Walter纳米流体对流稳定性研究

Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）220非牛顿Walter纳米流体沿垂直层的对流不稳定性加拉尔·M穆罕默德？莫阿蒂米德哈桑·哈桑埃及开罗Roxy Ain Shams大学教育学院数学系Ar ticlei n f o ab st ract文章历史记录：2016年5月11日收到2016年8月5日修订2016年9月29日接受2016年10月13日在线发布JEL分类：76关键词：瓦尔特流体线性不稳定性纳米流体传热研究了粘弹性纳米流体层的线性稳定性。用Walter模型描述了粘弹介质的流变行为.本文用简正模分析方法处理定常对流和振荡对流的运动方程。稳定性分析得到了一个复系数的三阶色散方程.用Routh-Hurwitz理论研究了色散关系。稳定性准则将平面划分为稳定/不稳定区域的几个部分。这表明与非线性稳定性理论有一些相似之处。用图解法分析了弹性与纵波数的关系。数值计算结果表明，粘弹流比牛顿流更稳定© 2016埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。1. 介绍纳米胶体是由基础胶体和纳米颗粒（1-100 nm）制成的工程胶体。纳米颗粒的导热系数和单相传热系数均高于其基础颗粒[1]。纳米流体有许多不同的应用，包括电子芯片冷却和先进核系统的冷却剂。基础流体的物理性质;密度、比热容、热导率和粘度受到纳米颗粒存在的影响。[2]中报道了纳米胶体热物理性质的实验结果。纳米流体的应用研究正在进行中，研究了以牛顿流体和非牛顿流体为基础的不同几何形状的纳米流体。Hayat等人[3-8]研究了具有牛顿/非牛顿基的纳米流体的蠕动输送。考虑了布朗运动和纳米颗粒热泳扩散的综合影响，研究了纳米颗粒在具有柔性壁的通道中的蠕动输运[3]。同时，考虑了对流、混合对流和辐射的热效应对纳米流体蠕动输运的影响[4文献[4]研究了磁流体动力学（MHD）和热辐射对赝塑性纳米流体在具有对流边界条件的锥形非对称通道中蠕动输运的影响。发现该∗通讯作者。电 子 邮 件 地 址 ： gal_moa@hotmail.com（ G.M.Moatimid ） ，mohamed_edu.asu.edu.eg（硕士）。Hassan）。热辐射参数对传热系数有降低作用。在文献[4]中，作者应用相同的蠕动流假设，研究了存在化学反应时的Soret效应和Dufour效应[5]。结果表明，Soret数和Dufour数对体积分数和温度有相反的影响。此外，在[6]中研究了热辐射对纳米流体在满足壁特性和对流条件的通道中蠕动输送的影响。文献[7]中采用了两种导热模型，即Maxwell结果表明，对于纳米颗粒体积分数较高的情况和导热系数较高的情况，两种模型的计算结果有很大差异。Hayat等人[8]分析了具有混合对流的非牛顿Maxwell纳米流体。结果表明，热泳参数的引入使温度分布和热边界层厚度增大。Hayat等人[9，10]研究了拉伸片材和圆盘上的纳米流体流。结果表明，热泳力增加的厚度的热和纳米粒子的体积分数边界层，为在拉伸片材的对流。同时，边界层厚度随着圆盘径向拉伸的增加而减小。Hayat等人研究了具有热辐射效应的非牛顿导电纳米流体流的对流热和质量条件。[11]。作者推断，热泳和布朗运动参数都提高了温度和热http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2016.09.0011110- 256 X/© 2016埃及数学学会。Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。