（xz，r）|（start（t），r）[P]|（end（t），r）MP：：=πi.Pi|νyP|P|P|A（y）|t[P]i=1其中，我们假设信道名称N的可数无限集合（由小写字母x，y，z，.）以及事务名称T的可计数集合（由小写字母t、其中T N=。由上述文法生成的过程不同于随机π演算在前缀（start（t），r）[P]，（end（t），r）和过程t[P]中的过程。所有其他过程都具有与标准π-演算相同的含义[16，20]。至于前缀，在[17]之后，每个前缀都以比率r为特征，表示指数分布的单个参数，该参数表征与前缀π对应的活动的随机行为。比率r是非负实数或∞。前缀start（t）[P]用于表示名称为t的事务的开始。方括号内的过程P表示一个外部过程，直到反应开始所需的结构同样，前缀end（t）表示事务t成功结束对于进程，请注意，58F. 乔凯塔角Priami/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171（2007）55˜如果P1是P2的α-逆，则P1≠P2A（y）P{y/x}ifA（x）：：=P（P/C，|，nil）和（P/n，+，nil）是交换幺半群<$z<$w P <$v w <$z P，<$z nil <$nil，<$y（P1|P2）P1|如果y/∈ fn（P1），则ν yP 2（start（t），r）[P].P<$（start（t），r）[P].P，条件是P<$P和P<$P{/t}JJ JJJJ0 10 101不J01t[P]tJ[P]，条件是PP{/t}121 2不表1结构一致性定律。定义itinA（yi n）（其中yint i n不等于y1，y2，. ，yn）是在再现应用的茶中的一种类似于[17]的方法。常数项配备有唯一的定义方程A（y）：：=P，其中P的前一个参数是y的子项。将m= 0放在求和中得到零概率求和应该是头标准形式3。注意，头正规过程的标准定义必须扩展到所有可能的前缀，因为除了输入和输出之外，还有其他前缀。头部正常形式的选择是出于生物学考虑，因为总和中的每个通道代表分子中的不同基序/位点。值得注意的是，与[17]不同，这里不认为它是描述同二聚反应的名称的子集（即，两种反应物之间的反应）。这一点在给出约化关系时会得到更好的解释进程t[P]表示由内部进程P描述的名为t的事务。事务外部的其他可能进程称为外部进程流程.2.3语义一种操作归约语义，它既利用了结构一致性，并给出了一个归约关系结构一致性（用表示）是满足表1中所列定律的最小关系。除了标准律之外，还有交易和启动行为的一致性律。为了更好地表示语义规则，引入了一个派生运算符多进程n<$P，其中n∈N是进程P的重数，表示与P全等的n个进程的平行合成标准形式的定义如下：n定义2.1过程P是标准形式的，如果P<$v x（ni<$Pi），其中i=1• Pi不Pji/=j3一 个过程P是扩展头正规型的，如果它是nil或P是Xmi=1πi.Pi和下列条件保持，卡普里j：（1）如果πi和πj是输入或输出，则nsbj（πi）sbj（πj），（2）ifπi=（start（ti），r）[Pi]anddπj=（starrt（tj），r）[Pj]，则nPi不等于Pj且ti/=tj，（3）如果πi=en d（ti）且ndπj=en d（tj），则ni/=tj.sbj（πi）表示通道的名称，而not_i表示“非结构全等”。F. 乔凯塔角Priami/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171（2007）5559Σ˜我1I1M• Pit[Q]或Piπj.Qj，其中m ≥ 1，i = 1，.， n.j=1n在上面的定义中，νx保持νx1νx2.νxn，Qi是平行合成i=1n个进程的，而不是n个进程的，意味着“不是结构一致的”。 特别是在开始前缀中方括号内的进程应该是标准格式。我们要求以下结果，证明了结构归纳过程：命题2.2每个过程P都与一个标准形式结构全等。可以引入一个算子d4，将过程P转化为一个标准形式QS.T. P. 下面给出一些辅助函数和定义。标签必须将一组标签Θ添加到规则中，以便收集定量信息。标签θ是形式为（l，ar）的二元组。第一个组成部分（范围为l，lJ，.）指示操作的类型，属于以下集合：L={t（x），t：start，t：start（x），t：end}其中x∈ N，t∈ T。第一个标签表示两个进程之间沿着通道x的事务外部的通信，而其他标签则表示涉及名称为t的事务的操作。