二元Koornwinder多项式参数导数的正交性研究

产品介绍∂λ∈、、、、、、、、m=0j= 0j=0Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，555埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章二元Koornwinder多项式参数导数的表示拉比亚·阿克塔斯土耳其安卡拉安卡拉大学数学系接收日期：2015年8月15日;修订日期：2015年10月18日;接受日期：2016年1月12日2016年2月18日在线发布本文给出了参数导数表示的形式：n−1 m kPn，k（λ; x，y）=. .d njm P mj（λ; x，y）+.e njk P nj（λ; x，y）对于某些Koornwinder多项式，其中λ是参数，0kn; n0，1，2，. . . 并给出了这些多项式的参数导数的正交性。2010年海安会：初级42 C 05; 33 C45版权所有2016，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍近年来，许多作者[1-联系电话：+3122126720。电子邮件地址：raktas@science.ankara.edu.tr同行评审由埃及数学学会负责计算机物理学和数学的许多分支。在文献[9，10]中，Szmytkowski研究了第一类Legendre函数关于其阶数ν的导数[<$Pν（z）/<$ν]ν=n（n N）及其一些表示，它们是在一些工程和物理问题中，如在广义相对论中，以及在解决位势论、电磁学和热的一些边值问题时，固体中的传导文[11]中导出了二阶导数[α2Pν（ z）/α ν2]ν=0和三阶导数[α3Pν（ z）/α ν3]ν=0在[12第一类是关于它的阶数和阶数，以及这些导数之间的关系。相关勒让德函数的这种导数在各种解中满足：S1110-256X（16）00020-1 Copyright 2016，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2016.01.004制作和主办：Elsevier关键词正交多项式;雅可比多项式;拉盖尔多项式;库恩温德多项式;参数导数556R. 阿克.Kn=nnnn∈nnλmn−1=∂λ、、、、、、、、n2nn！dxnnM你好！（n−k）（ n+k+α+β+1）（β+1）kKP（α，β）（− 1）d.Σk=0理论声学、热传导和其他理论物理分支的问题。在[3和（α，β）n−1参数导数的形式n（x）=.1P（α，β）（x）+（α+1）n∂βnk=0 n+k+α+β+1n（α+β+1）nn（λ;x）∂λ=.k=0cn， k（λ） Pk（λ;x）（1）n−1（−1）n+k（2k+α+β+ 1）（α+β+1）k×k=0（n−k）（ n+k+α+β+1）（α+ 1）kP（α，β）（x）（4）本文研究了以λ为参数例如，para.对于α，β >−1，Wulkow[15]已经获得了距离导数，n−11[3]第三节：关于雅可比多项式n=0。L（α）（x）（5）Koepf[4]对广义Laguerre多项式L（α）（ x）和广义Gegenbauer多项式C（λ）（ x）的P（α，β）（x），∂αk=0 n−kknn对于α>−1，其中Pochhammer符号定义为和Schmersau[5]中的方法。在文[8]中，Szmytkowski用不同于Froehlich[3]和Koepf[4]的方法，再次导出了Jacobi多项式、Gegen-bauer多项式和广义Laguerre多项式的式（1）的展开式。在[7]中，Ronveaux et al.给出了展开式中系数的递推关系（α）0= 1，（α）k=α（α+1）.（α+k− 1），k= 1，2，. . .在单变量正交多项式展开式（1）的启发下，我们考虑以下形式的类似展开式n−1m kP（λ;x）。其比（1）的扩展形式更一般。Lewanowicz [6]还给出了一种迭代获得m1，2，.阶显式参数导数表示的方法。. . 