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基于能量最小化和模式搜索的多类模型拟合
基于能量最小化和模式搜索的多类模型拟合Barath,Daniel但以理12and Matas,Jiri吉里11捷克共和国2匈牙利布达佩斯MTA SZTAKI机器感知研究实验室抽象。我们提出了一个通用的配方,称为多-X,多类多实例模型拟合-我们扩展了常用的基于α-扩展的技术,在标签空间中进行了新的移动该移动用模型参数域中的对应密度模式替换一组标签,从而实现快速且鲁棒的关键的优化参数,如模式搜索的带宽,在算法中自动设置。考虑到一组离群值可能形成空间相干结构的数据,我们提出了一种基于交叉验证的技术,删除统计上不显著的情况。 Multi-X在不同问题的公开可用数据集上的性能显著优于最新技术水平:多平面和刚性运动检测;运动分割;同时进行平面和柱面拟合;圆和直线拟合。保留字: 多模型拟合,聚类,能量最小化1介绍在多类拟合中,输入数据被解释为源自多个模型类的多个实例的噪声观测的混合,例如2D边缘图中的k条线和l个圆,3D数据中的k个平面和l个圆柱体,来自非刚性场景的对应关系的多个单应性或基本矩阵(见图1)。①的人。鲁棒性是通过考虑分配给离群值类来实现的。图1:多类多实例拟合示例。关于同时平面和圆柱体(第1次)、直线和圆拟合(第2次)、运动(第3次)和平面分割(第4次)的结果。2Barath,Daniel和Matas,Jiri多模型拟合自六十年代初以来一直在研究,Hough变换[1,2]是用于提取单个类的多个实例的第一种流行方法[3用于找到单个实例的广泛使用的方法是RANSAC [7],其改变两个步骤:实例假设的生成及其验证。然而,将RANSAC扩展到多实例情况的成功有限。顺序RANSAC以贪婪的方式一个接一个地检测实例,去除它们的内点[8,9]。在这种方法中,数据点被分配给第一个实例,通常是具有最大支持度的实例,而不是最佳实例。MultiRANSAC [10]形成关于n个实例的复合假设。除了要求先验已知的实例的数量n之外,该方法增加了最小样本的大小,从而增加了必须验证的假设的数量最新的方法[11-15]关注于单类情况:查找同一模型类的多个实例。一组流行的方法[16,11,17-19]采用两步过程:通过类似于RANSAC的实例生成进行初始化,然后使用图标记技术通过能量最小化进行点到实例分配优化[20]。另一组方法使用RHA [21]引入的偏好分析,其基于个体数据点相对于实例的残差分布[12,13,15]。多实例多类情况考虑不一定属于同一类的实例的拟合。这种泛化比单类情况受到的关注要少得多。据我们所知,最后一个重要的贡献是Stricker和Leonardis[22],他们通过使用Tabu搜索最小化描述长度同时搜索多个参数模型基于偏好的方法[12-因此,具有“模糊”类的实例,例如半行半圈,可浮现。所提出的Multi-X方法发现多个模型类的多个实例,其利用在标签空间中用新的移动扩展的能量最小化中的进展:用模型参数域中的对应密度模式替换一组标签模式搜索显著地减少了标签空间,从而加快了能量最小化,并且它克服了具有相似参数的多个实例的问题,这是最先进的单类方法的弱点。通过引入类特定的距离函数来处理将数据分配给不同模型类的实例。Multi-X也可以被看作是霍夫变换的扩展或一般化:(i)它找到参数空间密度的模式,而不创建累加器并在那里定位局部最大值,这在高维空间中是禁止的,(ii)它处理多个类-并行或顺序地针对每个模型类型运行霍夫变换不能容易地处理对数据点的竞争。以及(iii)增加了对内点的空间相干性建模以及考虑更高阶几何先验的能力。最近的论文[12,14,23]报告了分别为每个测试用例调整的结果是令人印象深刻的,但输入特定的调整,即。具有多次通过的半自动操作严重限制了可能的应用。我们提出了一个自适应参数Multi-X3√S在算法中设置策略,允许用户在一系列问题上运行Multi-X作为黑盒,而无需设置任何参数。考虑到离群值可能在输入中形成结构,作为后处理步骤,基于交叉验证的技术移除不重要的实例。该文件的贡献是:(i)提出了多类多实例模型拟合的一般公式,据我们所知,这在以前还没有被研究过。(ii)PEARL [11]引入的常用能量最小化技术在标签空间中扩展了一个新的移动:在所述模型参数域中用对应的密度模式替换一组标签。受益于该移动,最小化被加速,以较低的能量终止,并且估计的模型参数更准确。(iii)建议的管道结合了最先进的技术,如能量最小化,基于中位数的模式搜索,交叉验证,以实现优于最近的多模型拟合算法的精度和处理时间方面的结果该方法提出了关键优化参数的自动设置,适用于各种现实问题。2多类配方在给出一般定义之前,让我们考虑几个多实例拟合的例子:找到一对线实例h1,h2∈ Hl,解释一组2D点PR2。