广义/-递归Sasakian流形的几何性质及存在性

2Journal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，25埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章关于广义/-递归Sasakian流形丹吉 Prakasha*印度卡纳塔克大学数学系，邮编：580 003收稿日期：2012年4月30日;修订日期：2012年11月2日;接受日期：2012年2013年1月11日在线提供本文的目的是引入广义广义f-递归的概念并通过一个有趣的例子研究了它的各种几何性质及其存在性。在这里建立的结果表明，扩展的广义/-递归Sasakian流形是一个Einstein流形。进一步研究了广义T-最后，构造了一个既不是/-常返流形也不是广义/-常返流形的三维广义/-常返Sasakian流形的例子.02 The Dog（2000）53C25、53D152012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍黎曼流形的局部对称性的概念与Cartan[1]的工作是一致的.关于黎曼流形的局部对称性的概念，许多作者从几个方面进行了削弱，如Walker的递归流形[2]，Szabo的半对称流形[3]，Chaki的伪对称流形[4]，Deszcz的伪对称流形[5]，Tamassy和Binh的弱对称流形[6]，Selberg的弱对称流形[7]。然而，Chaki和Deszcz的伪对称性概念不同，Selberg和Tamassy及Binh的弱对称性概念也不同。作为局部对称的一个较弱的版本，Takahashi[8]在1977年引入了局部/-*电话：+91 8362215222。电子邮件地址：prakashadg@gmail.com。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：ElsevierSasakian流形上的对称性通过扩展这个概念，De等人[9]引入并研究了/-递归Sasakian流形的概念。广义递归流形的概念由Dubey[10]引入，De和Guha[11]对此进行了研究。一个黎曼流形（Mn，g），n>2，称为广义递归流形，如果它的曲率张量R满足条件rR¼ARBG;1：1其中A和B是两个非零的1-形式，定义为A（k）=g（k，q1 ） ， B （ k ） =g （ k ， q2 ） ， 张 量 G 定 义 为 G<$X;Y<$Z<$<$g<$Y;Z<$X-g<$X;Z<$Y<$1：2<$对于所有的X，Y，Z，v（M），v（M）是光滑向量场的李代数，$表示关于度量g的协变微分.这里q1和q2分别是与1-形式A和B相关联的向量场。特别地，如果1-形式B为零，则（1.1）就变成Walker[2]引入的递归流形的概念。一个黎曼流形（Mn，g）称为广义Ricci-常返流形[12]，如果它的Ricci张量S的（0，2）型满足条件rS<$ASBg;101：301110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.11.002关键词广义递归Sasa-kian流形;广义T-回归Sasakian流形;广义T-回归Sasakian流形;广义T爱因斯坦流形26丹吉普拉卡沙222其中，A和B在（1.1）中定义。特别地，当B=0时，（1.3）就退化为Patterson[13]引入的Ricci-递归流形的概念。2007年，Ozgur[14]研究了广义递归Kenmotsu流形。最近Basari和Mura- than[15]推广了这一概念，将广义/-递归的概念引入Kenmotsu流形。文[16，17]中还分别研究了Sasakian流形和Lorentziana-Sasakian流形的广义f-递归概念.