对于几乎所有的经典正交多项式族，即，连续经典正交多项式、离散变量的经典正交多项式或哈恩类的q-经典正交多项式经典雅可比多项式P（α，β）（ x）由下式定义：罗德里格斯公式n n（x）=（1−x）−α（ 1+x）−β（ 1−x）n+α（ 1+x）n+βPn，k（λ; x，y）=. .d njm P mj（λ; x，y）+.e njk Pnj（λ; x，y）（6）m=0j= 0j=0对于变量x和y的正交多项式，其中λ为参数且0 ≤k≤n;n= 0，1，2，在 最近的一次-pers[1，2]，参数导数表示的形式，（6）研究了三角形上的Jacobi多项式族和单位圆盘上的二元正交多项式族。本文给出了抛物型双曲型多项式、平方型多项式及文[17]中引入的Koornwinder多项式的一些新例子的参数导数（另见文[18]）。尽管这些多项式关于它们的一些参数的参数导数是（6）的形式，但是存在一些其它参数，使得关于它们的导数不形式（6）。 因为，一些coen，j，m并且它们满足以下正交关系∫1（α，β）（α，β）α β−+并且e n，j，k取决于变量x。本页的设置per总结如下。在第2节中，我们回顾了Koornwinder[19]给出的方法和一些例子，Pn（x） Pm（x）（1x）（ 1x） dx−12α+β+1<$（α+n+ 1）<$（β+n+ 1）（α，β）法第 3节包含K o o r n 的 参数导数-抛物型双角形、正交多角形、n！（α+β+2n+ 1）<$（α+β+n+ 1）δn， m=dnδn， m（2）其中δn，m表示克罗内克广义拉盖尔多项式定义如下：平方上的多项式，Laguerre-Laguerre Koornwinder多项式。第四节研究了这类多项式导数的正交关系L（α）（ x）=举行x−αexn！Dndxn{e− xn+α}2. 预赛首先我们回顾一下正交多项式的一些基本性质<$0∞L（α）（x）L（α）（x）e−xxαdx=<$（α+n+1）δn，m.两个变量[20]。设f是两个多项式的集合，变量，并让n表示多项式的线性空间，Jacobi多项式P（ α ， β ）（[3]）和广义Laguerre多项式L（ α ）（ x）（[4]）的参数导数表示如下两个变量的总次数至多为n。多项式p卢恩称为关于权函数ω（x，y）的正交多项式，如果P（α，β）（x）.1（α，β）（β+1）n..∫=α=n−1k=0 n+k+α+β+1Pn（x）+（α+β+1）np，q：=p（ x， y） q（ x， y）ω（ x， y） dxdy0▲×。（2k+α+β+ 1）（α+β+ 1）kP（α，β）（x）（3）k=0对于所有q∈n−1。设Vn表示正交多项式空间，n一氮钾 （m，λ）Pk（λ;x）（ m∈N）n次幂关于（，）。1975年，库恩温德[19]X二元Koornwinder多项式参数导数的表示557−.Σnρ（x）={−}= −−S=++ +的22氮钾m， jy构造了以下方法，从单变量正交多项式导出双变量正交多项式。设ω1（x）和ω2（y）分别是定义在区间（a，b）和（c，d）上的单变量权函数令ρ（x）(ii) 平方上的正交多项式：对于α，β，γ，δ >1，多项式定义为P（α，β，γ，δ）（ x， y）=P（α，β）（ x） P（γ，δ）（ y），0≤k≤n（10）是关于（a，b）的正函数，其或者是多项式氮钾n−k k度r，（r= 0，1，. . .）或者2次多项式r（r = 1，1，3，. . ）。. 如果ρ（x）不是多项式，相对于权重函数正交平方上的ω（x， y）=（1−x）α（ 1+x）β（ 1−y）γ（ 1+y）δc= −d<0且ω2（y）是（−d， d）上的偶函数。对于k▲={（x，y）：−1≤ x ≤ 1，−1≤ y ≤ 1}。事实上，≥0，设pn（x; k），n = 0，1，. . . 正交多项式权函数ρ2k+ 1（x）ω1（x），设qn（y），n≥0或-.P（α，β，γ，δ）（x，y），P（α，β，γ，δ）（x，y）.：=P（α，β，γ，δ）（x，y）P（α，β，γ，δ）关于权函数ω2（y）的正交多项式。氮钾m， j氮钾▲m， j然后，多项式×（x， y）（1−x）α（ 1+x）β（ 1−y）γ（ 1+y）δdxdy（α，β）（γ，δ）Pn， k（ x， y）= pn−k（ x;k）ρk（ x） qkyρ（x）， 0≤k≤n=dn−kdkδn， mδk， j（11）其中d（α，β）由（2）给出。一些新的例子Koornwinder多项式是在-关于Koornwinder权函数ω（x， y）=ω1（x）ω2（y）在域上正交▲= {（x， y）：a≤x≤b， cρ（ x）≤y≤dρ（ x）}关于内积[17]在《易经》中，有一种说法是：这些案件如下：(iii) Laguerre–Jacobi Koornwinder polynomials: The caseω1（x）=xα e−x，0≤x<∞，.f，g。