紧饱和子集的偏序集模型及与T1拓扑空间的关系

QQ可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记345（2019）77-85www.elsevier.com/locate/entcs关于紧饱和子集构成的偏序集模型的一些结果Qingyu He何庆宇1，3扬州大学数学科学学院江苏扬州225002Gaolin Li李高林1，4盐城师范学院数学与统计学院，江苏Xiaoyong Xi Xiaoyong Xi1，5江苏师范大学邮编：221116Dongsheng Zhao赵东升2，6数学与数学教育国立教育南洋理工大学1 Nanyang Walk637616，Singapore摘要给定拓扑空间X，X的所有非空饱和紧子集的集合（X）是关于逆包含序的偏序集。 形式的偏序集（十）在几个方面发挥重要作用域理论。本文研究了这类偏序集的一些性质，特别是它们与T1拓扑空间的dcpo模型的联系。关键词：Scott拓扑;极大点空间; dcpo模型;紧饱和子集; K-滤子定义空间;k-空间https://doi.org/10.1016/j.entcs.2019.07.0171571-0661/© 2019作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。78Q. He等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）77拓扑空间X的dcpo模型是一个dcpo（directed complete poset）P，使得X与P的极大点空间同胚，并具有P的Scott空间的子空间拓扑。虽然已经证明了每个T1拓扑空间都有一个dcpo模型[11]，但是如果一般的T1空间不是完备的可度量化空间，就不能构造一个简单定义的dcpo模型。在[12]中，作者考虑了由空间X的所有非空紧闭子集组成的CK（X）型dcpo模型，其包含序是反的。[12]中使用的关键概念是CK-过滤器定义的拓扑，使用非空紧闭子集描述。他们证明了，如果T1空间是CK-filter定义的，那么dcpo（CK（X），n）是X的有界完备dcpo模型。特别地，对于每个Hausdor空间（即紧生成空间），CK（X）是X的有界完备dcpo模型。本文利用拓扑空间X的所有非空紧饱和子集的集合Q（X），CK（X）的解，以研究文[12]中考虑的相应问题。主要结果包括：（1）对于任何T1良滤的K-滤器定义空间（将在第2节中定义）X，Q（X）是X的dcpo模型;（2）Hausdor空间是k-空间，如果它是CK-滤器定义的;（3）第一可数的凝聚T1空间是良滤的当且仅当它是sober的.结果（2）回答了文[12]中提出的一个问题，并建立了Hausdor空间的一个新的刻画.第1章在这一节中，我们回顾了一些基本的概念和结果，这些概念和结果将在后续的文章中使用，其中大部分可以在[1，2]中找到。设P是偏序集。对于DP，我们使用D（分别为，D）表示上确界（分别为，如果D存在的话。一个偏序集P的子集A称为上偏序集（或，一个较低的）集合，如果A=↑A ={x∈P|a≤x for some a∈A}（分别，A= ↓A ={x∈P|x≤a，a∈ A}）。P的一个子集D是有向的，如果它是非空的，并且D的每一个有限子集在D中都有一个上界。一个偏序集称为有向完备偏序集，如果它的每个有向子集都有一个上确界。一个偏序集称为有界完备集，如果每个上有界子集都有一个上确界。特别地，有界完备偏序集有一个底元，即空集的上确界对于偏序集P中的两个元素x和y，我们说x远低于y，记为为xy如果对于任何有向集DP，D和D≥y，存在某个d∈D使得x≤d。 一个元素x∈P称为紧的，如果xX.P的所有紧元素的集合将被表示为K（P）。 一个偏序集L被称为为了是连续的（分别地，代数），如果每个元素是的有向上确界1国家自然科学基金资助项目（11701500，11626207，11671008），江苏省自然科学基金资助项目（BK20170483）2由新加坡NIE AcRF项目（RI 3/16 ZDS）支持3电子邮件：smileheqingyu@163.com4电子邮件：ligaolin1981@126.com5电子邮件地址：littlebrook@jsnu.edu.cn6电子邮件：dongsheng. nie.edu.sgQ. He等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）7779（分别地，一个连续的dcpo通常被称为domain。