它们是在事务t内沿着x的两个进程之间的通信，即t的开始和结束。第二个分量是表示关联跃迁的实际速率的实数。 这种标签明确地给出了转换的速度。在除了这些标签之外，在约简规则中还使用了另一种标签<$∈ΘJ它们被定义为形式为（l，r，nl）的3元组第一个组成部分的定义如上所述第二个元素是与动作相关联的基础率最后，元素nl是一个列表，其元素是对（ni，κi）。组分κi收集反应中给定反应物的多重性（化学计量系数），ni是系统中此类反应物的数量标签“数据”包含计算实际费率的所有信息。事实上，给定nl，所有反应物的可能组合都可以通过使用函数4PdQ定义如下：（1）νxP1|P2dnil=P2dvxn（1oP1），其中P1=t[P0]或P1=Xsi=1πJ.Qs，（2）νxπP1|P2dνyYni=1nioQi=ifjs. t. νx<$P1<$νx<$Qj，nP2dνz<$Yni=1nioQi，其中hnj=（nj+1）和ndni=niiYn2019 -02 - 2200：00：0000：00XsnioQi|1oPJ）whereP1πJ.Pi或P1t[P0]和PjP1（3）i=1i=1nildQ=QIt表示Pdoe不连续。该名称的zi包括ydxJ，其中xJ可能来自于xafteropportuneconver onsovp oros ss es s。60F. 乔凯塔角Priami/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171（2007）55. Σ0 1 2n 1 2n˜Σ我我i=1i=1h（nl），从列表nl到N：nnh（nl）=iκi=1其中n≥1是列表的长度。 实际速率ar计算为ar=rb×h（nl），其中rb是反应的基础速率。我们写θ[i]来从标签θ中选择分量i，其中i∈[1，2]。同样的，对于？转换位置的确定性P0−→σPni的旋转确定了转换位置P−θ→1P−θ→2P的确定性。−θ→nP，其中σ=θθ. θ。在x和输出x功能的扩展这两个辅助功能计数re-counting的输入和输出的数量在通道x使能ina过程。在[17]中，Inx的定义被扩展为：Inx（t[P]）=Inx（P）Inx（n<$P）=n×Inx（P）在x（start（t）[P0]. （P1））=Inx（end（t）.P1）= 0Outx的定义是用Outx代替Inx。函数来计数进程（计数T）。在P× P →N中定义了辅助函数countT，引入它来计算过程Q中求和P直到结构同余的实例数。M给定一个过程Pv xπk.Pk函数countTs定义为：k=1countT（P，nil） =countT（P，νy（t[R]））=0S st（P，v y）=T（P，vy）=T（P，vy）= T（P，v y）= T（P，v y）. Qi））=mink{f（νx（πk.Pk），νy（πJ. （i））}函数T（P，νy）（Q1|Q2））=countT（P，νy（Q1））+countT（P，νy（Q2））其中，如果R1<$R2，则f（R1，R2）= 1，否则为为了简单起见，在第二个过程中不考虑运算符。事实上，它可以通过使用其在操作符方面的定义来代替|.函数countend（t）用于计算给定进程中end（t）前缀的数量。它的定义是在类似于Inx和Outx的过程上归纳定义的。函数actT这个函数给出了在给定进程中活动的事务名的集合。其定义如[6]：actT（P）={t|t[Q]是P的一个子项}在这项工作中，考虑简单的交易。假设在开始之后，事务以成功结束，并且永远不会发生错误。这使我们能够避免定义中止动作、中止公理和补偿机制。为了使这些概念形式化，引入了定义明确的内部过程的定义：我F. 乔凯塔角Priami/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171（2007）556111我Σ定义2.3一个内部进程P0是定义良好的，如果t[P0]总是简化为最终进程Pfin，并且只包含一个可以结束事务的结束前缀添加了只有一个结束事务的结束前缀的假设，以简化语义并具有生物学意义。约简关系是满足表2中给出的规则和公理的过程上的最小关系。具有随机变量的随机π-代数方程的标号转移系统定义为LTST=（P，Θ，→<$−），其中u是有限的使用转换位置关系−→ΔP×ΘJ× P来定义转换位置关系−ΔP ×Θ ×P。”[17]这句话的意思是：它描述了双分子反应（即两个不同的分子相互作用）。在输入和输出中使用相同的速率。 与[17]不同的是，这里没有必要考虑一个特定的公理来描述同二聚反应。