通过推广广义f-常返性的概念，Shaanxi和Hui[18]将广义f-常返性的概念引入到b-Kenmotsu流形中.此外，这个概念已经 由 Shaiden ， Prakasha 和 Ahmad[19] 进 一 步 研 究 了 LP-Sasakian流形。作为这一工作的继续，本文研究了Sasakian流形上的广义/第二节讨论了Sasakian流形的一些性质。第三节研究了广义/-回归Sasakian流形，得到了这类流形是广义Ricci-回归流形的一个充要条件.此外，本发明还证明了推广的广义f-递归Sasakian流形是Einstein流形，且在这样的流形中，1-形式A和B通过A+B=0相关联。在第4节中，我们给出了推广的广义T-本文证明了推广的广义T-我们还用表格表示了相关的1-形式A和B的性质。在最后一节中，我们通过一个有趣的例子证明了广义/-递归Sasakian流形2. 预赛一个（2n+1）维光滑流形M称为几乎切触度量流形[20]，如果它允许一个（1，1）张量场f，一个向量场n，一个1-形式g和一个黎曼度量g，满足a¼- X g Xn;2：1ðaÞgð/X;YÞ¼-gðX;/YÞ;ðbÞgðXÞ¼-gX;ncgn1;2：2对于所有X，Y v（M），g/X;/Y/ g X; Y-gXgY;2：3。几乎切触度量流形M2n+1（l，n，g，g）称为Sasakian流形，如果下列条件成立[20，21]：rX/rXn1/4-/X：12：5在Sasakian流形M2n+1（l，n，g，g）中，下列关系成立[20rXgRX;YngYX-gXY;2：7Rn;XY¼rX/Y;2：8SX;n2ngX;2：9S/X;/YSX;Y-2ngXgY;2： 10rWR2012年2月11日对于任意向量场X，Y，Z，2v（M）。3. 扩展的广义/-递归Sasakian流形定 义 3.1. 一 个 Sasakian 流 形 M2n+1 （ / ， n ， g ， g ） ，nP1，称为一个扩展的广义/-递归Sasakian流形，如果它的曲率项R满足关系式/2rWRX;YZAW/ 2RX;YZB对所有的X，Y，Z，W2v（M），其中A和B是两个非零1-形式使得A（X）=g（X，q1），B（X）=g（X，q2）.这里q1和q2是与1-形式A和B相关的向量场分别现在我们从以下内容开始：定理3.1. 推广的广义l-递归Sasakian流形M2 n +1（l，n，g，g），nP1是广义Ricci递归的当且仅当伴随的l-形式A与B之和为零.证 据 考 虑 一 个 广 义 /- 递 归 Sasakian 流 形 。 然 后 根 据（2.1），我们从（3.1）得到，- rWRX;Y Z g rWRX;Y ZnA×½-GX;YZgGX;YZn];3：2由此得出结论，-grWRX;YZ;Ug rWRX;YZgUA×½-gGX;YZ;Ug GX;YZgU]：13：3令{e i：i = 1，2，. ，2 n +1}是切空间在流形上任意一点的标准正交基。 设置X=U=e i在（3.3）和以求和在i上，16i62n+1，然后使用（1.2），我们得到- rWSY;Z g rW Rn;YZ;nA-1gY;Z-gYgZ]：33： 4利用公式2.7和公式2.11以及关系g（（$WR）（X，Y）-Z，U）=-g（（$WR）（X，Y）U，Z），我们有grWRn;YZ;n0：3：5根据式（2.8）和式（3.5），由式（3.4）可以得出：rWS-AW]gY;Z½AW时间：2019 - 03-23 00：00：00如果A（W）+B（W）=（A+B）（W）=0，即，关联的1-形式A和B的和为零，则（3.6）简化为rS ¼ ASwg;3：7关于广义/-递归Sasakian流形272-2012121其中对于所有W v（M），w（W）=2 nB（W）。这就完成了证明。H定理3.2. 