可在ScienceDirect上获得目录列表埃及数学学会期刊首页：www.elsevier.com/locate/joems通用汽车Moatimid，文学硕士Hassan/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）220221边界层厚度Hayat等人[12]讨论了存在多孔介质和内部生热/吸热的情况下，具有对流边界条件的可渗透拉伸表面附近纳米流体的驻点流动。Hayat等人还数值研究了热辐射对Al2O3[13]第10段。扰动与主流的相互作用是对流急流不稳定发展的重要因素。对流湍流的不稳定机制是由于能量从主湍流转移到速度扰动，对应于热模的存在。此外，对于对流对流，由于加热而引起介质的不稳定分层。不稳定的原因是 密度、温度和重力不均匀性的影响。因此，在热不稳定性和流体动力学扰动之间存在相互作用，这使问题复杂化[14]。Manosh等人[15]研究了垂直加热平板上自由对流边界层湍流相对于二维波扰动的稳定性。他们推导出了流体区域的外部几何形状对稳定性判据的影响是值得考虑的。Sheu[16]提出了粘弹性纳米流体水平层中自然对流的线性稳定性分析。他推断，振荡不稳定性在底部和顶部重的纳米粒子分布中都是可能的。非牛顿流体的对流换热在许多应用中具有相当重要的意义，例如食品加工、石油回收、环境中污染物的扩散以及化学和材料工业中的许多过程。研究非牛顿流体不稳定性的最早工作是由Fong和Walters进行的[17]。他们发现，根据无限小扰动理论，弹性会使湍流不稳定。但这与一些实验结果不一致。Hayat等人[18-30]研究了许多类型的非牛顿流体，如粘弹性、Burgers、假塑性、Prandtl、参考文献[18]研究了在存在速度和热滑移条件下Walters-B流体在柔性壁通道中的蠕动输送。同时，文献[19]采用此外，在存在粘性耗散和热泳效应的情况下，研究了Powell-Eyring流体通过具有柔顺壁的弯曲通道的蠕动流动作者推导出Powell-Eyring流体参数对电磁场的影响Hayat等人[22]研究了具有柔性壁的平面通道中普朗特流体的混合对流蠕动流，以及施加的磁场和霍尔电流的影响。本文对Burgers流体的蠕动流动和传热特性进行了理论分析此外，相同的非牛顿模型，Burgers作者推断，温度分布的情况下，傅立叶定律相比，CattaneoChristov热交换模型。此外，研究了非牛顿磁性Sisko纳米流体在双向拉伸表面上的流动[26]。结果表明，布朗运动和热泳参数对纳米颗粒浓度分布的影响是相反的。此外，温度和纳米颗粒浓度分布增强，磁参数值越大。Hayat等人[27]研究了通过蠕动弯曲通道的非牛顿假塑性（剪切变稀/剪切变稠）流体流动，以及壁特性的影响。结果表明，剪切变稀型流体的壁面换热系数比剪切变稠型流体的壁面换热系数大。文献[28]研究了拉伸圆柱体上粘弹性导电介质流中的均相和非均相反应。据观察，非均相反应参数降低了温度分布。采用传热和传质的对流条件来研究倾斜磁场对倾斜通道中不可压缩Williamson流体的蠕动流的影响[29]。此外，Hayat等人[30]研究了Jeffrey纳米流体在具有投诉壁的通道中的混合对流蠕动流。研究内容包括粘性耗散、热辐射、焦耳热、霍尔效应和离子滑移效应。非牛顿流体稳定性分析的最新进展是研究具有非牛顿基底的纳米流体的稳定性。Nield和Kuznetsov[31]研究了牛顿纳米流体水平层的线性稳定性分析。他们发现，典型的纳米流体（路易斯数很大）的主要效应是由于浮力效应与纳米粒子的守恒。Umavathi[32]开发了先前的研究，以研究粘弹性纳米流体的稳定性。他发现，与普通的纳米流体相比，纳米流体具有更好的稳定效果。在以前研究的基础上，Sheu[16]研究了具有非牛顿Oldrophil-B基胶体的纳米胶体仔细阅读文献[16，31，32]表明，基本状态被认为是静止的，这意味着基本状态下的流动速度为零。这在逻辑上对水平的湍流是有效的，但是对于垂直的湍流会发生什么呢？ 