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Ⓢ可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记345(2019)3-35www.elsevier.com/locate/entcsDomain-完备与LCS-完备空间马修·德·布莱希特a,1,2a日本京都京都大学人类与环境研究研究生院Jean Goubault-Larrecqb,3,4 Xiaodong Jiab,3,5Zhenchao Lyub,3,6bLSV,ENSParis-Saclay,CNRS,Universit'eParis-Saclay,法国摘要我们研究连续dcpos的Gδ子空间,我们称之为domain-完备空间,和局部紧sober空间的Gδ子空间,我们称之为LCS-完备空间。这些空间包括所有局部紧的sober空间--特别是所有连续的dc p-空间,所有在C e c h意义下p-上完备的空间,以及所有拟波兰空间--特别是所有波兰空间。我们证明了LCS-完备空间是sober,Wilker,紧Choquet-完备的,完全Baire的,特别是-consonant,consonant的;基于可数的LCS-完备空间(分别为,域 完备)空间是准波兰空间;可度量化的LCS完备(分别, 域完备空间是完全可度量化的空间。我们包括两个应用程序:在LCS-完备空间,所有连续的赋值扩展到措施,和次线性预测形成一个空间同胚的凸Hoare powerdomain空间的连续赋值。关键词:拓扑,Domain理论,拟波兰空间,Gδ子集,连续赋值,测度1动机让我们从下面的问题开始:对于哪类拓扑空间X,X上的每个(局部有限)连续赋值扩张到X上的一个测度及其Borelσ-代数是真的?这个问题已经得到了很好的研究,克劳斯·凯梅尔和1 第 一 作 者 得 到 了 JSPS 核 心 到 核 心 计 划 的 支 持 , A 。 高 级 研 究 网 络 和 JSPS KAKENHI 资 助 号18K11166。2电子邮件:matthew@i.h.kyoto-u.ac.jp3本研究得到了Labex DigiCosme(项目ANR-11-LABEX-0045-DIGICOSME)的部分支持,该项目由ANR运营,是Idex Paris-Saclay(ANR-11-IDEX-0003- 02)“未来投资”计划的一部分4电子邮件:goubault@ens-paris-saclay.fr5电子邮件:jia@lsv.fr6电子邮件:zhenchaolyu@gmail.comhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2019.07.0141571-0661/© 2019作者。出版社:Elsevier B.V.这是CC BY许可下的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)。4M. de Brecht等人/理论计算机科学电子笔记345(2019)3Baire辅音完全Baire完全ChoquetChoquet完全收敛LCS-完全辅音清醒Wilker(Hausdorff空域完备的局部致密清醒剂连续完备拟度量(d-Scott拓扑)拓扑完备的连续dcpo准波兰的完备度量ω-连续DCPO波兰图1.一、Domain-完备空间和LCS-完备空间与其他空间类的关系吉 米 · 劳 森 ( Jimmie Lawson ) 在 [24] 中 很 好 地 完 成 了 它 。 Mauricio Alvarez-Manilla等人[2]的一个结果(也参见Keimel和Lawson论文中的定理5.3)指出,每个局部紧清醒空间都适合。局部紧sober空间是一个相当大的空间类,包括许多非Hausdor空间,特别是Domain理论中的所有连续dcpos。然而,这样的结果对于一般的测度论者来说用处有限,因为他们习惯于研究波兰空间,包括像Baire空间NN这样的空间,它绝对不是局部紧空间。把上面的定理推广到下面更大的空间类并不太难(也放弃局部有限性假设):定理1.1设X是局部紧sober空间Y的G δ子集的(同胚)。X上的每个连续赋值ν扩张到X上的一个测度及其Borel σ-代数。我们把这个结果的证明推迟到第18节。关键是,我们在一类空间上确实有一个测度扩张定理,这类空间既包含Domain理论的连续dcpos,又包含拓扑测度理论的Polish空间。我们称这样的空间为LCS-完备的,我们知道这可能不是一个最佳的名称。