拟度量空间和G-度量空间的公共不动点定理及适定性概念研究

2f gJournalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，356埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章拟度量空间到G-度量空间的Hassen Aydia，*，Nurcan Bilgilib，Erdal Karapınarca达曼大学数学系，朱拜勒教育学院，P.O. 12020，Industrial Jubail 31961，沙特阿拉伯bGazi University，Department of Mathematics，Institute of Science and Technology，06500 Ankara，TurkeycAtilim大学数学系，06836Incek，安卡拉，土耳其接收日期：2014年2月15日;修订日期：2014年4月15日;接受日期：2014年6月2014年7月17日在线发布摘要本文给出了拟度量空间上涉及隐压缩的公共不动点定理，并基于Jleli和Samet（2012）的最新文章，证明了G-度量空间上涉及隐压缩的公共不动点定理可以直接由拟度量空间上的公共不动点定理导出。还研究了公共不动点问题的适定性概念2000年数学潜规则分类：47 H10; 54 H25; 46 J10？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 引言和附录众所周知，从度量空间到拟度量空间的转换对一般理论有直接的影响准度量的定义如下：定义1.1. 设X为非空，设d：X × X！1/20;1/2是满足以下条件的函数*通讯作者。联系电话：+966 5530894964。电 子 邮 件 地 址 ： hmaydi@ud.edu.sa （ H.Aydi ） ，bilgilinurcan@gmail.com（N.Bilgili），erdalkarapinar@yahoo.com ， ekarapinar@atilim.edu.tr （ E.Karapınar）。同行评审由埃及数学学会负责d1dx;y0当且仅当xy，d2 则d称为拟度量，对X;d称为拟度量空间。注1.1.任何度量空间都是拟度量空间，但反之一般不成立。现在，我们给出拟度量空间的收敛性和完备性。定义1.2.设fxng是X中的一个序列，x X是一个拟度量空间.序列xn收敛于x当且仅当limdxn;x limdx;xn 0：1你好！1n！11110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.06.009制作和主办：Elsevier关键词不动点;隐压缩;拟度量空间;G-度量空间拟度量空间到G-度量空间的公共不动点357十一分之二！ ½ 1ÞFG2ð Þ¼ ¼2ð Þ ðÞð Þ ðÞð Þ ðÞ1-c-dðÞ ¼1¼¼2000年2月20日。þ2016年2月1n1 对于每个t2R，wn<$t <$1，其中wn是第n个16þ6定义1.3.设X;d是一个拟度量空间，fxng是X中的一个序列.我们说fxng是左柯西的当且仅当A2：存在一个特定的函数h1，使得对于所有u;vP0;Fu;v;v;u;uv;06 0意味着u6h1v，对于每一个e>0，存在一个正整数N^N^0，对于所有nPm>N，d∈xnxm∈。 0; F<$t;t ;0; 0; t; s<$6 0意味着t 6 h2<$s<$。使得对于所有定义1.4.设X;d是一个拟度量空间，fxng是X中的一个序列.我们说fxng是右柯西的当且仅当对于每个e>0，存在正整数N^N，使得对于所有的mPn>N，d∈xn;xm∈e。我们 表示 W是 设置 函数w：0;0;满足：w1定义1.5.设X;d是一个拟度量空间，fxng是X中的一个序列.我们说fxng是柯西的当且仅当对于每个e>0，存在正整数N<$N<$e，使得对于所有m;n> N，d<$xn;xm<$e。注1.2.拟度量空间中的序列xn是柯西当且仅当它是左柯西和右柯西。W.注1.3.很容易看出，如果w W，则对于任何t>0，wtt<我们提出以下定义。定义1.10.设C是所有连续函数的集合Ft;.. . ;t：R6！R使得定义1.6.设X;d是一个拟度量空间。