最小化离散总曲率的图像处理方法

9474∫∫∫∫最小化离散总曲率的图像处理方法钟秋香，李雨彤，杨一杰，段玉萍天津大学应用数学中心，天津，30070{zhongqiuxiang，yutong li，yangyijie，yuping.duan}@ tju.edu.cn摘要在图像处理应用中，曲率估计由于其在边缘连续性方面具有很强的先验性而受到越来越多的关注然而，由于高阶正则化子的非凸性和非光滑性，数值求解在实时任务中变得具有挑战性。 本文提出了一种新的曲率正则性--总曲率（TC），它通过极小化不同方向上的法曲率S.根据微分几何理论，我们在局部邻域内离散地估计了法曲率.由此产生的曲率规则性可以被视为一个重新加权的总变差（TV）最小化问题，它可以有效地解决交替方向的乘数法（ADMM）为基础的算法。通过与TV和Euler1. 介绍曲线曲面是图像分析中的重要几何元素。作为曲线的基本度量，长度和曲率都是自然的度量，它们已被广泛用于各种图像处理问题[15，12，13，10]。例如，曲率是薄结构的自然正则化器[8]，并且可以保留图像去噪的对比度和角落[22]。设u：R → R是定义在具有Lipschitz连续边界的区域R∈ R2上的图像，u（x）表示x ∈ R上灰度的强度.假设u是光滑的，那么水平集(a) 面罩（b）TV（c）欧拉图1.总曲率是图像修补的理想规律，其中红色区域表示修补域。我们的模型（9）中的参数设置为λ= 5和α= 0。5.并不重要，因为它们是一组零测量。假设曲线长度用作几何测量，则我们有E[γλ]=ds。γλ当对图像u的所有水平曲线进行积分时，它精确地给出了Rudin-Osher-Fatemi TV模型[14]。+∞E [u]=|厄舒|dσds = |厄舒|dx，−∞γλ Ω其中ds和dσ表示水平集及其梯度流的弧长。考虑曲率曲线模型，得到的图像模型变为γλ={x∈λ|u（x）= λ}是一个光滑的一维流形。虽然图像很少被-E[u]=Ωφ（κ）|厄舒|（1）第二章光滑函数，我们可以假设它们在某些函数空间中，例如，L2（L3）。 则逐点值为*通讯作者。 本工作得到了国家自然科学基金11701418的资助，其中φ（κ）是曲率的一些合适的函数，例如，双氢吡喃1+α|κ|，总绝对电流，天津市重大科技项目18ZXRHSY00160和全球青年专家招募计划。φ（κ）=1 +α|κ|二、总旋转平移变化，1 + α|κ|2，总平方曲率，∫9475.Σ其中α是正常数。对于2D曲线，标高线的曲率定义为κ=κ（x）：=κ·你好|厄舒|这种曲率能量最初是由欧拉在无扭转细杆的形状建模中研究的，并由芒福德在[11]中引入计算机视觉从那时起，已经进行了大量的研究，将欧拉例如，Masnou和Morel [9]提出了具有φ（κ）= 1 +|κ|p（p≥1），用于去除遮挡的无噪声图像。欧拉图1显示了三个简单形状的图像及其修补域和最小化TV的解决方案，欧拉的弹性能量和我们的曲率正则性，分别。从感知实验可知，人类视觉系统遵循良好连续性原则，趋向于完成部分遮挡边界。可以看出，欧拉由于Euler's elastica在图像修复中的巨大成功然而，由于非二次高阶弹性项，数值最小化欧拉弹性能量是非常具有挑战性的Shen，Kang和Chan在文献[17]中首次尝试用变分法和最速下降法直接求解欧拉弹性模型。在文献[18，19，3]中，已经基于增广的拉格朗日方法开发了快速算法.文献[6]提出了弹性能量的近似凸熵，并用原对偶算法求解。文[2]在旋转平移空间中用凸泛函给出了曲率依赖的变分能量，其他基于曲率的模型包括最小化图像处理任务的平均曲率[22]和高斯曲率[20]。