为了找到这个问题的答案，我们研究了垂直粘弹性纳米流体层的流动。因此，本文研究了非零定常流动速度的存在。在下面的计算中，将讨论问题的稳定/不稳定因素。采用Walter的粘弹流体模型来描述粘弹性纳米粘弹流体的流变行为。讨论了布朗扩散、热泳扩散和粘弹性对稳定性判据的影响。在第二节中，给出了问题的物理描述，包括基本方程和适当的边界条件。 第三节推导了速度、温度和纳米粒子体积分数的基态形式。第四节给出了微扰态的基本方程。第5节考虑两种情况：第一种情况考虑根据Routh-Hurwitz条件的稳定性分析;第二种情况考虑由于色散关系的稳态和振荡状态而引起的稳定性分析。在第6节中，我们导出了过渡曲线，并根据弹性参数讨论了稳定性图像。最后，在第7节中，我们根据稳定性分析的结果2. 数学公式考虑一个无限大的不可压缩粘弹性纳米流体在垂直层，受到横向温度梯度。 假设湍流发生在位于平面x=0和x=h的两个垂直边界之间。这些板块被认为作为热传导平行板，其中板x=0处的温度保持在T1。 同时，板x=h处的温度保持在T0，其中T0/=T1。粘弹性非牛顿流体的流变学是由Walter描述的，以模拟动量方程。重力加速度g沿着222通用汽车Moatimid，文学硕士Hassan/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）220FKρ0αfλ=v=0，T=T1，φ=φ0，， x=0HH2（ρc）我α沿着垂直的方向，Z轴沿着水平面。的刚性边界-φ10Pr Dt= −λx+λx2−λ+vqxx2DvrPvr= − +μ −η∂乌夫河乌夫河+vKKKK-你好-200x100xKDt=Lex2+Lex2，（11）KKKKKKK体积分数，DB是布朗扩散系数，η是弹性参数，P是压力，DT是热泳扩散系数，cp是纳米颗粒cf是液体的比热，T是温度，t是时间。如上所述，温度和体积分数在边界处假定为常数。另外，两个垂直板是静止的。因此，速度、温度和体积分数的无滑移边界条件为：和v=0，T=T0，φ=φ1，， x=h、（六）Fig. 1. 物理模型和坐标系。在进行数值计算之前，可以方便地将得到的方程改写成适当的无量纲形式。这可以以多种方式完成，主要取决于特征长度、时间和质量的选择。考虑以下无量纲形式，取决于特征长度=h，特征时间=h2/αf和特征mass=μh3/αf，其中αf为该介质的热扩散率。其他无量纲量如下所示x=x，t=tαf，αP=φ=μα，φ为K ，vi=vih，FF⎫⎪⎬.（七）使用，其中x轴垂直于气流通道，y轴H2∗φ−φ0T−φ00被认为是常数，即分别为φ0和φ1康-根据边界处的温度的恒定值，边界处的体积分数的定边恒定值物理模型的草图是由Eq.给出的tties。(7)，运动方程（2-4 ），在为简单起见去掉星号之后，可以重写为：乌夫河示于图1.一、Boussinesq近似通过手头的问题速度矢量v取为（u，v，w）。埃克斯河=0，（8）不可压缩性条件产生吉夫R1DvrPRK. -是的2012 v r阿勒特X22003年vrQK埃克斯河=0，（1）vr2002年vrQvq根据Buongiorno的工作[1]，在纳米流体的情况下，方程与纯纳米流体的方程相同。-xqX2-200x100x阿克斯克（九）是的 考虑到流体的空间变化粘度μ可以忽略不计，根据−RMr+Rar T−RNrφ沃尔特DT100TNBφTNB NA TT2ρ0Dt阿克斯X2. .2Σ3阿勒特X2qxx2Dt=x2+Lexx+勒什（10）第一章RvrQ X2K2002年vrQQvqKK 阿克斯和Dφ1∂2φNA2T其中，D=+vk和gr=（0，−g，0）是重力加速度。其中，Rcr=（0，Rc，0），并且c=M，a和N。Dtt矢量。阿克斯克在物理上，稀释的纳米流体悬浮液（小的纳米流体浓度值）可以在纳米流体中形成。