我们说1X;d是左完全的当且仅当X中的每个左柯西序列是收敛的。2X;d是右完全的当且仅当X中的每个右柯西序列是收敛的。3X;d是完备的当且仅当X中的每个柯西序列都是收敛的。下面的定义和结果也需要在续集。定义1.7.设f和g是非空集合X的自映射。如果wfxgx对于某个xx，则x称为f和g的重合点，w称为f和g的重合点。定义1.8.设f和g是非空集合X的自映射。如果f和g在重合点可换，则称之为弱相容映射.F在变量t5中不增加，存在h12W使得对所有u;vP0;Fu;v;v;u;uF3t; s> 0; F<$t; t ;0; 0; t; s<$6 0意味着t 6 h2<$s<$。注意，在定义1.10中，我们没有像定义1.9那样对h1和h2采 用相同的假设，也就是说，我们去掉了一些假设。在[8]中，我们给出以下示例。实施例1.1.F1;...;t6=t1-at2-bt3-ct4-dt5-et6，其中a;b;c;d;eP0;a=b=c= 2d=e 1。<第一章：显而易见。设u; v P 0和Fu; v; v; u v; 0 vu-av-bv-cu-du v 6 0，这意味着u 6 abd v和F2满足h t abdt。1-氯-2-氯-3-氯-4-氯-2-设t;s>0且F=t;t;0; 0;t;s=t-at-dt-es6 0这意味t 6es和100万美元是满足于hs是的。1-ad引理1.1.[1]设f和g是弱相容自映射21-ad非空集合X如果f和g有唯一的重合点w fxgx，那么w是f和g的唯一公共不动点。另一方面，Popa开创并研究了满足隐关系的映射的不动点[2，3]。它导致有趣的已知固定点结果。关注-实施例1.2. F1;... ;t6最大值t1-k最大值ft2;. ;t6g，其中12第一章：显而易见。设u;vP0且Fu;v;v;u;uv;0u-kmaxfu;v;u∈vg≤0。 因此，u6k V和ΔF2满足以下条件：在波帕我不知道。1-k公共固定点和重合点导致各种周围空间，见[4在文献中，有几种类型的隐压缩映射，其中可以导出许多不动点定理的好结果。例如，波帕和帕特里丘[8]以下为定义1.9. [8]设C0是所有连续函数F1;... ;t6：R！ R使得F在变量t5中不增加，11-k设t;s>0且F≤t;t;0; 0;t;s≤t-k maxft;sg≤ 0。如果t>s，则t<$1-k<$60，矛盾。因此，t6s，这意味着t6ks和F3满足h2sks。其他例子可以从[8]中得到。本文给出了拟度量空间上涉及隐压缩的我们还证明了公共不动点问题的适定性。最后，我们证明了G-度量空间上的一些已有的不动点结果是拟度量空间上的主要定理的直接结果.358H. Aydi等人12FGnn101.1n 2mðÞ2 2ð Þ ð Þ ð Þ1¼1101nn-1nn-1n-1n-1nn11110定理2.1. 让X;d被一拟度量空间和6hmm2. 不动点定理在本节中，我们将陈述并证明我们的主要结果。我们首先证明了某些算子的公共不动点的唯一性，如果它存在。引理 2.1. 让 X;d被一拟度量空间和f;g：X;d！X;dFdfx; fy; d gx; gy;d gx; fx; d gy; fy; d gx; fy; d gy; fxFdgxn;gxn1;dgxn-1;gxn;dgxn-1;gxn;dgxn;gxn1;dgxn-1;gxn1;0060：到2011年12月和2012年12月，我们有Fdgxn;gxn1;dgxn-1; gxn;dgxn-1;gxn;dgxn;gxn1;dgxn-1;gxndgxn;gxn1;0060：7通过计算，我们得到：d gxn; gxn16 h1d gxn-1; gxn：8如果我们继续这样下去，6dgx;gx6 hnd gx; gx剂量：109mg0; 8x;y2Xn n n110 1ð2Þ并且F满足性质<$F3 <$。那么f和g最多有一个巧合的点因此，对于m>ndgxn;gxm6dgxn;gxn1dgxn1;gxn2···dgxm-1;gxm6hnhn1· ··hm-1dgx;gx6hn gx;gx证据 我们假设f和g有两个重合u和v（u-v在这种情况下，存在p;q2X，使得1-h10 1ð10Þugp和vgq。