拓扑完全(Topologically complete)是一个更好的名称,如果它还没有被采用的话[5]。另一个值得注意的空间类是拟波兰空间类,由第一作者发现并研究[7]。这个类推广了ω-连续dcpos和Polish空间,我们将在第5节中看到LCS-完备空间类是一个真超类。我们还将看到,没有基于可数的LCS完备空间不是准波兰的。因此LCS-完备空间可以看作是拟波兰空间概念的一个推广,并且这个推广仅对非可数基空间是严格的M. de Brecht等人/理论计算机科学电子笔记345(2019)35一般来说,我们的目的是找到LCS-完备空间,以及相关的域完备空间内的景观形成的其他类的空间。结果总结见图1。灰色区域表示基于可数的空间发生的情况:对于这样的空间,灰色区域内的所有类都是一致的。我们按以下步骤进行。我们在第2节中回顾了一些背景,在第3节中给出了基本定义。 其余的文件(除了最后一节), 命题18,它独立于其他的,并且我们在其中证明了所承诺的定理1.1),是我们在域完备和LCS完备空间上发现的结果,没有特定的顺序。在第4 - 6节中,我们证明了连续完备拟度量空间、拟波兰空间和拓扑完备空间都是LCS-完备的。 然后我们证明了所有的LCS-完备空间都是sober的(第7节),Wilker(第8节),Choquet-complete和事实上更多一点(第9节),Baire甚至完全Baire(第10节),辅音和什至辅音-辅音(第12节)。在这个过程中,我们将在第11节中探索Domain完备空间和LCS完备空间的Stone算子。虽然LCS-完备空间类严格大于Domain-完备空间类,但在第9节中,我们还证明了对于可数-基空间、LCS-完备、Domain-完备和拟波兰是同义的。我们在第13节给出了第一个应用:当X是LCS-完备的,从X到R+的下连续映射空间LX上的Scott拓扑和紧开拓扑重合;因此具有Scott拓扑的LX是局部凸的,允许我们将核紧空间之外的同构定理[14,定理4.11]应用于所有LCS-完备空间类。在续集(第14LCS-完全范畴的性质,分别为:domain-完备空间:可数积和任意余积的存在和计算与拓扑空间相同,但这些范畴既没有均衡器也没有余均衡器,不是Cartesian-闭的;我们还将拟Polish空间范畴中的指数对象刻画为可数基局部紧sober空间。第17节是独立的兴趣,并刻画了紧饱和子集的LCS-完整的空间,在某种程度上让人想起一个著名的定理豪斯多定理的完整度量空间。我们在第18节证明定理1.1,并在第19节得出结论。确认第二位作者感谢Szymon Dolecki为他指出[9,命题7.3]。2预赛我们假设读者熟悉域理论[12,1]和非Hausdor拓扑[13]中的基本概念。我们把拓扑空间和连续映射的范畴写成TopR+表示非负实数的集合,R+是R+加上一个元素∞,大于所有其他元素。我们写≤为任何潜在的预序6M. de Brecht等人/理论计算机科学电子笔记345(2019)3↑OOi=0预序集,以及拓扑空间的特殊化预序。符号↑A表示A的向上闭包,↓A表示它的向下闭包。当然. 当A={y}时,简单地写为↑y,分别为。↓y。 我们为有向并写作,为有向上确界写作,为过滤交叉写作。紧性并不意味着分离,也就是说,一个紧集是一个可以从任何开覆盖中提取有限子覆盖的集合。一个饱和子集是它的开邻域的交集,等价地说,它是专门化预序中的一个向上闭子集。Werie表示po集合Y上的Way-below关系,d↑y表示point的集合z∈Y使得yz.我们将int(A)写为拓扑空间X的子集A的内部,并且X它的开子集格一个空间是局部紧的当且仅当每个点都有一个紧饱和邻域的基。它是sober当且仅当每个不可约闭子集是唯一点的闭包它是良滤的当且仅当给定紧饱和子集的任何滤族(Qi)i∈I和每个开子集U,i,i∈IQi <$U,则Qi<$U,对于某个i∈I。 在一个良好的空间,交叉点i∈IQi,其中过滤的家庭是紧凑的饱和。两个人都是一个人,两个人都是一个人。性质对于局部紧空间是等价的。空间X是核紧的当且仅当X是连续格。 每个局部紧空间都是核紧的,在这种情况下 , 开 子 集 上 的 way-below 关 系 由 UV 给 出 当 且 仅 当 对 于 某 个 紧 饱 和 集 Q ,U<$Q<$V。相反,每个核紧的清醒空间都是局部紧的。3定义和基本属性拓扑空间Y的Gδ子集是可数族(Wn)n∈N Y的开子集 用n代替Wn如果需要,我们可以假设家族是下降的,即W0<$W1<$··<$Wn··。定义3.1域完备空间是连续dcpo的Gδ子集的(同胚),其子空间拓扑来自Scott拓扑。