根据Boussinesq近似，将纳米粒子的导热系数k视为常数.因此，能量方程可以写成[16]的形式。考虑纳米颗粒体积分数φ）另外，脾气-自然梯度被认为是一个很小的量。 因此，可以从方程中排除ρ0βTφT项。(5).它遵循方程中ρ g项的贡献。 (2)，这将产生. 公司简介2002T- 是的联系我们D T.∂ T ∂TΣΣ当量(9)[31]第30段。（ρc）fDt=k<$x2+（ρc）pDB阿克斯克阿克斯克+T0阿克斯克、阿克斯克（三）其他无量纲数定义如下：PR=μ是普朗特数。体积纳米颗粒分数，产生ηαf是弹性参数。h2μDφ2φDT 2TR=ρ0gβTh3（T1−T0），是热瑞利数。Dt=DBx2+T（4）第二章aμαfk0kR=（ρpφ0+ρ0（1−φ0））g h3，是基本密度瑞利数。的 负 y方向。 的 笛卡尔 坐标 （x，y，z）是F，T=T1-φK+ ρgr，（2）通用汽车Moatimid，文学硕士Hassan/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）220223μαf=AB0N并且纳米流体的总密度ρ由下式给出：ρ=[φ ρp+（1 − φ）ρ0（1 − βT（T-T 0））]。（五）其中，ρp是颗粒密度，ρ0是MμαfR=（ρp−ρ0）（φ1−φ0）g h3，是浓度瑞利数。NDT（T1−T0）是修正的扩散率比。DBT0（φ1−φ0）β-葡糖苷酸是热体积膨胀，φ是纳米颗粒（ρc）pN=-φ），是修改后的颗粒密度增量。（φ不ρ0cf1224通用汽车Moatimid，文学硕士Hassan/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）220=2KBB⎠⎝RBBPR阿勒特231埃什基23埃什基4.4V+4.4V阿勒特123埃什基乐乐1X2Zeroz2D x2+B乐BDxd x+B乐一BDx⎝11∇和Leαf是路易斯数。DB相应的边界条件，如方程中所示。(6)，成为根据等式(14)和（16），压力必须仅是y的函数。因此，我们可以假设A=<$P b/<$y，这是一个关于x的常数。因此，方程中的基态速度的一般解。（15）可以写成v=0，T=1，φ=0，x= 0- 是的（十二）vb=c1x+c2x2+c3x3（23）v=0，T= 0，φ= 1，x= 1现在，为了研究系统的稳定性，我们假设速度、温度、体积分数和压力对基本状态有无穷小的扰动，使得其中，常数系数c1− c3在附录中给出。4. 扰动态vr=vr+vr，T=T+Tr，φ=φ+φr和P = P + Pr。（十三）为了得到扰动状态的方程，我们代入从基本状态的解决方案，Eqs. （21）-（23）进入基本这意味着速度的基本状态表示可变的流动速度。这是一个在计算过程中确定的未知数。 在下面的部分中，我们确定基本和微扰状态的解决方案等式(9)- （11）.为了消除压力梯度形式Eq. (9)我们用两次curle（curl curl）e y来表示这个方程（见[16，31，32]）。因此，线性形式的扰动状态的方程在去掉破折号之后变为：3. 基本状态1.一、-是的2vcx+cx2+cx3 2v[16，31]），则认为在基本状态下，微流体是静止的。从物理上讲，这个假设对于水平湍流可能是正确的根据当前问题的几何形状，由于重力而垂直移动，然后流体不能被控制，=4v+Ra2T−RN2φ. -是的 - 是的阿勒特好吧Σ埃什基在基本状态下处于静止状态因此，基本状态只沿y轴，速度矢量变为。2Σ ∂2.2Σ2vKvr=（0，v，0）. 根据连续性Eq。 (8)，这个流媒体速度v只能是x的函数。此外，温度和-2c1x+ 2c2x+ 3c3x∂y∂xk∇-12c3yx，（二十四）体积分数梯度沿着气流的法线方向。 动量（Eq。 9）产率，T+。