推广的广义f-递归Sasakian流形M2 n +1（f，n，g，g），nP1，是Einstein流形，并且其1-形式A和B通过A+B= 0相联系.证据在（3.6）中设Z=n，利用（2.2（b））和（2.9），我们得到2019 - 02 - 18 00：00：00 00 ：0000：0000：00我们也有rWSAW½SX;U-2ngX;U]-AX½SU;W-2ngU;W]-ARW;XU -ARW;Xn gU-AXgW; UA¼0：再 次 设 置 X=U=ei 在 上 述 关 系 ， 并 采 取 求 和 i ，16i62n+ 1，我们有SW;qr-2n2n-1gW;q：这证明了定理。H定理3.4.一个Sasakian流形M2n +1（l，n，g，g），nP1是一个扩展的广义l-常返流形当且仅当以下关系成立：在公式3.9中使用公式2.6和公式2.9，可以得出：2013年3月9日阿尔·WRX;YZ¼½fgY;/WgX;Z-gX;/WgY;ZgrWS由式（3.8）和式（3.10），我们得到2ng/W;Y-S/W;Y 2nfAWBWgY：3： 11在公式3.11中，Agian设置Y乘n，我们得到AWBW0对于所有W：103：12通过在（3.11）中考虑（3.12），我们有S/W;Y=2ng/W;Y=3：13ng/W将公式3.13中的Y替换为/Y，并使用公式2.3和公式2.10，我们得到SW;Y2ngW;Y3：14由式（3.12）和式（3.14），定理如下。H已 知 Sasakian 流 形 是 Ricci- 半 对 称 的 当 且 仅 当 它 是Einstein流形。事实上，在Theo-rem 3.2中，我们有以下内容：推论3.1。推广的广义f-递归Sasakian流形M2 n +1（f，n，g，g），nP1是Ricci-半对称的.定理3.3. 在推广的广义f-递归Sasakian流形M2 n<$1<$/; n; g;g<$;r-2n<$2n-1中，R是Ricci张量S对应于特征向量q1的特征值。证据在公式3.3中循环地改变W，X，Y并将它们相加，我们通过Bianchi恒等式和公式3.12得到：AWf g R X; Y Z; U- gG X; Y Z; UgfgRX;YZ-gGX;YZgU]g×½R<$X;Y<$Z-g<$R<$X;Y<$Z<$n]B证据 使用（2.11）和的关系g（（$wR）（X，Y）Z，U） =g（ （$w R） （ X， Y） U， Z） 在式（3.2）中，我们有式（3.16）。康-在式（3.16）的两边加上/2，我们得到关系式（3.1）。H4. 推广的广义T-在（2n+1）维黎曼流形M2n+1中，T-曲率张量[23，24]由下式给出：T<$X;Y<$Z<$aR<$X;Y<$Z <$aS<$Y;Z<$X<$aS<$X;Z<$Ya3Sa6g其中R、S、Q和r分别是曲率张量、Ricci张量、Ricci算子特别地，T-曲率张量被约化为拟共形曲率张量C~*、共形曲率张量C、共调和曲率张量L、共圆曲率张量V、伪射影曲率张量P ~*、射影曲率张量P~*，曲率张量P，M-射影曲率张量，Wi-曲率张量（i=0，.. . ，9）和Wωj-曲率张量（j=0，1）. 类似于b-Kenmotsu流形的广义共圆/-递归和LP-流形的广义射影/-递归的定义，Sasakian流形[19]，这里我们定义如下：定义4.2.一个Sasakian流形M2n+1（l，n，g，g），nP1，是A X½fg RY;WZ;U-gGY;WZ;Ugfg2013年3月15日称之为扩展的广义T-AY½ fgRW;XZ;U-gGW;XZ;Ugfg/2米宽 TX;YZAW/2TX;YZ2在公式3.15中设置Y=Z=ei，Bi，16i62n+1，我们得到其中A和B的定义如式（1.1）所示。28丹吉普拉卡沙ðÞ ð Þþ½f ð Þ-ð Þg ð Þ72n 12N172n2n12N1特别地，推广的T-/01/4;5/4 -611/4-2n;a1 四分之二a二分之三a三分之四a四分之一a七分之一0;(1) 一个推广的广义C*-a1¼ -a2¼a4¼-a5;a3¼a6¼0;a1/4 -1。