这个公理的目的是描述两个相同分子的反应，通过使用两个过程之间的通信，而不是头部正常形式，并以所需的方式计算过程的数量。在这里，我们通过使用transactions指定同源二聚反应例如，反应2A→B可以翻译为：TR=（start（t），rb）[2 <$（x1（），∞）. nil+（x2（），∞）. 无）].PJPJ=（x1∞，∞）. （x2∞，∞）。end（t）。（P B）|（TR）PA=（x1（），∞）. nil+（x2（），∞）. 零+Q公理tstart描述了事务t的开始。 内部过程P1用标准形表示，求和用标准形表示。参数κi是第i类反应物的化学计量，过程Pij代表描述该反应物的过程。一个事务描述了一个反应物为N=nκi的反应，其中n是不同的。对于包含在标签中的定量信息，rb是反应的基础速率，nl包含给定种类的过程的数量。实际速率可以通过使用标签信息作为rb×h（nl）来计算。只有当系统中存在代表反应物的过程P2在这一点上，一个新的事务被定义，它有一个新的名称和一个用P0和过程Pij描述的内部过程。值得注意的是，描述开始的进程是一种必要的虚拟进程，以阻止所涉及的进程公理tend描述了事务的结束。在速率为∞的事务中，只有一个端前缀被启用。标准规则考虑了四种不同的行为。 如果l=（x）且l=（t：start），增加假设ActT（Q）= 0以确保在过程Q中不存在这个条件保证了事务优先于外部事务，以便满足某些期望的属性（参见第3节）。每个子案例描述如下。(i) 如果l=π（x），则描述了两个不同过程之间的通信，并且我们按照标准随机π演算进行。(ii) 如果l=t：t（x）事务t中两个进程之间的通信62F. 乔凯塔角Priami/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171（2007）55J0我'（n）（x（w），r）.P| (x⟨z⟩,r ).P ... （n（x），rb，[（1，1），（1，1）]）P{z/w}|P...b1b2−−−−−−−−−−−−−−−−−−→12（tstart）P| （start（t）[P]，r）.P + P'（t：start，rb，[（k1，k1），. （κn，κn）]）tJ[P{tJ}|PJ]20b1YnXκi3−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→1 /t0当P0vxi=1（κioj=1πij.Pij）为标准形式，YNP2νy（Pk+Qk），其中P0νyk=1YNk=1JPk，其中N=Xnκii=1Yn和PjvxYκi皮，这是新鲜的i=1 j=1（t：end，∞，[（1， 1）]）（tend）t[（en d（t），rb）.P1|P2]−→P1provid，其中t为连续tend（t）（P2） =0（l，rb，nl）'P−→ P（面值）（l，rb，nl）“的P|Q−→P|Q情形1 = n（x）：n1=[（n1，1），（n2，1）]，n1J=[（n1+Inx（Q），1），（n2+Outx（Q），1）]，假设行为T（Q）=情况l=（t：n（x））：nlJ=nl情况1 =（t：开始）：n1 =[（n1，k1），...， （nn，kn）]和nlJ=[（nJ，k1），.，（nJ，κn）]1NXκi其中hnJ=ni+countt（Ri，Q），其中Ri≠vx≠0情况l=（t：end（t））：nlJ=nlπij.Pij，条件是作用T（Q）=πj=1（n（x），rb，nl）P−→ P（tred）假设rb=∞（t：n（x），rb，nl）Jt[P]（l，rb，nl）“的PPJPJ（l，rb，（n1，n2））PJPPJP−→ P1 11−−−−−−−−−→222（res）（struct）（l，rb，nl）'νwP−→ν wP（l，rb，（n1，n2））P1−→P2（l，rb，nl）'P−→ P（finn）（l，rb×h（nl））'P−−→ P表2具有生物交易的随机π-演算约化关系的公理和规则给出了事务外部的输入/输出前缀不被考虑，因为当事务存在时，外部操作不被启用。速率应该是∞。(iii) 如果l=（t：start），则描述了事务的开始。有必要计算与反应中所涉及的过程一致的过程，并为此目的使用函数countT与Prefix相关的速率与整个反应的速率一致。−−→t[P]JF. 乔凯塔角Priami/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171（2007）5563(iv) 如果l=（t：end），则给出事务的结束。