c x+c x2+c x3简体中文=T+NB.T−∂φΣP2Pb第1章23个月LeBronxk阿克斯克0=−x，（14）NB NATPbd2vb和−2 乐（25）0=−y+d x2−RM+Ra Tb−RNφb，（15）和P2Pbφ+。cx+cx2+cx3φ=12φ+NA2T，（26）0= − z。（十六）能量Eq。(10) 给d2TNdφ d TN N.d T2体积分数Eq. (11) 成为1d2φbNAd2Tb0 =Le d x2 +Le d x2。（十八）Eqs的解（17）和（18）在边界条件下（12）形式其中2=102+102。我们使用前面的公式。 (24）-（26）对于下面部分中的扰动状态，建立色散关系，从而研究线性情况下的稳定性分析。5. 线性稳定性分析为了确定线性稳定性的色散关系，我们的分析将基于简正模技术。因此，所有扰动量可以表示为：1−eNB（1−N）（1−x）LeA⎛ vV（x）i（4y+m z+ωt）Tb=和1−eNB（1−N），（十九）T=θ（x）eφ（x），（27）LeABB在以前的水平运动研究中（例如-λc1x+c2x2+c3x30为0.（十七）v通用汽车Moatimid，文学硕士Hassan/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）220225B一一⎠φ=（1 − N）x + N（1 − T）。（二十）根据Nield和Kuznetsov[31]，大多数纳米胶体具有102至103量级的大的路易斯数Le值。同时，修改后的扩散率比NA不大于10。通过类比，Eqs. （19）和（20）具有近似形式，Tb=1−x，（21）φb= x。（二十二）其中，i=m-1，4和m是沿y方向的波数，满足边界条件的θ（x）和θ（x）(6)可以写成V（x）= v0sin π x，θ（x）= θ0sin π xθ（x）= θ0sin π x.（二十八）替换Eqs。(27)（28）在《易经》中。 (24)- （26），然后将所得方程乘以sin π x。 通过从x=0到x=1对这些方程进行积分，并按部分进行某些积分，可以将获得的方程设置为矩阵z方向，ω是生长速率。此外，V（x）的解226通用汽车Moatimid，文学硕士Hassan/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）2202=我..我......12 3.. 0 0 kk k0.. 00h0h1h2h3..11..一N0我我n2+n2..n2+n2我我图二、系统 的稳定性图，其参数为：Pr = 1000，Rn = 5000，Ra = 3000，Le = 100，Rm = 5000，m = 0。按地区划分 当这些条件满足时，稳定区域出现。.M−Ra2Ra2。v0男22 0θ00.0Σ0非常满意。 与此同时，其中一个无效条件（至少）给出了一个不稳定的区域。 这表明一些与非线性稳定性理论相似这些条件将NAδ2乐M333000以图形方式表示，以讨论其中， δ2=π2+42+m2是 的 总波数和a2=1（π2+m2）。其他元素，M11，M22和M33在附录中定义。非平凡的解决方案的方程。(29)要求系数的决定因素必须消失。因此，直接获得M11M22M33=0，这产生以下色散关系h0ω3+ （ h1+ ik1 ） ω2+ （ h2+ ik2 ） ω + （ h3+ ik3 ） = 0.（ 三十）其中，系数k1−k3和h0−h3在附录中给出。根据由Eq. (27)、 当iω的实部为负时，系统变得稳定。这对应于等式中ω的所有根的情况。(30)虚部的系数为正。根据Routh-Hurwitz理论， 稳定性标准可以写成[34]h0H1<0，（31）0k1下一节。研究稳定性准则的另一种算法是确定从色散关系方程的稳态和振荡状态。(30).