这种曲率变换可以很好地保持物体的几何特性，如保持物体的角点和图像的灰度强度对比度。然而，类似于欧拉Goldluecke和(a)掩模图像(b)欧拉弹性肌(c)总曲率图2.全曲率规则性在细长结构的图像分割中有很好的 我们的模型（9）中的参数设置为λ= 200和α= 0。1.Cremers [4]引入了Radon测度的Menger-Melnikov曲率，并将其重新表述为加权TV最小化，其中权函数包含从观测图像数据估计的曲率信息在文献[5，21]中，通过在3×3像素邻域内枚举线性和可展曲面，利用像素局部解析解来逼近平均曲率和高斯曲率，从而开发了有效的曲率滤波器然而，曲率被粗略地近似为一定的距离，没有严格的定义。在本文中，我们引入了全曲率正则性，它使所有法曲率的曲率函数最小化。与经典的基于曲率的变分模型（如Euler通过分别估计曲率，我们可以将曲率能量视为重新加权的TV最小化，其中迭代地更新权函数以准确地捕获曲率信息。因此，基于ADMM的高效稳定的数值格式可以应用于求解所提出的总曲率正则化极小化问题。与现有的变分模型相比，该方法具有以下三个优点。1) 我们引入了全曲率的概念，它是等值线上每一点沿不同方向的法曲率的范数。 对于不同的图像处理任务，新的曲率正则性比欧拉的弹性曲率正则性能获得更好的结果.如图所示，最小化总法向曲率可以理想地恢复具有大规模缺失域的图像的角和边缘（参见图1），并准确地分割具有细长结构的对象（参见图2）。2) 法向曲率在离散设置中逐点估计，而不需要求解任何高阶PDE。与[18]中欧拉弹性模型的ADMM算法相比所得数值算法效率高，节省了947622√1图像修复问题的Euler's elastica模型所消耗的CPU时间的一半3) 我们的模型是灵活的，以适应不同的功能类型的曲率，而不影响的方式，操作者分裂和相关的ADMM为基础的算法。将全曲率正则性应用于图像去噪、分割和修复问题.通过与基于TV和Euler弹性的正则化方法的比较，结果表明，全曲率是一种适合于不同图像处理任务的2. 离散总曲率2.1. 法向曲率设S：r=r（x，y）是R3中的正则曲面，O∈ S是点，t∈TO是切向量，TO表示点O处的切平面.S在O点沿t方向的法曲率表征了O点处的曲面沿t方向从其切平面的导数。同时，在O处t方向的法曲率也是弧长参数化曲线γ（s）∈ S的法曲率，其中γ（0）=O，γ′（0）=t，这是inde-numerical的。图3.三维网格。根据泰勒r（x0+x，y0+y）−r（x0，y0）=（rx+ ry）+1 [r （x）2+ 2 r xxyx y2 xx xy+ryy（γy）2]+o（（γx）2+（γy）2），和o（（x）2+（y）2）lim= 0。（x）+（y）→0（x）2+（y）2由于rx·N=ry·N= 0，因此，取决于γ的选择。法曲率可以表示为γ在方向上的曲率的量。d（x，y）=[L（x）22+ 2Mxy+N（y）2]表面法线Nκ=γ′′·N=II，（2）nI+o（（x）2+（y）2），其中L=rxx·N，M=rxy·N，N=ryy·N，且L（rxx）2+2Mrxxryy+N（ryy）2是精确的第二基本形式.因此，当（x）2+（y）2→0时，我们它也可以表示为第二个的商基本形式II和第一基本形式I。 因此，对应于di-有II2d（x，y），在表面上的每一点上，可以根据（2）使用I和II来估计反应t。众所周知，第一基本形式可以用弧长近似，而第二基本形式有以下结果。提案2.1. 设S：r=r（x，y）是正则参数曲面，O（x0，y0）是S上的任意点，则O点处的第二基本形式可估计为第二节第2天，（3）其中d表示其相邻点H（x0+<$x，y0+<$y）到O的切平面的投影距离。