直线类H_l是直线空间H_l={(θ_l,φ_l,τ_l),θ_l=[α_c]T},其距离函数φ_l(θ_l,p)=| cos(α)x+sin(α)y+c|(p=[x y]T∈ P)和函数τl(p1,…pml)=θl,用于从ml∈N个数据点估计θ l。一个-另一个简单的例子是将n个圆实例h1,h2,···,hn∈ Hc拟合到相同的数据。圆类Hc={(θc,φc,τc),θc=[cx振英是圆的空间,φc(θc,p)= |r −(cx− x)2+(cy− y)2|是距离函数,并且τc(pi,… pmc)=θc是一个估计量。多线拟合是寻找多个线实例的问题{h1,h2,…}Hl,而多类情况是提取一个子集H H,其中H = Hl∪ Hc∪ H. 我...集合H是所有类的空间,例如线和圆圈。该公式包括离群点类Ho={(θo,φo,τo),θo=},其中每个点到所有点的距离φo(θo,p)= k,k ∈ R+和τo(p1,…,p2)都是常数,但可能不同。 pmo)=。注意,考虑多个异常值类别允许解释源自不同来源的异常值定义1(多类模型)多类模型是一个空间H = Hi,其中Hi={(θi,φi,τi)|di∈ N,θi∈ Rdi,φi∈ P × Rdi → R,τi:P *→ Rdi}是单类,P是数据点集,di是参数向量θi的维数,φi是距离函数,τi是第i类的估计量.多实例多类模型拟合的目标是确定一个实例集HH,并将每个点p∈ P分配给一个实例h∈ H,使能量E最小化。我们采用能源E(L)=Ed(L)+wgEg(L)+wcEc(L)(1)4Barath,Daniel和Matas,JiriΣΣ^S^^^Σ来测量拟合的质量,其中wg和wc是平衡下面描述的不同项的权重,并且Ed、Ec和Eg是数据、复杂度项以及考虑几何先验的项,例如空间相干性或垂直性。数据项Ed:(P → H)→R在大多数能量最小化方法中定义为Ed(L)=φL(p)(θL(p),p),(2)p∈P惩罚由点到实例分配引起的不准确性,其中φL(p)是hL(p)的距离函数。几何先验项Eg考虑数据点的空间相干性,从[11]中采用,并且可能考虑更高阶几何项[17],例如物体的垂直度有利于空间相干性的术语,即接近点更可能属于同一实例,定义为Eg(L):(P-H)-R=(p,q)∈Nwpq¢L(p)/=L(q)), (3)其中N是预定义的邻域图的边,即Iverson括号TM。如果内部的条件成立,则ω= 1,否则ω = 0,并且ωpq是成对加权项。在本文中,wpq等于1。对于需要考虑高阶几何项的问题,例如,为了找到三个垂直的平面,Eg可以用[17]中提出的能量项代替。Delong等人提出了实例数的正则化。[24]作为标签计数惩罚E。(L):(P-H)-R=|L(P)|其中L(P)是标记函数L的不同标记的集合。来处理可能具有不同因此,我们提出以下定义:定义2(加权多类模型)加权多类模型是空间H =Hi,其中Hi={(θi,φi,τi,ψi)|di∈ N,θi∈ Rdi,φi∈ P × Rdi→ R,τi:P *→ Rdi,ψi∈ R}是一个加权类,P是数据点集,di是参数向量θi的维数,φi是距离函数,τi是估计量,ψi是估计量第i类的权重。控制实例数量的术语是Ec(L)=l∈L( P)(4)其中ψ1是由标签1引用的加权多类模型的权重。 等式2,3,4导致总能量E^(L)=Ed(L)+wgEg(L)+wcE^c(L)。3替换标签集为了优化前面描述的能量,我们建立并扩展了PEARL算法[11]。PEARL应用类似RANSAC的随机化采样技术生成一组初始实例,然后交替两个步骤直到收敛:Multi-X5一期+1H否则,(1) 应用α-展开[25]获得最小化总能量E的标记Lw.r.t.当前实例集。(2) Hw.r.t.中每个模型实例的参数向量θ的重新估计。L.在PEARL制剂中,去除标签的唯一方式,即丢弃一个实例就是不给它分配任何数据点。实验表明,(i)该移除过程是十不能删除具有相似参数的实例,(ii)并且使得估计对标签成本wc的选择敏感。因此,我们提出了一个新的移动在标签空间:取代一组标签的模型参数域中的密度模式。基于能量最小化的多模型拟合技术通常会随机生成大量实例H H作为第一步[11,17](|H| ≫ |H实数|,其中Hreal是地面实况实例集)。因此,存在许多类似的实例是典型的。我们假设,并通过实验验证,许多点支持- ING寻求实例在H真实的往往是在初始化分配给一些实例在H具有类似的参数。模型参数域中的地面实况实例周围的集群可以用密度的模式替换(参见图11)。2)的情况。1541035201−50−10−1−15−2−20−4−3−2−1012345−3电话:+86-0512 - 8888888传真:+86-0512 - 88888888图2:(左)三条线,每条线生成100个点,添加零均值高斯噪声,加上50个离群值。