为此，我们假设ω=iωi，然后根据色散关系式（30）中弹性参数λ的系数收集实部和虚部，以获得以下形式λ（λ3+iλ4），（34）（1+i2）其中，n1=n1ω3−n2ω2−n3ωi+n4，ω2= −n5ω2+n6ωi+n7，ω3= −m1ω3+m2ω2+m3ωi−m4，和ω4= m5ω2− m6ωi− m7。其中，系数n1−n7 m1-m7 定义为. h0h1h20.阑尾当ωi=0时，出现稳定的对流状态，0k1 k20>0，（32）0小时0小时1小时20 0k1k2和在Eq.中给出的关系（34）倾向于形式λS =.−n4m4− n7m7<$+ i。−n4m7+ n7m4。（三十五）4747小时0小时1小时2小时30 00k kk 0 0h0h1h2h30<0的情况。（三十三）1 2 30 0 0k1k2k3前三个条件，在Eqs。(31）-（33），控制线性稳定性条件。这些条件的数值计算将飞机分为几个稳定/不稳定弹性参数λ必须是实数。 因此，前面的等式的虚部。(35)必须消失这给出了方程n7 m4 − n4 m7 = 0。该方程的简化给出了一个共同的因子括号，该因子括号倾向于对压力梯度进行限制，其形式为：1A= 2（R a− 2 R M− R N）。（三十六）在稳定性条件[31-33]的计算过程中，上述限制的应用=，（二十九）通用汽车Moatimid，文学硕士Hassan/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）22022712图三. 系统的稳定性图，其参数为：Pr= 1000，Rn= 5000，Le= 100，Rm= 5000，m= 0。图四、系统 的稳定性图， 其 参数为：Pr = 1000，Ra = 3000，Le = 100，Rm = 5000，m = 0。对于稳定性条件的所有根。这将在下一节中详细讨论。 同时，当ωi/=0时，出现振荡态.只从Eq中取实部。(34)，振荡状态的色散关系可以写为：首先，稳定性准则，这取决于Routh-Hurwitz条件方程。(31)（33）讨论。其次，根据弹性参数的稳态和振荡状态的图形表示，讨论了稳定性，λOSC= 2019年12月24日102+102.（三十六）等式(35) 和（36）。本研究的主要目的之一是讨论根据弹性参数的非牛顿流变效应从图形上看，曲线偏离稳态意味着参数的不稳定效应。这将在下一节中以图形方式进行说明。6. 结果和讨论在这一节中，我们将以图形的方式讨论稳定性准则。我们的讨论分为两类。彼得。因此，我们确定我们的注意力是在纵向方向4上绘制弹性参数λ和波数之间的关系。在Eq中行列式的扩展。(31)给出了λ的二阶方程，并对方程中的行列式进行了求解。(32)给出λ的四次方程。与此同时，在Eq. (33)产生λ的六阶方程。 预计这些方程的一些根是实的，而其他的是虚的。限制的适用228通用汽车Moatimid，文学硕士Hassan/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）220图五、系统的稳定性图， 其 参数为：Pr = 1000，Rn = 5000，Ra = 3000，Le = 100，Rm = 5000。图六、 具有以下参数的系统的稳定性图：Rn = 0.3，Ra = 3000，Le = 100，Rm = 5000，m = 0。由方程式(36)在计算期间，仅对所有条件（31）-（33）导出实根。在图2中，线性稳定性条件（31）用符号S表示的区域是稳定区域，而用符号U表示的区域是不稳定区域。虚线表示所有条件（31）根据不等式（31）这意味着，在虚线下的稳定区域曲线是一个非常薄的可忽略的层，代表范围0<λ≤10-4的弹性参数。这意味着在具有非牛顿基的纳米流体的情况下同时，对于牛顿基的纳米流体，这种机理并不存在。