：=f（x，y）g（x，y）ω（x，y）dxdy.▲Koornwinder方法的一些例子(i)抛物双角形上的正交多项式：对于ω2（y）=（1−y）β，−1≤y≤1，ρ（x）= x导致多项式P（α，β）（x， y）=L（α+2k+ 1）（x） xkP（β，0）0≤k≤n（12）α，β >−1，Koornwinder 多项式 对 抛物面氮钾n−kk（x），双角▲={（x， y）：y2≤x≤1}对应于ω1（x）=（1−x）α xβ，0≤x≤ 1，2β它们在域▲（x， y）上关于权函数ω（x， y） xα−βe−x（x y）β，（α，β >1）正交：x y x， x><<0 .以下为相关-廷霍尔德.P（α，β）（x，y），P（α，β）（x，y）.ω2（y）=（1−y）， −1≤y≤1，√氮钾：=m， jP（α，β）（ x， y） P（α，β）（ x， y） xα−β e−x（ x−y）β dxdyρ（x）= x.▲（α，β）氮钾m， j这些多项式可以定义为P（α，β）（ x， y）=P（α，β+k+1）（2x− 1）xk/2P（β，β）（y），0≤k≤n2=sn，k δn， mδk， j哪里氮钾n−k克什（七）（α，β）氮钾2β+1（αn k 2）.（十三）（n-k）！（β+2k+ 1）它们与权函数正交ω（x，y）=（1 − x）α（x− y2）β。事实上.P（α，β）（x，y），P（α，β）（x，y）.（iv）ω1（x）=xα e−x，0≤x<∞，α >−1ω2（y）=yβ e−y，0≤y<∞，β >−1ρ（x）=x，α−β >−1，氮钾：=m， jP（α，β）（ x， y） P（α，β）（ x， y）（1−x）α（ x−y2）βdxdythe Laguerre–Laguerre Koornwinder polynomials通过558R. 阿克（α，β）2h（α，β）（九）=h δn， mδk， j（8）P（α，β）x yL（α+2k+ 1）x xkL（β）y0k n（14）氮钾哪里氮钾（，）=的2（2β+1）<$2（β+k+1）<$（α+n-k+1）<$。β+n+322n−k（）k（x），≤ ≤氮钾=（n-k）！国王！（2β+2k+1）<$（2β+k+1）<$。α+β+n+3π。α+β+2 n-k+3<$。▲二元Koornwinder多项式参数导数的表示559氮钾.（α，β，γ，δ）=t δδ×P（x， y在叱在叱n−k−1.==0氮钾.1.s=0时n−k+s+α+β+1氮钾n−。k−1（−1）n−k−s（α+β+2n−2k−2s−1）（α+n−k−s）s+1n，k=.1P（α，β，γ，δ）（x，y）∂α在叱P（x， y）−=.1名P（x，y）关于域上的权函数ω（x， y） xα−βyβ e−（x+y/ x）正交定理2. 对于α，β，γ，δ >1，由（10）定义的平方多项式满足▲= {（x，y）：0 ≤x <∞，0 ≤y<∞}。P（α，β，γ，δ）（x， y）∂αn−k−1=1P（α，β，γ，δ）（x， y）它遵循n−k−1+β+2n− 2k− 2s− 1）（β+n−k−s）s+1.P（α，β）（x，y），P（α，β）（x，y）.+。s=0时（α（s+1）（α+β+ 2n− 2k−s）（α+β+n−k−s）s+1氮钾：=m， jP（α，β）（x， y） P（α，β）（x， y）xα−βyβe −（x +y/ x）dxdy×Pn−s−1，k（x， y），（17）氮钾▲m， jP（α，β，γ，δ）（ x， y）n−k−1（α，β）n、 m、k、 j科隆k.1（α，β，γ，δ）氮钾哪里β=s=0时n−k+s+α+β+1Pn， k（x， y）t（α，β）=<$（β + k +1）<$（α + n + k +2）.（十五）+s=0时（s+1）（α+β+ 2n− 2k−s）（α+β+n−k−s）s+1氮钾国王！（n-k）！（α，β，γ，δ）n−s−1，k（十八）对于n≥k+1，k≥ 0，3. 一类Koornwinder多项式的参数导数P（α，β，γ，δ）（x， y）α=P（α，β，γ，δ）（x， y）β=0在[1，2]中，参数导数表示形式为（6）研究了三角形上的Jacobi多项式族和单位圆盘上的二元正交多项式族在本节中，我们推导出参数导数其中n = k ≥ 0。