只有一个结束动作应该在事务内部，外部的不考虑，所以n1=n2= 1。此外，速率总是∞。规则tred说，如果沿着通道x的两个进程之间的通信是可能的，那么如果这两个进程在事务内部，则相同的通信也是可能的。速率应该是∞。规则res和struct扩展了标准规则，使其具有处理事务的可能性。标签中考虑了一种通用的操作最后一条规则描述了系统在每一步最终如何减少。前提在其标号θ=（l，rb，nl）中收集定量信息。结论描述了相同的关系，但其标签明确给出了过渡的速度。这是由前提的标签中给出的信息计算的3一些性质生物事务是简单的事务，它被引入来将复杂的反应建模为原子动作。它们必须满足一些适合模拟生物反应的性质例如，在开始之后，它们在有限数量的步骤中成功结束，并返回产品过程。此外，希望事务与其他进程隔离执行。这些概念可以根据原子性和可串行性的性质来形式化。前者可以用“全有或全无”来表达：交易成功结束或什么也不做。可串行性是指事务是并行执行还是一个接一个地执行。事实上，这些属性是证明交易正确性报道了有关这些性质的一些结果首先，在[6]之后，序列化转换过程被定义为：定义3. [1]当hactT（P） =actT（PJ）=σPj时，序列化i i i= t：σ Pj（x）或ii=（t：start）意味着i= 1，. （n−1），其中li=θi[1]。关于转移序列的性质在以下命题中描述命题3.2给定一个过程P，使得actt（P）=1，并给定transac-t i ons e eP−θ→1P1−θ→2P2.−θ→nPnwithθ1[1]=st rt（t）anddθn[1]=end（t）则actt（Pi）={t}fori= 1，. （n− 1）和actt（Pn）=这个结果直接来自于语义，特别是规则par的定义。接下来的两个命题要求事务的原子性和可串行化性：命题3.3给定一个过程P0= t [P]，且P定义良好，则总存在一个满足t[P0]的有限个作用方程σ u c h|S−→σPn|S，其中S是系统的最后部分，Pn是交易的最终过程。 在P是唯一良好定义的情况下，存在序列σ，并且序列σ是唯一的。64F. 乔凯塔角Priami/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171（2007）55支持3. 4给定P−→σPj，其中actT（P）=actT（PJ）=σ，则它是级数的。当事务启动时，仅启用内部操作，并且以序列化方式执行。规则par中的条件ActT（Q）=1是保证上述性质如果一个不同的交易系统被定义为前一个，但规则没有条件ActT（Q）=A，原子性并不总是得到保证。实际上，在这种情况下，即使在事务已经开始之后，两个标准过程之间的动作也是可能的，因此外部动作可以交错事务动作。因此，可能会发生这样的情况，即事务开始但不以有限数量的步骤结束4生物反应的例子在这一节中，我们将介绍两个简单的例子，说明如何将事务应用于模型反应。4.1三反应物反应R1+ R2+ R3→P在随机π演算中，用系统S = PT描述了具有三种不同反应物和一种产物的一般反应|P1|P2|P3，其中：PT=（start（t），rb）[1 <$P1| 1名P2| 1个P3].P0P0=（x1∞，∞）. （x12μ m，∞）。 （x123μ m，∞）。 end（t）。（P|PT）P1=（x1（），∞）. 无P2=（x12（），∞）. nilP3=（x123（），∞）. 无过程PT描述了事务，Pi是表示反应物Ri（i = 1，2，3）的过程，PPr是表示产物P的过程。 在这种情况下，n=N= 3且κ1=κ2=κ3= 1。速率rb表示反应的基础速率并且与事务的开始相关联。系统S的一种可能的简化是：（tJ：start，rb×h（nlJ））J JS−→t[（x1∞）. 均p0|（x1（），∞）. 无|P2|P3]P1（tJ：comm（x1），∞×1）JJJ−−→t[（x12Ω，∞）. 均p0|无|（x12（），∞）。无|P3]P2（tJ：comm（x12），∞×1）J J−→t[（x123∞，∞）. end（t）. （PP r|PT）|无|无|P3]P3（tJ：comm（x123），∞×1）J J−−→t[end（t）. （P|PT）|无|无|无] S4（tJ：end，∞×1）−−→PPr|PT|S| 无|无压力|PT|SJ|SJ第五章其中PJ和PJJ保持P0的剩余部分。