证据 点H（x0+<$x，y0+）的投影距离可以如下d（x，y）=（r（x0+ x，y0+ y）− r（x0，y0））·N这就完成了证明。2.2. 法向曲率通过考虑R3中的象面或图的特征为z=ui，j，（i，j）∈N，将象极小化问题转化为相应的面极小化问题.不失一般性，我们将灰度图像表示为一个m×n矩阵，网格n ={（i，j）：1≤i≤m，1≤j≤n}。类似于欧拉的弹性能量，我们在x-y平面上使用交错网格。如图3所示，·节点、△节点和Q节点分别表示原点、半点和中间点。△节点上的强度值被估计为其两个相邻·节点的平均值，而Q节点上的强度值被估计为其四个相邻·节点的平均值•- 节点。切平面可以由三角形或矩形定义，为了便于计算，我们使用三角形表示。然后，每个切平面定义9477ˆ22i、j1ds=OHHH.6图4.计算图像表面的法曲率，其中灰色三角形表示中心点O的切平面。正常的曲率图4示出了点O处的切平面的示例，其被表示为TXYZ。给定X、Y和Z的3D坐标，法向量N的TXYZ可以由向量的叉积决定(a) 切平面(b) T2（c）T8图5. 3× 3局部窗口中点的8个切面及两种不同投影的代表。每种类型（即，T2和T8）也在图5中示出−−→−−→XY和XZ如下N=−X−→Y×−X−→Z=（2u−ui，j−1−ui，j+1，ui，j−1−ui，j+1，2）。其中△和Q点分别用于计算投影。给定两两相邻点和切平面，根据命题2.1，我们使用半点H（i-1，j，ui-1，j）来估计到tan的投影距离d我们可以相应地计算离散的法向曲率更准确地说，我们计算距离d，=22Gent planeTXYZ asd=−P−→H·N（四）1、. . .，8，（i，j，ui，j）对应于八个切线平面使用（4），其给出为2u−ui，j−1−ud=√2ui，j−ui，j−1−ui，j+1;=√2个（2个用户i−1，j-ui，j−1−ui，j+1）2+（ui，j−1-ui，j+1.）2+42d=√（2ui−1，j−ui，j−1−ui，j+1）2+（ui，j−1−ui，j+1）2+ 4ui，j−1+ui，j+1−2ui，j;22 2另一方面，弧长OH可以按以下方式2d=√（2ui+1，j−ui，j−1−ui，j+1）+（ui，j+1−ui，j−1）+4ui−1，j+ui+1，j−2ui，j;3（ui+1，j（ui−1，j−ui，j）2+h2，（5）d4=2-ui−1，j ）2+（ui−1，j+ui+1，j-2ui，j−1）2+ 4其中ui-1，j可以被估计为它的两个相邻点ui-1，j和ui，j的平均值，并且h是在x轴和y轴上固定为相同的网格大小。因此，正常−−→ui−1，j−1+ui−1，j+1+ui+1，j−1−ui，j−ui−1，j−ui，j−1d5=n;2（ui+1，j−1−ui−1，j−1）2+（ui−1，j+1−ui−1，j−1）2+ 4ui，j+ui+1，j+ui，j+1−ui+1，j+1−ui−1，j+1−ui+1，j−1d= （c）点O在方向OH上的曲率可以表示为2（ui−1，j+1−ui+1，j+1）2+（ui+1，j−1−ui+1，j+1）2 + 4二维d=ui，j+ui−1，j+ui，j+1−ui−1，j−1−ui+1，j+1−ui−1，j+1;κn≈ DS2.（六）72（u i−1，j+1-ui+1，j+1 ）2+（ui−1，j−1-ui−1，j+1 ）2+ 4ui−1，j−1+ui+1，j+1+ui+1，j−1−ui，j−ui+1，j−ui，j−1d 8 = 0.2.3. 离散全曲率从曲面的角度来看，当方向向量改变时，有许多（也许是无限多）法向曲率。