还有，（α，β，γ，δ）k1n，k（α，β，γ，δ）的Koornwinder多项式的抛物双角，在∂γk−1s=0时γ+δ+k+s+1氮钾平方和Koornwinder多项式新例子+。（γ+δ+2k− 2s− 1）（δ+k−s）s+1P（α，β，γ，δ）（x，y），[17][18][19][19][19]由于变量x包含在某些系数中，因此存在某些参数导数，使得它们不具有形式（6）。现在，我们考虑参数导数的这种表示。和s=0时（s+1）（γ+δ+ 2k−s）（γ+δ+k−s）s+1n-s-1，k-s-1（十九）P（α，β，γ，δ）（x， y）k−1定理1. 对于由（7）定义的抛物双角P（α，β）（ x， y）上的Koornwinder多项式，∂δs=0时 γ+δ+k+s+1氮钾氮钾关于参数α，.k−1（−1）k−s（γ+δ+2k−2s−1）（γ+k−s）s+1P（α，β，γ，δ）（x，y），P（α，β）（x，y）=.1P（α，β）（ x， y）+n−k−1s=0时（s+1）（γ+δ+ 2k−s）（γ+δ+k−s）s+1n-s-1，k-s-1（二十）αn， ks=0时3α+β+n+s+2氮钾s=0时对于n≥k≥1，.α+β+2 n−k−2s−1<$。β+n−s+1P（α，β，γ，δ）（x， y）P（α，β，γ，δ）（x， y）2×。-是的2s+1P（α，β）（x，y）n，0n，01（s+1）α+β+ 2n−k−s+21α+β+n −s +2S+1n−s−1，k∂γ ∂δ对于n 0k0（十六）≥，=.对n≥k+1，k≥0，且n = k ≥ 0，则αP（α，β）（x，y）=0.证据 如果我们将（7）的两边关于参数α进行微分，我们得到证据 根据等式（3）和（4），证明是清楚的。Q现在，我们可以得到类似的结果定理3.参数导数的表示P（α，β）（x， y）=xk/2P（β，β）（y）<$P（α，β+k+1）（2x− 1）关于Laguerre-Jacobi Koorn的参数α和βαn， k克什2n− k由（12）定义的缠绕多项式P（α，β）（ x， y）由下式给出：n−k−1利用（3），得出了对n≥k+1，k≥ 0P（α，β）（x，y）=.1P（α，β）（ x， y）=Σ）+560R. 阿克−k−1∂α（s+1）（β+ 2k-s）（β+k-s）在叱n-s-1， k-s-1（21）∂ P（α，β）（ x， y）=n−k−1P（α，β）（ x， y）+n−k−1αn， ks=0时n−k−s（α，β）k+s， kαn， k3氮钾对于n ≥ k +1，k ≥ 0，且n = k ≥ 0，n（x，y）= 0. Simi-s=0时α+β+n+s+2s=0时∂α拉里，.α+β+2 n−k−2s−1<$。β+n−s+12×。1美元。2s+1 1P（α，β）（x，y）。n− s−1， kP（α，β）（x，y）=.1P（α，β）（ x， y）（s+1）α+β+ 2n−k−s+2α+β+n−s+2S+1n βn，kk−1s=0时 β+k+s+1氮钾从（7）中可以明显看出，对于n=k≥0，则<$P（α，β）（x，y）= 0。 Q+。（β+2k− 2s− 1）（k−s）s+1xs+1P（α+2s+2，β）s=0时（x，y）ΣS+1二元Koornwinder多项式参数导数的表示561..1..Σk−1.P，P..- 是的++− −+ − +2 2s+1⎪氮钾氮钾=-2∂βn，0s=0时（s+1）α+β+ 2n−k−s+1α+β+n −s +1m， j∂α在叱P（α，β），P（α，β），P（α，β）α+β−k+2m+3β+m+3α+β+n+s+3氮钾..Σ21对于n ≥ k ≥ 1，且n ≥ 0 ， k = 0 ， 则P（α，β）（x，y）= 0. 可以看出案例2. 我们假设n ≥ k +1，k ≥ 0。（16）我们可以关于参数β的参数导数不是（6）的形式，因为系数包括变量x。定理4. 对于写.P（α，β），αP（α，β）。为n− k−1P（α，β），P（α，β）由（14）定义，我们有m， jαn， ks=0时α+β+n+s+3m， j氮钾n-k-1。α+β+2 n−k−2s−1<$。β+n−s+1n− k−12+。-是的2s+12S+1s=0时×。P（α，β），P（α，β）..（二十三）对n≥ k +1，k ≥ 0，且n = k ≥ 0，则αP（α，β）（x，y）= 0.Simi-m， j n−s−1，klarly，forn≥k≥1αn， n对于这种情况，我们考虑三个子情况。