(右)从随机点对生成的1000条线,地面实况实例参数(红点)和由Mean-Shift提供的模式(绿色)在模型参数域中示出:α角度给定模式搜索函数Θ:H* → H*,例如Mean-Shift [26],其获得∀ ∀在第i次迭代中输入实例集Hi的密度模式拟议的举措是作为H:=.Θ(Hi)如果E(LΘ(Hi))≤E(Li),我(五)其中L1是第i次迭代中的标记,并且L0(H1)是最小化能量w.r. t的最佳标记。到实例集合Θ(H1)。可以很容易地看出,Eq。5不会破坏收敛,因为它取代了实例,即标签,当且仅当能量不会增加。注意,基数为1的集群此步骤减少了标签空间并加快了该过程。^6Barath,Daniel和Matas,Jiri∗∗4Multi-X所提出的方法称为Multi-X,结合了PEARL、多类模型和所提出的标签替换移动,在Alg.1.一、接下来,描述每个步骤算法1多X输入:P输出:H*1:H0:=实例生成(P);i:=1;2:重复3:Hi:= ModeSeeking(Hi−1);通过Median-Shift4:Li:= Labeling(Hi,P);通过α-展开5:Hi:= ModelFitting(Hi,Li,P); Weiszfeld6:i:=i+ 1;7:直到!收敛(Hi,Li)8:H∗ :=Hi−1,L∗:=Li−1;∗ ∗9:H,L:=模型验证(H,L)Alg.21. 实例生成步骤在应用交替优化之前生成一组初始实例。考虑到数据点在空间上是一致的这一假设,我们使用了NAPSAC的引导采样[27]。该方法首先选择随机点,然后从所选择的点的邻域中选择剩余的点。使用与α展开中的空间相干项相同的邻域。注意,该步骤可以容易地由例如PROSAC [28]用于空间相干性不保持或有利于退化估计的问题,例如在基本矩阵估计中。2. 模态搜索应用于模型参数域。假设给定一组实例H。由于解中的实例数(参数域中的算法[26]或其变体之一在初步实验中,最稳健的选择是使用Weiszfeld-[30]或Tukey-median [31]的 Median-Shift [29]没有显著差异,但Tukey中位数计算速度略快。与Mean-Shift相比,它不会在向量空间中生成新元素,因为它总是返回输入集的元素。以Tukey中值作为模式,它比Mean-Shift [29]更稳健。然而,我们用快速近似最近邻[33]取代了局部敏感哈希[32],以实现更高的速度。反映了需要一般实例到实例距离的事实,我们用点集表示实例,例如:由两个点组成的直线和由四个对应组成的单应性,并将实例到实例的距离定义为点集的Hausdorff距离[34]。尽管它产生的参数比最小表示略多,从而使Median-Shift有点慢,但它始终可用,因为它用于定义点的空间邻域通过点表示的另一动机是具有非均匀表示的事实,例如用角描述的线Multi-X7^ ^您的位置:^^^ ^您的位置:^ ^您的位置:和偏移导致沿轴的各向异性距离函数,从而使模式搜索中的距离计算有许多点集定义一个实例,需要一个规范的点集表示 对于直线,使用距原点最近的点和直线上距原点固定距离的点。对于单应性H,四个点是H[0,0,1]T、H[1,0,1]T、H[0,1,1]T和H[1,1,1]T。匹配步骤被排除在Hausdorff距离之外,从而显著加快了距离计算。1Median-Shift Θmed的应用不会增加实例的数量|Hi|:|≤| H i|.|. 当且仅当每个实例对之间的距离大于带宽时,才实现相等注意,对于每个不同的模型类,中位数偏移必须单独应用。根据我们的经验,在第一次迭代中应用此标签替换移动不会使估计不太准确,但即使能量稍微增加,也会显著加快估计速度。3. 标记将点分配给上一步中获得的模型实例。这种任务的合适选择是α-扩展[25],因为它处理任意数量的标签。给定Hi和第i次迭代中的初始标记Li−1,使用α-展开最小化能量E来估计标记Li。注意,L0在第一步中通过α模型实例的数量|Hi|在这一步中是固定的,能量必须减少:E(Li,Hi)≤E(Li−1,Hi)。为了降低离群值阈值的敏感性(如[35]中的单实例情况所示),距离每个类的函数被包括到高斯核中。4. 模型拟合重新估计实例参数w.r.t.分配的点数。利用α-展开提供的标号对得到的实例集Hi模型实例的数量|Hi|是恒定的。L2拟合是一个合适的选择,因为与标记步骤相结合,它可以被认为是截断的L2范数。总能量E在该步骤期间只能减小或保持恒定,因为它由三项组成:(1)Ed-最小化的分配成本的总和,(2)E g -在该步骤中固定的标记Li的函数,以及(3)E c -其取决于|Hi|所以Ec是相同的因此E(Li,Hi+1)
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