偏序集P的一个子集U<$P是Scott开的i <$（i）U=↑U，且（ii）对任何有向子集D<$P，D∈U蕴涵D<$U/=<$，只要D存在。P的所有Scott开集的集合形成一个拓扑，称为P的Scott拓扑，记为σ（P）。空间Σ P=（P，σ（P））称为P的Scott空间。对于拓扑空间X，称非空子集A<$X是不可约的 若对任意闭集有限族{Ci}i∈F，只要A∈Ci，则对某个i∈F，A∈Ci。拓扑空间X称为sober，如果对于每个不可约闭集C，存在唯一的x∈X使得cl（{x}）=C，其中cl（{x}）表示{x}的闭包。T 0空间X上的特殊化序定义为x≤yi <$x∈ cl（{y}）。或者x≤yi，则每个包含x的开集也必须包含y。 因此，开集是上集，闭集是下集。 X的子集称为饱和的，如果它是开子集的交集，等价地，如果它是关于特化阶的上集。注意，对于偏序集L，子集A在（L，σ（L））中饱和，i ∈A是一个上集。一个拓扑空间X称为良滤的，如果对于紧饱和集的每个滤基C和每个开集U，有一个K∈ C，K<$U。由[1，定理II-1.21]可知，如果X是sober，则X是良滤的。一个拓扑空间称为凝聚的，如果任何两个紧饱和集的交又是紧的。据说dcpoL是良好过滤的（分别地，如果是一个很好的过滤器（分别为，紧凑的、清醒的、连贯的）空间。命题1.1（[1，命题I-1.24.2.]）设X是一个拓扑空间。如果X是良好过滤的，则K =对于非空紧饱和集C的每个滤子基C，C是一个非空紧饱和集。2上Vietoris拓扑和Scott拓扑Q（X）在这一节中，我们用拓扑空间X的非空紧饱和子集代替了Zhao和Xi在[12]中使用的T1空间的非空紧闭子集，从而构成了X的dcpo模型。对任意T0良滤空间（X，τ），设Q（X，τ）（简称Q（X））是X的所有非空紧饱和子集的集合.偏序集（Q（X），n）是有向完备的：对任何有向子集D <$Q（X），D=Q（X）D。定义2.1拓扑空间（X，τ）的上集U称为K-开的，如果对任意的过滤族{Ki}i∈I<$Q（X），其中i∈I对于某个x∈U，Ki = ↑ x <$U，则对于某个i∈I，Ki <$U。定义2.2拓扑空间（X，τ）的上集U称为K-开的，如果对任何过滤族{Ki}i∈IQ（X），i∈IK i<$U，则对某个i ∈ I，K i<$U。设τK是X的所有K-开集的集合。显然，X和X是K开的。它80Q. He等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）77很容易证明τK确实是X上的拓扑。我们称τK为K-生成拓扑。显然，两个K-开集的交集是K-开的。一般来说，两个K-开集的并不一定是K-开的。因此，所有的K-开集不一定构成一个拓扑。 由K-开集生成的拓扑以τK为基，称为K-生成拓扑。很容易看出每个K-开集都是K-开的。对于一个适充空间，X的每个开集都是K-开的。因此，我们有以下结果。命题2.3设（X，τ）是一个良滤空间。 然后我们有ττ Kτ K。定义2.4设（X，τ）是一个T0空间.然后i) （X，τ）称为K-滤波器，如果τK=τ。ii) （X，τ）称为K滤波器，如果τK滤波器=τ。注2.51）对于每个良好过滤的dcpoL，空间εL =（L，σ（L））是K-过滤器定义的。2)由Johnstone [3]构造的著名的非清醒dcpo是K-滤波器定义的，但没有很好地滤波。回想一下，在[7]中，上Vietoris拓扑有一个开集的基础，形式QU={K∈ Q（X）|其中U在X的开子集上的范围。Q（X）上的上Vietoris拓扑的特化序与Smyth预序A≤B一致，即，B.注意，T1空间（X，τ）上的特化阶简化为离散阶.因此，对于T1空间X，X的紧饱和子集与X的紧子集相同。设ηX：X→ Q（X）是由ηX（x）={x}对所有x给出的映射。命题2.6设X是T1良滤空间，Q（X）具有上Vietoris拓扑.则ηX：X→Max（Q（X））是同胚。表示上Vietoris拓扑（分别为， Scott拓扑）通过UV（Q（X））（分别，σ（Q（X）。显然，对于一个良好过滤的空间X，UV（Q（X））<$σ（Q（X））。命题2.7如果（X，τ）是T1，良好过滤和K-过滤器定义，则UV（Q（X））|Max（Q（X））= σ（Q（X））|Max（Q（X））。证据结果表明，UV（Q（X））|Max（Q（X））<$σ（Q（X））|Max（Q（X））。对于任意U ∈σ（Q（X）），设U={x|{x} ∈ U <$Max（Q（X））}. 