案例2.1. 让我们考虑k=j或k=j， m>n.它跟随-P（α，β）（x，y）=.1xs+1P（α+2s+ 2，β）从（8）低，（x， y）n βn，ks=0时S+1n-s-1，k-s-1.P（α，β）αP（α，β）。=零这与（6）的形式不同，因为-m， j ，αn，k。包括变量x。此外，当n ≥ 0，k = 0时，<$P（α，β）（x，y）= 0。案例2.2. 假设k = j，n> m。自第一次内βn，0等式（23）右边的乘积是零，我们得到4. 参数导数现在，我们考虑抛物双角上多项式的参数导数的正交性，（α，β）m，kα，βn， k=n− k−1s=0时平方多项式，α β2nk2s1βns1×（s+1）。α+β+2 n-k-s+1<$。α+β+n−s+1定理5. 对于（7）所给出的抛物边上的Koornwinder多项式及其对参数的导数，（α，β）n−s−1， k2δn− s−1， m，2s+1α，我们有：对n≥k+1，k≥ 0， 0≤j≤m;n， m∈ N0它只包含一个非零项，其中s=n-m-..⎧⎪⎨ 0，k/=j0，k=j， m> n1 m≥k。人们可以推断，.α+β−k+2m+3m。β+m+3A=HP（α，β），P（α，β）=（α，β）（α，β）n， k， m23英里。2n− m 3（α，β）m， km，jαn， kAn， k， m，n> m≥k=jB（α，β ），k=j，n=m（n−m）α+β+n−k+m+2其中h（α，β）由（9）给出。α+β+m+2n−m对于n=k≥0例2.3设kj，m n. 然后，根据关系式（8），我们有.P（α，β），αP（α，β）.=零.∂.n.-k-11..=2哪里n，kαn−k−1氮钾s=0时α+β+n+s+3氮钾氮钾.- 是的ΣA（α，β）22=.1h（α，β），h（α，β）s=0时n，k，m=（n-m）.α+β+n−k+m+3。α+β+m+3m， k×hP（α，β）（ x，y）=P（α，β）（ x， y）（22）∂α氮钾n− k− sk+s， k2P（α，β）n−m.562R. 阿克.2氮钾科隆，k， m∂Pm， j，αPm， j∂α氮钾C（α，β，γ，δ），n> m≥k= j∂α在叱B=P（α，β，γ，δ），α P和（α，β）氮钾n−k−1s=021h（α，β）α+β+n+s+3n， k2n−m这就完成了证明。 Q通过使用定理2中给出的参数导数和关系式（11），下一个定理很容易得到验证。定理6. 对于平方上的Koornwinder多项式，其中h（α，β）由（9）给出。证据 我们将把证明分为两种情况。案例1. 我们考虑n = k ≥ 0的情况。可以看出（α，β）（α，β）由（10），我们有0≤j≤m;n， m∈ N0，n≥k+ 1，k≥ 00，k/=j....⎪⎨0，k=j， m> n因为当n=k≥0时，n_P（α，α）（ x，y）=D（α，β，γ，δ）， k=j，n=m==零氮钾二元Koornwinder多项式参数导数的表示561⎪.P，P.P，氮钾n氮钾乔治，==G=P（α，β，γ，δ），α Pm， j∂α在叱.n−k−1（α，β）（γ，δ）氮钾⎧..⎨=0，k/=j0，k=j， m> n对于n=k≥0.P（α，β），αP（α，β）.=零m， jn βn，kεE（α，β，γ，δ），n> m≥k=jn，k， mD（α，β，γ，δ）， k=j，n=m哪里1H（α，β）=t（α，β）对于n=k≥0n， k， m n−m，k（α，β，γ，δ）m， j哪里（α，β，γ，δ）n， k，m∂（α，β，γ，δ）n，n=（α，β，γ，δ）δm，j β（α，β，γ，δ）在叱其中t（α，β）由（15）定义。确认作者感谢裁判员的宝贵意见，（α+β+2m− 2k+ 1）（β−k+m+ 1）n−m（n−m）（α+β+n+m−2k+ 1）（α+β−k+m+ 1）n−m提高论文质量和清晰度的意见和建议（α，β）（γ，δ）×dm− kd kD（α，β，γ，δ）=.1d（α，β）d（γ，δ），引用[1] R. 张文，等.三角形上Jacobi多项式参数导数的一个注记247（2014）368氮钾（α，β，γ，δ）n， k，ms=0时n−k+s+α+β+1n−kK[2] R.张文，关于二元多项式族的参数导数，应用数学与计算。256（2015）769[3] J. Froehlich，高斯超几何函数和多项式的参数导数，积分变换规范。