LCS-完备空间是局部紧sober空间的Gδ子集的同胚,具有子空间拓扑。注3.2这里有一个模式。对于一类拓扑空间C,可以称C中空间的Gδ子集的任何同胚为C-完备的。 例如,如果C是稳定(局部)紧空间类,我们将得到SC-完备(分别为,SLC-完全)空间。通过我们将在引理14.1中使用的一个简单技巧,SC-完备和SLC-完备是同一个概念。命题3.3每个局部紧sober空间是LCS-完备的,特别是每个拟连续dcpo是LCS-完备的。每个连续dcpo都是Domain完备的.每个Domain完备空间都是LCS完备的。M. de Brecht等人/理论计算机科学电子笔记345(2019)37op≥opn∈Nn∈N证据每个空间都是Gδ。每个拟连续dcpo是局部紧的(是局部无穷紧的[13,练习5.2.31])和sober[13,练习8.2.15]。最后一部分是由每个连续dcpo是局部紧的和清醒的这一事实得出的。Q我们将在第4、5和6节看到域完备空间的其他例子。注3.4给定任何连续的dcpo(分别为,局部紧清醒空间)Y,和Y的任意子集的ny下降族(Wn),Xd=ef↓Wn是域完整(相应地,LCS完成)。因此,我们可以定义μ:Y →R+通过μ(y)d=efin f{1/2n|y∈Wn}。这是从Y到R连续的,即,R+,+逆序的Scott拓扑 . 实际上,μ−1([0,a))=Wn,其中n是最小自然数n_u_b等于1/2n_0,使得↓x<$μ−1([0,<$))<$V。4连续完备拟度量空间集合X上的拟度量是一个映射d:X ×X → R+满足以下定律:d(x,x)= 0; d(x,y)=d(y,x)=0蕴含x=y;且d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)(三角不等式)。因此,对X,d称为拟度量空间。给定一个拟度量空间,可以构成它的形式球偏序集B(X,d)。其+元素是对(x,r),其中x∈X,r∈R+,并且按(x,r)≤d(y,s)排序当且仅当d(x,y)≤r−s。而不是拼出一个完整的(a.k.a.,Yoneda-完备拟度量空间)是,我们依赖于Kostanek-Waszkiewicz定理[25](也参见[13,定理7.4.27]),该定理用B(X,d)来刻画它们:X,d是完备的当且仅当B(X,d)是dcpo。我们还可以说X,d是连续完备拟度量空间当且仅当B(X,d)是连续dcpo。这也是一个定理,而不是一个定义[16,定理3.7]。最初的,更复杂的定义是由于Mateusz Kostanek和Pawe-l Waszkiewicz。这是一个由yη(x)d=ef(x,0)定义的p η:X → B(X,d)。一旦我们给B(X,d)配备了Scott拓扑,使η连续的粗拓扑称为X上的d-Scott拓扑[13,定义7.4.43]。这是我们在拟度量空间上的默认拓扑,并将η转化为拓扑嵌入。每个偏序集X都可以看作是一个拟度量空间,如果给它配备拟度量d(x,y)d=ef0ifx≤y,∞,否则. 在这种情况下,d-Scott to拓扑与Scott拓扑一致[25,例1.8],并且如果X是连续dcpo,则X,d是连续完全的[25,例3.12]。8M. de Brecht等人/理论计算机科学电子笔记345(2019)3当d是度量时,d-Scott拓扑与通常的开球拓扑重合(即,d(x,y)= d(y,x)对于所有x,y)或当X,d是所谓的Smyth-完备拟度量空间[13,命题7.4.46,7.4.47]。我们不会说什么是Smyth-completeness(参见7.2节,同上), 除了每个Smyth-complete拟度量空间都是连续完备的,由Romaguera-Valero定理[33](也见[13,定理7.3.11])。定理4.1对每个连续完备拟度量空间X,d,空间X是域完备的。证据 每个标准的拟度量空间X,d作为Gδ集嵌入B(X,d)[16,命题2.6],并且每个完备的拟度量空间是标准的(命题2.2,同上)很明显,X同胚于nn∈N 其中Wnd=ef{(x,r)∈B(X,d)|r<1/2}是Scott-o pen。由于X,d是连续完备的,所以B(X,d)是连续完备的DCPO。Q当d是度量时,B(X,d)是连续偏序集[11,推论10],其中(x,r)(y,s)当且仅当d(x,y)
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cpongm
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