a02a;(15) 一个推广的广义W5-1a0¼1;a2¼-a5¼-2n;a1¼a3¼a4¼a6¼a7¼ 0;(16) 一个推广的广义W6-(2)一个推广的广义C-a¼1;¼-a1¼-;a联系我们1/2/0;0 1 612n23 4 5 7a0¼1;a1¼-a2¼a4¼-a5¼-2n- 1;(17) 一个推广的广义W7-a¼ a11/4- ;a¼1;¼-a1¼-;a联系我们1/2/0;3 672n2n-10 142n23 5 6 7(3)一个推广的广义L-(18) 一个推广的广义W8-1a¼1;a ¼-a1¼;a¼a联系我们1/2/0;a0¼1;a1¼-a2¼a4¼-a5¼-2n- 1;0 1 32n2 4 5 6 7一个三分之一个六分之一个七分之一(19) 一个推广的广义W9-(4) 一个推广的广义V-a¼1;¼-a1¼;a¼a联系我们¼a¼0：一个0/41; 一个1/4a2/4 a3/4a4/5a6/4 0; 1a7¼-2n2n1;0 3 42n1 2 5 6 7(5) 一个推广的广义P*-a0¼1;a1¼-a2;a3¼a4¼a5¼a6¼ 0;a1/4 -1。a0a;定理4.5. 如果（2n +1）维Sasakian流形M2n +1（l，n，g，g），nP1，是一个推广的广义T-持有：(6) 一个推广的广义P-1/2B W-AWf2na2a3a5a6-a0-ra7g -a7drW]gYgZa02na1a2a3a0¼1;a1¼-a2¼-2n;a3¼a4¼a5¼a6¼a7¼ 0;—2015年12月25日，QY;Z-grQYgZ2002年2月22日(7) 一个推广的广义M-0 1 2 31a0¼1;a1¼-a2¼a4¼-a5¼-4n;a3¼a6¼a7¼ 0;(8) 一个推广的广义W0-g2.2.2.3S/W; Z2 ng/W;Z GY2019年10月20日星期一fS四分之一1¼-;a联系我们1/4;¼0：0 152n23 4 6 72014年4月3日(9) 一个推广的广义Wω0-1a0¼1;a1¼ -a5¼2n;a2¼a3¼a4¼a6¼a7¼ 0;(10) 一个推广的广义W1-证据考虑一个推广的广义T-然后，根据（2.1）式，由（4.2）式得出：a¼1;¼-a1¼;a¼a联系我们1/4;- rWTX;YZgrWTX;YZn0 1 22n3 4 5 6 7A(11) 推广的广义Wω1-1a0¼1;a1¼-a2¼-2n;a3¼a4¼a5¼a6¼a7¼ 0;(12) 一个推广的广义W2-g<$G<$X;Y<$Z<$n];由此得出结论，-grWTX;YZ;Ug rWTX;YZgU01/4;4/4 -511/4-2n;a1 四分之二二分之三分之六分之七1/4;<$AW½-gTX;YZ;Ug TX;YZgU]B(13) 一个推广的广义W3-1a0¼1;a2¼-a4¼-2n;a1¼a3¼a5¼a6¼a7¼ 0;(14) 一个推广的广义W4-令{e i：i = 1，2，. ，2 n +1}是切空间在流形上任意一点的标准正交基。 设置X=U=e i在（四、四）和以对i，1 6 i 6 2 n +1求和，然后使用（1.2）和（4.1），我们得到WW关于广义/-递归Sasakian流形29.Σ¼ðÞ3ðþþþÞþðÞ0123Wa0级2012年1月E2A30142N72NΣΣ2 a2 na一一1-fa02n1a1a2a3g rWSY;Z- fa42na7grWgY;Z-a5grWQY;Z— a6 grW Q Z; Y a0 grWRn;YZ;na1rWSY;Za2rWSn;ZgYa3rWSn×Y;ngZa4gY;ZgrWQnA5grWQYgZa6grWQZgYa7drWfgY;Z-gYgZg1/4AW½-fa02n 1 a1 a2a3a 5a6gSY;Z-fa42 n a7grgY;Za0ga6gSn;ZgYfa3g5gSY;ngZaS这意味着M2n+1是广义Ricci-常返的.H定理4.6. 