（−1）m−k+1（α+β+2m− 2k+ 1）（α−k+m+ 1）n−m（n−m）（α+β+n+m−2k+ 1）（α+β−k+m+ 1）n−m×dm−kdk其中，d（α，β）的定义与（2）相同。类似地，利用定理3和定理4中的结果，可以容易地得到下一个结果。定理7. 对于功能2（4）（1994）253[4] W.张文龙，等.正交多项式族与特殊函数族的恒等式.积分变换.特殊函数. 5（1-2）（1997）69-102。[5] W. Koepf，D. Schmersau，正交多项式的表示，J. Comput.Appl.Math.90（1998）57-94.[6] S. Lewanowicz，经典正交多项式的参数导数的表示，Rend。Circ. Mat. Palermo，Ser. II，Suppl. 68（2002）599-613.[7] A. Ronveaux ， A. 扎 尔 佐 岛 面 积 ， E. Godoy ， ClassicalOrthogonal Polynomials ： Dependence on parameters ， J.Comput. 121（2000）95-112。[8] R. Szmytkowski，关于经典正交多项式的参数导数的注记.arXiv：0901.2639v3。[9] R. Szmytkowski，关于Legendre函数的导数，.P（α，β），αP（α，β）。为⎧⎪⎨0，k/=j0，k=j， m≥n关于其程度的第一类，J.Phys.A39（2006）15147- 15172。[更正：J. Phys. A，40（2007），7819-7820]m， jαn， k（α，β）n，k，mn>m≥k=j[10] R. Szmytkowski，附录对于n=k≥0.P（α，β），αP（α，β）.=零[11] R. Szmytkowski，参数导数[ε2pν（ z）/ε ν2]ν0和[ε3pν（ z）/εν3]ν0，其中pν（z）是第一阶导数的双曲函数kind.预印本arXiv：1301.6586。[12] R. Szmytkowski，关于伴随Legendre的导数m， j哪里（α，β）n，k，mαn， n1s（α，β）n−mm， kCP=E.=零=560R. 阿克氮钾氮钾n，k，m函数的第 一类 整数 次数 相对于其阶数的关系（应用于构造第二类整数次数和阶数的相关的连续函数），J.Math.Chem.46（2009）231-260。[13] R. Szmytkowski，关于第一类整数阶相关勒让德函数关于其次数的导数其中s（α，β）由（13）给出。定理8. 对于⎪⎧0，k/=j（应用于构造第二类整数次数和阶的关联的Schmiddre函数），J.Math.Chem.49（2011）1436-1477。[14] R. Szmytkowski ， On parameter derivatives of the associatedLegendre function of the first kind（with the application to theconstruction of the associated Legendre function of the secondkind of integer degree and order ） ， J. Math. Anal.Appl. 386（2012）332[15] M. Wulkow，可数系统的数值处理二阶微分方程，柏林，1990.P（α，β），αP（α，β）. =0，k=j， m≥n技术报告TR 90-8。m， jαn， kH（α，β ）， n>m≥k=j[16] E.D. Rainville，特殊功能，麦克米伦公司，纽约，1960年。二元Koornwinder多项式参数导数的表示561[17] L. Fernandez，T.E. Perez，M. Pinar，关于二元Koornwinder经典正交多项式，J. Comput. Appl. 数学236（2012）3817[18] F. Marcellan，M.E. T.E. Perez，文学硕士Pinar，两个变量中koornwinder权重满足的矩阵pear-son方程，arXiv：1411.2268[19] T.H. 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