在我们的公式中，我们估计3×3局部窗口中的逐点法向曲率图5显示了八个三角形平面（即，T1-T8），它们被用于近似不同方向上的切平面注意，八个方向被成对中心对称地选择以避免2（ui+1，j−1−ui−1，j−1）2+（ui+1，j+1−ui+1，j−1）2 + 4然后，我们计算中心点（i，j，ui，j）到其相邻点的弧长（即，半点或中点），其被定义为根据（5）的两点之间的强度差和网格尺寸的平方和因此，八个法向曲率可以在每个点上使用（6）计算，其给出栅极偏压 切平面可以分为两个猫-2D打印机O2i、ji，j+12ui，j−ui−1，j−ui+1，j（c）2（ui−1，j−ui+1，j）2+（ui−1，j+ui+1，j−2ui，j+1）2+ 4.9478（uQ−ui，j）2+2h22，n= 1，2，3，4，这样T1-T4使用半点，T5-T8使用中间点来计算投影。一个示例κℓ≈（u−ui，j）+h2d的话，=5，6，7，8，ℓ（七）9479u¨，¨∫2πΣ22u，v2φ（κ）|v|dx + λDuk+1=Fu+ ∇∗(µvk+ Λk)/(λI−µ∆);其中u△和uQ是半点的强度，ℓ ℓ中间点如图3所示。众所周知，最大和最小曲率（即，在所有法曲率中的主曲率）可以完全确定理论中的所有法曲率。然而，只有有限数量的法向曲率（即，总共八个）在我们的公式中在局部窗口上列举。因此，我们引入离散总曲率作为每个点x∈N上的像函数的几何测量，它使沿不同方向的所有法曲率的以下范数最小化8κ（x）=|κn（θ）|dθ|κℓ|.（八）算法一：型号ADMM（9）1：输入：给定图像f，模型参数λ，α和μ，最大迭代Tmax和停止阈值λ。2：初始化：u0=f，v0= 0，Λ0= 0。3：while（不收敛且k≤Tmax）do(i) 计算uk+1，从：uk+1= arg min，λD（u，f）（12）-Λk，u−vk>+u−vk<$2，03. 数值算法=1(ii) 根据（8）使用最新估计计算κ将uk+1代入φ（k）;(iii) 计算vk+1，从：有了离散的总曲率（8），我们可以将基于曲率的能量表示为以下最小化问题vk+1 = argminv，φ（κ）|v|DX（十三）最小φ（κ）|厄舒|dx + λD（u，f）.（九）Ω+Λk，v−uk+1>+µ< v−uk+12;2(iv) 更新Λk+1请注意，为了便于计算，我们将总曲率视为（9）中水平集的曲率。这里，数据保真度项D（·，·）测量未知u和观测数据f之间的距离，其根据不同的图像处理任务而变化，例如1ǁu−fǁ2,fordenoising;D（u，f）=u，f1−f2（十）2\X发件人：Λk+1= Λk+μ（vk+1−uk+1）;（14）(v) 检查收敛条件：uk+1−uk <$1 ≤4：结束时1u−f2，用于修复;其中X_n表示用于修补问题的待修补域，f1，f2是用于分割问题的非负势函数。3.1.次最小化w.r.t. u由于（10）中的所有数据保真度项都是平滑的，因此（12）的一阶最优性条件可以表示为以下线性方程我们引入一个辅助变量v，将原无约束最优化问题（9）改写为以下等价的约束最小化问题λD（u与k+1，f）+µ（uk+1 -vk−Λk）= 0，（15）µ最小值φ（κ）|v|dx + λD（u，f）ΩS. t. v =u。u−f,fordenoising;D（u，f）=F1 -f，用于分段;相关的增广拉格朗日泛函可以定义如下u\X−f\X，用于修复。因此，u-子问题的解可以表示为：没关系λf+λf（μvk+Λk）<$/（λfI−μv）;Ω+Λ，v−u >+

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