图 中 的实曲线。2代表第二个以及所有条件（31）同时，虚曲线表示条件（32）的四次方根以及条件（33）的五次方根和六次方根。虚线曲线下的阴影区域这是由于不同时满足稳定性条件（31）因此，对于弹性参数的小范围（图中的不稳定区域），不稳定性是流体动力学性质的，这是由于逆流之间涡流的发展图3说明了热瑞利数对稳定性图的影响。可以看出，热瑞利数根据稳定区域随着瑞利数的增加而增加来稳定纳米流体层。Sheu[16]得到了类似的结果，其中通过增加瑞利数获得通用汽车Moatimid，文学硕士Hassan/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）220229图7.第一次会议。系统的稳定性图，其参数为：Pr = 1000，Rn = 5000，Ra = 3000，Le = 5，Rm = 5000，m = 0。图8.第八条。系统的稳定性图，具有以下参数：Pr = 100，Rn = 300，Ra = 100，Le = 100，Rm = 500，m = 0.5。颗粒密度使纳米流体层稳定。这是由于浓度瑞利数的稳定作用而发生的，如图所示。四、物理上，波数的大值对应于短波长。换句话说，对于大的波数值，波长非常小，这引起稳定的流体波。这在图5中示出，其中横波数m的增加使纳米流体波稳定。Chieruzzi等人实验获得的结果[35]显示添加1.0重量% (wt.% 术语“溶质重量”是指纳米颗粒与溶剂的重量百分比，即溶质重量/溶剂重量。碱盐使固相比热增加15%至57%，液相比热增加1%至22%增加规格纳米流体的加热意味着其加热能力的降低。换句话说，增加纳米流体温度倾向于容易地蒸发纳米流体并且引起纳米流体颗粒的更高不稳定性。因此，增加基本流体的比热c f，根据纳米颗粒的存在，增加普朗特数（Pr），并稳定了胶体层，如图所示。 6（由于增加了稳定区域）。公式中的修改后的颗粒密度N B(25)由于正交函数的积分而被消除。以类似的方式，方程中的修改后的扩散率比NA。(29)由于确定性膨胀而被取消。此外，当应用压力梯度方程的限制时，基本密度瑞利数R M被取消。(36).这意味着稳定性分析不受230通用汽车Moatimid，文学硕士Hassan/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）220222δ2−-6c3−（b3+b4）24（2c2+3c3）320Σ33 4二、43.141ΣΣ+R a，c3=n4=（a 3a 4−b 3b 4）+42+4mM33 = i ω +（a4 +ib4）.Σ..1ΣΣ212压力22压力32 Pr3 4 3 4203 4热泳参数同时，布朗运动效应仅通过Lewis数出现刘易斯的增长a3=δ，a41=Leδ，数字使运动不稳定，如图所示。7.第一次会议。另一种研究稳定性准则的方法是通过对定常弹性参数λS（λS的实部）进行b= 14。1−λδ2π（2c+4。λc2−δ2π。1C+3c3）+c。1−1+ c。1- 3英里，当量（35））和弹性参数λOSC的振荡状态（如在Eq. （ 36））。 图图 8示出了由下式表示的稳态λS：02001年。14121Σ64 π 238.13Σ Σ8π2实曲线（零增长率ωi=0）和振荡态λOSC（对于非零增长率ωi/=0）。 该图显示，b3=42c1+3−2π2c2+4−4π2C3 、b4=b3振荡状态偏离稳态的小纵波数范围0≤4≤ 0.6。 但对于更高的色散关系Eq. (30) 系数h0−h3 和k1−k3给出的值的波数（短波长），在任何地方稳定（根据4≥0.6的让步曲线）。h0= −a1，h1= −a1b3−a1b4−b2，这证实了先前关于横波数如前图所示。五、7. 结论在本文中，我们研究了粘弹性纳米流体垂直层的稳定性。在垂向流的情况下，考虑在垂直方向上存在垂向流速度是方便的。