很容易看出 UMax（Q（X））=QUMax（Q（X））。接下来我们证明U∈τ。由于U ∈σ（Q（X）），对任意x∈U和任意滤波族{Ki}i∈I<$Q（X），如果i∈IKi=i∈IKi={x} ∈ U，则存在某个i∈I使得Ki∈ U，这意味着Ki <$U. 因此，U∈τK。由于（X，τ）是K-滤波器定义的，我们有U ∈ τ K= τ。Q定理2.8设X是T1良滤的K-滤器定义空间.则Q（X）是X的dcpo模型。Q. He等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）7781∞证据 它是由命题2.6和2.7得出的。Q命题2.9设（X，τ）是 一个 T~ 1且良滤的空间.如果UV（Q（X））|Max（Q（X））= σ（Q（X））|Max（Q（X）），则（X，τ）是K个滤波器定义的。证据设U∈τK.我们证明了U∈τ。设U ={K∈ Q（X）|KU}。则{x} ∈ U对任意x∈U成立。由于U∈τK<$，U ∈σ（Q（X））. 作为UV（Q（X））|Max(Q(X))=σ（Q（X）） |Max(Q(X)), 那里 存在 V∈τ使得{x}∈QV<$Max（Q（X））<$U <$Max（Q（X））. 所以，我们有x∈V<$U，因此U∈τ。Q例2.10设X=R是所有实数的集合，τ是X上的拓扑，其中U∈τ当且仅当对于某个欧几里得开集V和可数集A，U=V-A。则Q（X）是R的所有非空有限子集的族。因此，每个子集都是K-开的，因此τK是一个离散拓扑。所以，（X，τK）不是K滤波器定义的。也称为σ（Q（X））|Max（Q（X））是离散的，这表明Q（X）不可能是X的dcpo模型.命题2.11每一个T1第一可数且良好过滤的空间都是K-过滤器定义的。证据 设（X，τ）是T1第一可数良滤空间. 它表面上显示τKττ。设U∈τK.对于任何x∈U，我们需要证明存在一个V∈τ使得x∈V<$U。 令{V i|i ∈ N}是x的邻域基，其中Vi+1<$Vi。设x∈Vi<$U，对所有i∈N.设xi∈Vi\U（Vi∈N）. 则{x i|i∈ N}收敛于x。设A i={x j|j∈N，j≥i}<${x}.则Ai对所有i∈N是紧的.由于（X，τ）是良滤的，所以i=0A i={x}<$U。然而，对于所有i∈N，Ai<$U与U∈τK矛盾.Q根据定理2.8和命题2.11，我们得到以下结果。推论2.12设X是T1第 一可数良滤空间. 则Q（X）是X的dcpo模型。3K-生成拓扑空间对于一个良充空间X，K-生成的拓扑可以包含比原拓扑更多的开子集。在本节中，我们证明了关于这两个拓扑的紧子集是相同的引理3.1设X是T1良滤空间. 对任意K ∈ Q（X，τ）和（X，τ K∈）中的任意闭集C，我们有C <$K ∈ Q（X，τ）。证据证明了对任意K∈ Q（X，τ）和（X，τK∈）中的闭集C，C∈K是紧的.设{Ui}i∈I是有向开集在（X，τ）中，使得i∈IUi<$C<$K和Ui<$（C<$K）<$，对于任意i∈I，而Ui/CK，其中nyi∈I。 则对于一个nyi∈I，（X−Ui）<$（C <$K）/=<$。 设tDi=K<$（X−Ui）（<$i∈I）. 则eachDi是K的紧饱和子集，82Q. He等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）77∗和F <$U，则对某个F∈ F，F<$U。由所有CK-开组成的拓扑i∈ID i <$K − C。 由于C在（X，τ K∈）中是闭的，存在某个i0∈ I使得Di0=K<$（X−Ui0）<$K−C，其中ch可表示（X−Ui0）<$（C <$K）/=<$。Q设Q（X，τK<$）是（X，τK<$）的所有紧饱和集的集合定理3.2设X是T1良滤空间. 然后Q（X，τ）= Q（X，τ K）。证据很容易检验Q（X，τ K）<$Q（X，τ）。相反，我们证明了Q（X，τ）<$Q（X，τ K<$）。设K∈Q（X，τ）和{C i|i∈I}是（X，τ K<$）中的闭子集族，{K <$C i|i∈I}满足有限交性质。它表明K在τ K_∞中是紧的。接下来，我们需要检查i∈I（K<$C i）/=<$.根据引理3.1，我们有K<$Ci∈ Q（X，τ），对所有i∈I。假设i∈I（KC i）=0。若ce（X，τ）是弱滤波的，则存在某些i0∈I，使得K∈Ci0=K，这与有限交集性质相矛盾。因此，K∈ Q（X，τK<$），这意味着Q（X，τ）<$Q（X，τK<$）。