然后利用（2），我们得到Fd fp; fq; d gp; gq; d gp; fp; d gq; fq; d gp; fq; d gq; fp60;即Fdgp;gq;dgp;gq;0; 0;dgp;gq;dgq;gp6 0：由于F满足性质F3F，所以d gp; gq6 h2 d gq; gp：3类似地，我们得到d gq;gp6 h2 d gp; gq：4结合（3）和（4），我们利用h2是非减的，且当t>0时h2不等于t0dgp;gq6h2dgq;gp6h2dgp;gqdgp;gq：5<这是一个矛盾。因此，gp1/4 gq。因此ugpgqv.H在下文中，我们证明了在某些隐关系下两个自映射的公共不动点的存在。这意味着d<$gxn;gxm< $ ！ 0as，n;m！1.一、It如下的gxn是右柯西序列同样，通过（6），我们有Fdfx;fx;dgx;gx;dfx;gx;dfx;gx;dfxn;gxn-1;dfxn-1;gxn60;即，Fdgxn1;gxn;d gxn;gxn-1;d gxn;gxn-1;d gxn1;gxn;d gxn1;gxn-1;060：使用F1和d2Fdgxn1;gxn;dgxn;gxn-1;dgxn;gxn-1;dgxn1;gxn;dgxn 1;gxndgxn;gxn-1;060：11通过F2，我们得到dgxn1;gxn6h1dgxn;gxn-1：12如果我们继续这样下去，dgx;gx6hndgx;gx：13因此，对于n>m，dgxn;gxm6dgxn;gxn-1dgxn-1;gxn-2···dgxm1;gxm6小时-6小时-6小时···6小时gxf;g：X;d！满足不等式的11-h11 0ð14ÞFdfx;fy;dgx;gy;dgx;fx;dgy;fy;dgx;fy;dgy;fx60;6对于所有的x;yX，其中FC.如果f X≠g Xg X是X ; d的完备拟度量子空间，则f与g有唯一重合点。此外，如果f和g是弱相容的，则f和g有唯一的公共不动点。证据 设x0是X的任意点，通过使用我们可以选择x12X使得fx0 1/4gx1。如果我们这意味着d<$gxn;gxm< $ ！ 0as，n;m！1.一、 因此fgx ng是一个左柯西序列。因此，fgxng是柯西序列。由于g<$X<$是拟完备的，存在g <$X <$中的点q<$gp使得gxn！q/gp为n！1.一、我们将证明fp/4gp。在（6）中，我们依次Fd fxn-1; fp; d gxn-1; gp; d gxn-1; fxn-1; d gp; fp;继续下去，我们得到xn<$1，使得fxngxn<$1。 然后通过（6）我们有dgxn-1也就是说，;fp;fp;fxn-1 2006年6月0日;Fd fxn-1; fxn; d gxn-1; gxn; d gxn-1; fxn-1; d gxn; fxn;Fdgx;fp;dgx;gp;d;gx;gx;dgp;fp;dgx;fp;d gx; fx2006年6月0日;n n-1n-1nn-1n-1n也就是说，n n-1dgp;gxn60：拟度量空间到G-度量空间的公共不动点359¼¼ðÞ你好！ ð ÞðÞ2ΣΣð Þn！1ð Þ¼你好！1nnnn让n趋于无穷，我们有Fdgp;fp;0; 0;dgp;fp;dgp;fp;06 0：我们还需要以下定义。定义3.2.一个功能F：R6！ R具有性质FF，如果通过F2，可以得出dgp;fp0，这意味着gpfp。þ因此，WFPgp是f和g的重合点。通过使用引理2.1，w是唯一的重合点。此外，由于f和g是弱相容的，所以根据引理1.1，w是f和g的唯一公共不动点。H在续集中，我们提出下列推论作为定理2.1的结果。推论2.1。设X;d是完备的拟度量空间。 假设Fdfx;fy;dx;y;dx;fx;dy;fy;dx;fy;dy;fx60 ð15Þu; v; wP 0且F<$u; v; 0; w; u; v<$0 ≤ 0，则存在p2 <$0; 1且使得u6 pmaxfv;wg.我们引入拟度量空间上公共不动点问题的适定性概念如下。定义3.3. 让X;d被一拟度量空间和f;g：X;dX;d. f和g的公共固定问题 被称为适定，如果(1) f和g有唯一的公共不动点，(2) 对于任意序列fxng<$X，limdxn;fxn limdfxn;xn0和对所有的x成立，其中F2C。f是唯一的，你好！1你好！1ð17Þ点limdxn;gxn;limdgxn;xn;你好！1n！1证据如果我们选择g作为恒等函数，那么根据定理2.1，很容易证明f有唯一的不动点。