h2=a1（a3a4−b3b4）+a2（a3+a4）−b2（b3+b4），h3=a2（a3b4+b3a4）+b2（a3a4−b3b4），k1= a1a3+ a1a4+ a2，k 2 = a 1（a 3 b 4 + b 3 a 4）+a 2（b 3 + b 4）− b 2（a3 + a 4），k 3 = −a 2（a 3 a 4 − b 3 b 4）− b 2（a 3 b 4+ b 3 a 4）。常数m1−m7 n1−n7 出现在Eqs。 (34) 和(35) 被定义为稳态此外，预计非牛顿流变学和纳米颗粒对稳定性图具有相当大的影响。运动方程的解M=1 δ2，n121= −2c0简正模技术导致具有复系数的三次色散方程。我们研究的主要结果可以概括为以下几点：1. 应用M=1δ2（an=−1c2（a123+a4）+2c0，+ a）、2. 非牛顿基纳米流体比非牛顿基纳米流体稳定牛顿基础。3. 热瑞利数使纳米流体层稳定。4. 稳定性受到压力条件的限制220.3 4- 是的.. 1 1ΣΣ Σ64π2梯度（方程式(36)）.这个条件给出了所有Routh-Hurwitz条件的实值5. 颗粒密度使纳米流体层稳定。6. 普朗特数（Pr）由于以下原因而稳定纳米胶体层：m=−1δ2（a a−b b）−1c2（a+a）Σ1基础流体比热的增加cf.二、1.一、 十一尺。 1 3ΣΣ Σ确认-4δ4c1+c26−4π2+c38−8π2，作者对评审人员的宝贵努力和宝贵意见表示深切的感谢，丰富了文章。12n=c（aa-b b）+（a）+a）。42+4m²附录× −δc1+c2+6c36−4π2+6C3−（b） +b）δ−14δ2（2c+3c）常数c0−c如下3，在Eq. （23），可列为3 4二、122 3. 十一尺。 13ΣΣΣc=. π4+44+m4π，c1个P1= − −R1 1+R−R，+4c04c1+c26−4π2+c38−8π2，01个P12个月212岁1 1362M3a6N16m= −c（a a−b b）−（a b+b a）<$4（2c+ 3c）121-4δ2 1c+c。 1−1+c。1-3英里，出现在方程中的常数M11，M22和M33。（29），可写成如下M11=ia1ω+（a2+ib2），M22=iω+（ a3+ ib3），4126.24π2Σ38 8π212+ 4+4mc1+c2+6c3、ΣC2=RM−Ra+RN.4203 434343 4223Σ2通用汽车Moatimid，文学硕士Hassan/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）22023103 422201364π2304264π2388π2其中，常数a1−a4和b2−b4由下式给出：× −δc1+c2+6c36−4π2+6C3a1=−12 Prδ2+1λc2，2−（a3b4+b a）−14δ2（2c+3c3）a=−1c2−λ。42+4mδ2.C+C+6 c. 1−1+6c，+4c2。1C+c。1−1+ c。1-3英里，212232通用汽车Moatimid，文学硕士Hassan/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）2202.ΣΣ334223n6= −2c0（a3b4+b3a4）−（b3+b4）1234π23关于Walters-B.J. 热质转换96（2016）210-217.72033 43 43422341264π2388π2+（a3a4−b3b4）−24δ041（2c2+3c3）264 π 2388 π20 412.Σ.没关系1m=δ（b+b）−14（2c）+3c）[8] F.M. 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