Q推论3.3设X是T1良滤空间. 故（X，τ K）是K的定义。4CK-滤子定义的拓扑与k-空间在这一节中，我们对赵和Xi在[12]中提出的一个问题给予了肯定的回答。对任意T0空间（X，τ），设CK（X）是X的所有非空闭紧子集的集合.偏序集（CK（X），K）是有向完备的：对任何有向子集D <$CK（X），D=CK（X）D。定义4.1（[12]）拓扑空间（X，τ）的子集U称为CK-开的，如果对于任何过滤族F ∈CK（X），|F|= 1，也就是说， F是单例，子集被称为CK生成的拓扑。定义4.2（[12]）拓扑空间（X，τ）的子集U称为CK-开的，如果对任何过滤族F∈CK（X），去你的，去你的F∈ F。由所有CK-开子集作为基生成的拓扑称为CK -生成拓扑.显然，X的每个开集都是CK-开的，每个CK-开集都是CK-开的。 在[12，引理2.9]中证明了Hausdor空间的子集是CK-开的 当且仅当它是CK开的。下一个例子表明T1空间的CK-开集不需要是CK-开的。例4.3设（N，τ cof）是所有具有有限拓扑τ cof的正整数的集合N。故（N，τcof）不是很好的滤波。然而，对于任意x∈N，x的任意开邻域U和紧子集的滤波族{Ki}i∈I，i∈IKi={x}<$U意味着存在i0∈I使得Ki0<$U。Q. He等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）7783∈ ∈0定义4.4（[12]）i）拓扑空间（X，τ）称为CK-滤器定义，如果τCK=τ。ii）一个拓扑空间（X，τ）称为CK滤子定义的，如果τCK滤子=τ。定义4.5（[12]）空间X是k-空间（或紧生成空间），如果X的子集U是开的当且仅当对任何紧集K，U∈K在子空间K中是开的。 等价地，子集B是闭的当且仅当对任何紧集K，B∈K在子空间K中是闭的。引理4.6（[12，定理2.4]）每个Hausdor空间都是CK-滤波器 定 义 的 。Xi和Zhao在[12]中提出了Hausdor空间定义的空间是否是k-空间的问题。我们现在对更一般的情况给出一个肯定的答案如下。定理4.7任何CK-滤器定义的空间都是k-空间。证据 设（X，τ）为CK-滤波器定义。 假设U <$X使得U <$K对任何紧集K<$X 在 K 中 是 开 的 。 设 {Ki}i∈I 是 一 个 紧 闭 集 的 过 滤 族 ， 使 得i∈IKi={x}<$U. 则存在i∈I使得Ki <$Ki0 为i≥i0.因此，我们假设每个Ki都包含在Ki0 中 。 则 每 个 Ki 都 是 紧 空 间 Ki 的 闭 子 集 。 假 设 对 于 所 有 i ∈ I ，Ki−U=Ki<$U C=/i，则由于U<$K i在K i中是开的，K i−U= K i <$U C在K i中是闭 的。因此，每个K i−U在K i0和{K i|i∈I}满足有限交集性质。没有iI（Ki−U）=iIKi−U=K i，其中Ki0是紧的。因此，存在一个iJsuch，KiU。 如果（X，τ）是CK-滤器定义的，则U∈τCK=τ，因此U在X中是开的。 因此，X是一个k空间。Q利用定理4.7和引理4.6，我们得到了以下结果，它给出了Hausdor空间的一个新的推论4.8 Hausdor空间是一个k-空间，如果它是CK-滤器定义的。5第一，具有有界完备DCPO模型的可数空间是清醒的众所周知，每一个清醒的空间都是经过精心过滤的。但存在一个非清醒的良好过滤的T1也有dcpo的Scott空间是良好过滤的，但不是清醒的（参见[6]，[4，例2.6.1]，[13]）。甚至有连贯的良好过滤的空间是不清醒的。我们现在表明，如果我们加上第一个可数性，那么连贯性和充分性意味着清醒。利用这一结果，我们推出：如果第一个可数T1空间具有有界完备dcpo模型，则它是sober的.引理5.1设X是一个凝聚的第一可数空间。 那么，当且仅当它是清醒的时，X是良好过滤的。证据 我们只需要证明X是清醒的，如果它是经过良好过滤的。假设X是一种过滤器。如果X不是这样，则存在不可约闭子集X，84Q. He等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）77˜˜˜∞则对一个nyx，y∈Max（X∈），存在两个相邻的表我J{Vx|i∈N}，其中Vx<$Vx且{Vy|j∈N}，其中Vy<$Vy。Sin ceMax（X）J我一期+1我J一期+1我不是任何一个点的封闭。我们考虑Max（X），也是不可约的X的极大点的集合，尽管它可能不是封闭的。