在第一个标签中，nlJ保持为0 0[(1+countT（P1，Q），1），（1+countT（P2，Q），1），（1+countT（P3，Q），1）]，其中Q=P1|P2|P3.作为推导的最后步骤应用的规则fin的前提分别是：（tJ：start，rb，nlJ）（tJ：comm（x1），∞，[（1，1），（1，1）]）（tJ：comm（x12），∞，[（1，1），（1，1）]）S−→S1，S1−→S2，S2−→S3，（tJ：comm（x123），∞，[（1，1），（1，1）]）（tJ：end，∞，[（1，1）]）S3−−→ S4，S4−−→ S5JF. 乔凯塔角Priami/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171（2007）55651121124.2销售商模型振荡器模型是一个著名的振荡化学反应模型[21]。模型的随机模拟见[13]。组成模型的反应如下：X−r→1 X+Y Y−r→2YY−r→3Z2Y+Y−r→43年1次其中X、Z、Y1和Y2代表所涉及的物质，r1、r2、r3、r4是相应反应的基础速率。该模型由系统S = PT表示|PY1|PY1|PX|PY2|PE，其中我们有：PT=（start（t），r4）[2 <$（P1+ P2）|1个PY2].P0P0=（x6∞，∞）. （x4π，∞）。 （x5μ m，∞）。（end（t），∞）。（PY1）|PY1 |PY1|PT）PX=（x1≠ 0，r1）. （PX+ PY1）PE=（x1（），r1）. PE+（x2（），r2）.PE+（x3（），r3）. PEPY1 =（x2π，r2）.PY2+（x3π，r3）. PZ+ P1+ P2P1=（x4（），∞）. nil P2=（x5（），∞）. nil PY2=（x6（），∞）. 无过程PT描述事务，PE是引入来模拟单分子反应的虚拟过程，PX、PY1、PY2和PZ表示事务中涉及它的过程交易的特征是N= 3，n= 2，κ1= 2，κ2= 1。S的可能约简由下式给出：（tJ：start，r4×h（nlJ））J JS−→t[（x6，∞）. 均p0|（x6（），∞）. 无|P1|P2]P1（tJ：comm（x6），∞×1）JJJ−−→t[（x4∞，∞）.P0|无|（x4（），∞）. 无|P2] P2（tJ：comm（x4），∞×1）JJ−−− −−− −−− − − − − −→t[（x5，∞）.end（t）. （PY1）|PY1|PY1|PT）|无|（x5（），∞）. 无|无]S3（tJ：comm（x5），∞×1）J J−→t[end（t）. （PY1）|PY1|PY1|PT）|无|无|无]S4（tJ：end，∞×1）−−→（PY1|PY1|PY1|PT）1000其中nlJ=[（nJ，2），（nJ，1）]，nJ=countT（P1+P2，Q）+1，nJ=countT（PY，Q）+11 2 1 22Q = PX|PY1|PY1|PY2|PE. 作为最后步骤应用的规则的前提推导分别为：（tJ：start，r4，nlJ）（tJ：comm（x6），∞，[（1，1），（1，1）]）（tJ：comm（x4），∞，[（1，1），（1，1）]）S−→S1，S1−→S2，S2−→S3（tJ：comm（x5），∞，[（1，1），（1，1）]）（tJ：end，∞，（1，1））S3−→ S4，S4−−→ S55结论我们丰富了随机π演算与生物交易。 这使得我们能够将多反应物多产物反应建模为原子作用，避免了使用具有二进制通信的随机π演算时遇到的一些问题。其他形式主义[12，1]允许这些复杂的反应66F. 乔凯塔角Priami/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 171（2007）55并且存在将这些语言编码成π-演算或其它过程代数的编码。在这项工作中，我们扩展了随机版本的π演算直接通过添加事务来表示n路同步交互。语义定义中的一个关键点是标准Gillespie方法的扩展，考虑具有两种以上反应物的复杂反应。关键公理是描述事务开始的公理。起始作用的实际速率由基础速率乘以参与反应的所有反应物的可能组合的数目给出。分配给开始动作的基础速率是反应速率。事务中涉及的所有其他操作都是立即操作。为了计算与描述反应物的过程一致的过程的数量，定义了一个函数countT最后，必须注意的是，为了考虑交易，标准随机π引用[1] Bistarelli ， S. ， I. 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