H下面的推论是C'iric'收缩类型[9]。推论2.2。 让 X;d被 一 拟度量 空间 和 f; g：X; d！令人满意dfx;fy6kma xfdg x;g y;dg x;fx;dg y;fy;dg x;fy; 第二次世界大战对于所有的x;y2X，其中k20;1.如果f<$X<$$>g <$X <$$>和g<$X <$<$是<$X ; d <$的完备拟度量子空间，则f和g有那就林敏！1dx;xnlimn！1d×n;x× ¼0。我们的第二个主要结果是定理3.1. 设X;d是一个拟度量空间。假设f;g：X;d！满足定理2.1的假设，且F具有性质Fp。然 后 ，f 的公共不动点问题G是好的。证据根据定理2.1，f和g有唯一的公共不动点x。设fxng是一个在<$X;d中的序列，使得limdx;fx^ limdfx;x ^0和唯一的巧合此外，如果f和g是弱nn你好！1nn你好！1如果f和g相容，则f和g有唯一的公共不动点。limdx;gx limdgx;x0：18nn你好！1nn你好！1证据 取例1.2中给出的F就足够了，也就是说，通过（6），我们有Ft1;.. . ;t6最 大 值t1-k最大值ft2;. . . ;t6g，其中k2½0;1μ。然后，外汇;d gx;gx;d gx;fx;d gx;fx;d gx;fx我们应用定理2.1。H2ð ðnnÞ卢恩nnn;备注2.1.定理2.1（分别推论2.1）是Berinde和Vetro[10]的定理1（推论1）在拟度量空间上的推广.dfx;gxn60;所以Fdx;fxn;dx;gxn;0;dgxn;fxn;dx;fxn;dx;gxn6 0：利用Fp性质，我们有3. 拟度量空间不动点的适定性的概念引起了一些数学家的兴趣，例如见[11我们开始描述井的概念-dx;fxn6pmaxfdx;gxn;dgxn;fxng6pdx;gxndgxn;fxn：那么到2000年，我们得到d x; xn6 d x; fxnd fxn; xn6p d x; gxn d gxn;fxnd fxn; xnð20Þ姿态 在 的 上下文 的 拟度量 空间 在遵循的方式。定义 3.1. 让 X;d被 一 拟度量 空间和f：X;d！[医]甲状旁腺素 一 给定 映射. 的 固定点因此6pdx;xndxn;gxndgxn;xndxn;fxndfxn;xn：p问题f被称为适定，如果(1) f有唯一的不动点x02X，dx;xn61-pdxn;gxndgxn;xndxn;fxn1最新消息：2019年12月21日，(2) 为 任何 序列 fxgX，带limdx;fx ¼1-plimn！1dfxn;x n0 ，则我们有limn！1dxn;x0¼lim n！1dx0;xn^0。在（21）中取极限为n ，我们得到li mn！1dx;xn0.同样，（6）p360H. Aydi等人ðÞ！1ð Þ¼××！ð Þ¼ ð Þ¼ð Þ ¼···ðÞðÞðÞpð Þ ðÞFd fxn; fx; d gxn; gx; d fx; gx; d fxn; gxn;dfxn;gx;dgxn;fx60;22所以Fdfxn;x;dgxn;x;0;dfxn;gxn;dfxn;x;dgxn;x6 0：利用Fp性质，我们有例如 4.2（见 [14]）。让X¼½0;1 mm。 的 功能G：X×X×X！1/20; 1/2，定义为G= x; y; z= x-yj = y-zj = z-xj;对所有的x;y;z2X，是X上的G-度量。在他们最初的论文中，Mustafa和Sims[14]也定义了dfxn;x6pmaxfdgxn;x;dfxn;gxng6pdgxn;xdfxn;gxn：那么到2000年，我们得到d xn; x6 d xn; fxnd fxn;x6dxn;fxnpdgxn;xdfxn;gxnð23Þð24ÞG-度量空间中的基本拓扑概念如下：定义4.3（见[14]）。设X;G是G-度量空间，fx ng是X的点列.我们说fxngG-收敛于x2X，如果Lim G=x;x;x=0;6dxn;fxnpdgxn;xndxn;xdfxn;xnnMn; m！þ1d因此dxn;x61-pdgxn;xndfxn;xndxn;gxn1也就是说，对于任何e>0，存在N2N使得G<$x; xn; xm<$<$$>G <$x; y ; x;x<$，对所有x;y2X。为了更好地理解这个主题，我们给出以下G度量的例子：例4.1（见[14]）。