是不可约的，Vx<$Vy<$Max（X<$） <$，其中a nyi，j∈N。如果nyi∈N，则我们称e我a i∈Vx<$V y<$Max（X）.通过选择每个ai，x的每个邻域包含除有限元素外，所有元素均为ai。 因此，{a i|i∈N}<${x}是紧的。 同样地，{a i|i ∈ N}<${y}也是紧的。 通过X的相干性，我们有{a i|i ∈ N}=（{a i|i∈ N}<${x}）<$（{a i|i ∈ N}<${y}）是紧的。让A0={a i|i ≥ 0，i ∈N}，A1={ai|i ≥ 1，i ∈N}，A2={a i|i ≥ 2，i ∈N}，···，A k={ai|i ≥ k，i ∈N}，···.注意，A k=（{a i|i ≥ k，i ∈ N}<${x}）<$（{a i|i ≥ k，i ∈ N}<${y}），则Ak是由y凝聚而成的紧的，而k=0Ak=0，这就破坏了良充性。Q注5.2（1）所有实数的集合R都具有余可数拓扑，它是相干的（因为只有有限子集是紧的）和良好的过滤，但它是不稳定的。(2)所有正整数的集合N配备了有限拓扑是第一可数和连贯的（在这种情况下，每个子集是紧的），但它是不清醒的。对于任何有界完备dcpoP，Scott空间dcpoP是相干的[4，推论4.1.8]和良好过滤的[8，推论3.2]。 因此，极大点空间Max（P）也是相干的和良好的过滤。因此，上述定理蕴含了以下结果。推论5.3如果第一可数空间有一个有界完备dcpo模型，则 它是清醒的。在[12，推论2.14]中，证明了每个Hausdork-空间（特别是第一个可数Hausdor k-空间）都有一个有界完备dcpo模型。上述结果表明，清醒性是第一个可数T1空间具有有界完备dcpo模型的必要条件.然而，我们不知道以下问题的答案问题1. 如果一个k-空间有一个有界完备dcpo模型，那么它一定是sober的吗？引用Q. He等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）7785[1] Gierz，G.，K.H. Hofmann，K. Keimel，J.D. Lawson，M.W. Mislove和D.S. Scott，“连续格 anddomains86Q. He等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）77[2] Goubault-Larrecq，J.，“ Non-Hausdorff topology and Domain Theory: Selected Topics in Point-SetTopology”[3] Johnstone，P.，斯科特并不总是清醒的，在：连续格，在：数学讲义，Springer-Verlag，871（1981）282[4] Jia，X. D、“满足连续性和局部紧凑清醒dcpos”，博士论文，计算机科学学院，伯明翰大学，2018年。[5] Jia，X.D、A. Jung和Q.G. Li，A note on coherence of dcpos，Topol.Appl. 209（2016），235[6] 寇，H.，106.对dcpos的承认不一定要清醒，见：Domains and Processes，Semantic Structure onDomain Theory，Kluwer，1（2001），41[7] Lawson，J.，X. Y. Xi，The equivalence of QRB，QFS，and compactness for quasicontinuousdomains，Order32（2015），227[8] Xi、黄毛菊X.是的，和J.D.Lawson，On Well-Filtered Spaces and Ordered Sets.托波尔。Appl. 228（2017），139[9] Xi、黄毛菊X.是的，和D.Zhao，满足Lawson条件的dcpos极大点空间，Topol.Appl.230（2017），417[10]Xi、黄毛菊X. 是的， 和D. 赵文，适充空间及其dcpo模型，数学，结构，计算。 Sci. 27（2017），507[11] Zhao，中国粘蝇D. 美国， 和X. Y. Xi，T1拓扑空间的Dcpo模型，数学学报. 腓 Soc. 164（2018），125[12] Zhao，中国粘蝇D.美国，和X. 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