设X是度量空间. 函数G：X×X×X！1/20; 1/2，定义为Gx;y;z;maxfdx;y;dy;z;dz;xg;对所有的x;y;z2X，是X上的G-度量。(1) fxngG-收敛于x，(2) Gx n;x n;x！0为n！ 2001年，(3) Gx n;x;x！0为n！2001年，(4) Gx n;x m;x！0为n;m！2001年。定义4.4（见[14]）。设X;G是G-度量空间.一个序列fx ng称为 G- 柯 西 序 列 ， 如 果 对 任 意 e> 0 ， 存 在 N2N 使 得G<$xn;xm;xl<$0，存在N2N，使得G∈ xn;xm;xm∈e，对所有的m; nP N。定义4.5（见[14]）。称G-度量空间X;G是G-完备的，如果每个G-柯西序列在X; G中G -收敛.注意，任何G-度量空间 X;G 导出一个度量dGX定义为对于所有x;y2X：126，dGx;yGy;x;x此外，X;G是G-完备的当且仅当X;dG是完备的.最近，Jleli和Samet[15]给出了以下定理。定 理 4.1 （ 参 见 [15] ） 。 设 X;G 是 G- 度 量 空 间 。 设 d ：X×X！1/20;1是由dx;yGx;y; y定义的函数。然后(1) d是拟度量空间;(2) fxng <$X G-收敛于x2X当且仅当fxng在<$X中收敛于x;d<$;(3) fxn g <$X是G-Cauchy当且仅当fxn g是Cauchy，X;d;拟度量空间到G-度量空间的公共不动点361ðÞ你好！1ð ðÞ Þ你好！1× ！½1Þ你好！ ð Þ2 2ð Þ ð Þ ð ÞðÞ你好！1ð Þð Þ¼ð Þ2(4) <$X; G <$是G-完全的当且仅当<$X; d <$是完全的。每一个拟度量诱导一个度量，即，如果<$X;d<$是拟度量 空间， 然后 的 功能 d：X X0;定义为dx;y;maxfdx;y;dy;xg27是X上的度量[15]。定 理 4.2 （ 参 见 [15] ） 。 设 X;G 是 G- 度 量 空 间 。 设 d ：X×X！1/20;1是由dx;ymax fGx;y;y;Gy;x;x g定义的函数。然后(1) X是度量空间;(2) fxn g <$XG-收敛于x2X当且仅当 fxn g在<$X中收敛于x;(3) fxn g <$X是G-Cauchy当且仅当fxn g是Cauchy，[医]X;(4) <$X; G <$是G-完全的当且仅当<$X; d是完全的。现在，我们可以给出G-度量空间的两个推论第一个类似于Popa和Patriciu[8]的定理4.4。推论 4.1. 让 [化][化]被一G度量空间和f; g：X;G！ 满足F G fx; fy; fy; G gx; gy;gy; G gx; fx; fx; G gy; fy; fy;Ggx;fy;fy;Ggy;fx;fx60;28对于所有的x;yX，其中FC.若fX<$gX且gX是X ; G的G-完备度量子空间，则f和g有唯一重合点。此外，如果f和g是弱相容的，则f和g有唯一的公共不动点。证据考虑准度量dx;yGx;y;y，x;y2X.我们将公式（28）改写为Fdfx;fy;dgx;gy;dgx;fx;dgy;fy;dgx;fy;dgy;fx60：29根据定理4.1，我们还得到，x; d是完整的。然后由定理推出结果2.1.HG-度量空间上公共不动点问题的适定性概念由Popa和Patriciu[8]引入如下定义4.6. 让X;G被一G-度量空间f;g：X;GX;G. f和g的公共不动点问题被称为适定性，如果(1) f和g有唯一的公共不动点，(2) 对于任意序列fxng，limGxn;fxn;fxn30和limGxn;gxn;gxn=0;31然后limGx;xn;xn ^0：32下面的结果类似于Popa和Patriciu[8]的定理5.5。推论4.2。设X;G是G-度量空间。设映射f;g：<$X;G<$！满足推论4.1的假设。还假设F具有性质Fp。 则f和g的公共不动点问题是适定的。证据 类似地，通过考虑准度量d x;yG x;y;y 对于所有的x，y，X，结果很容易由定理3.1和4.1得出。H确认作者感谢裁判仔细阅读了论文。引用[1] M. 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