推广的广义s-/200a02002na1200a2200a302019年10月20日星期一是爱因斯坦流形证据在公式4.7中代入Z=n，然后利用公式2.2（b）和公式2.9，我们得到中文（简体）AW2nfa02na1-a4g rfa02na7g]2nBW-fa02na7gdWgYa02na1a2a 3þða2þa3ÞfSð/W;YÞ -2ngð/W;YÞg:ð4:8Þ4 7200a02002na 1200a 2200a 3B利用公式2.8、公式2.9和公式2.11以及关系式g（（rWR）将公式4.8中的Y替换为/Y，然后使用公式2.1（b），我们得到2013年3月23日（X，Y）Z，U） =-g（（rWR）（X，Y）U，Z），我们有2017年12月22日，2012年1月E2þaÞfSð/W;/YÞfa02na1a2a3grWSY;Z1/4AWuff fa02na1a2a3a5a6gSY;Zþ½ð2n- 1ÞBðWÞ þfa0þ 2na7gfAðWÞr-drðWÞg-2ng/W;/Y/g：利用式（3.10），我们从上述关系式中得到：-AWfa02na4ra7g a7drW]gY;Z2个月a02012年1月E2a½B— ra7g -a7 drW]gYgZ -a5½g rWQY;Z— grWQYgZ]-a6½ g rWQZ;Y— grWQZgY]a2½S/W;Z— 2ng/W;Z]gYa3½S/W;Y时间：2019-04-04如果2a02na1a2a30123（4.9）产量SY;W2ngY;W：Q4： 102n+1推论4.2。 设M是一个2n+1维的nP1— 2ng/W;Y]gZ：4： 6将式（4.6）中的Y和Z互换，然后从式（4.6）中减去结果，我们通过S的对称性得到：推广的广义T-/-常返Sasakian流形使得a0+2na1+a2+a3n0. 然后，相关联的1-形式A和B通过下式相关：rS1/2n-1BWfa02na7gfAWr-drWg-AWfa02na4ra7g a7drW]gY;Za02na1a2a3½Ba02na1a2a32a0 2na1a2a3×½g盐酸盐 QY;Z-grQYgZgrQZ;Y-grQZgY]a2a3aW2000年a0 2012年1月E2阿格拉3号×½fS/W;Z-2ng/W;ZggYfS/W;Y- 2ng/W;YgZ]：4： 7如果关系式（4.3）成立，则上述关系式可以重新定义。被引入B.B. A. B. A. B.A. A.B.A.B.C.1-r-raiAW1rS¼A1SIB1g;哪里AWAW1a5a6[2019- 04- 2200：01：01]对任意向量场W2v（M）。因此，我们有以下内容：1和a002na1E2A3BW½2nBWfa02na7gfAWr-drWg-AWfa02na4ra7g a7drW]：a02na1a2a30330丹吉普拉卡沙3.Σ212121221322个月 g2Sasakian 歧管B（W）=扩 展 扩展扩展扩展扩 展 扩展 扩 展扩 展 扩展 扩 展扩 展 扩展 扩 展扩 展 扩展扩展扩 展 扩展 扩 展扩展扩展扩展广义广义广义广 义 广 义广义广义广义广义广义广义C*-/-经常CV-P*-/ -经常Wω0-/-递归W1-/-递归WW3-W4-/ -复发WW8-/ -复发fan=2n-1 nbgh.r-1AW02n2n112nh-1αriAW-1drW2 n2n1 2n2n1fan=2n-1 nbgh.r-1AW02n2n100-2A（W）-2A（W）01[2019-02- 22 00：00：00]12n-A（W）-A（W）01[2n2½f2n-rgAWdrW]01[2019-02- 22 00：00：00]1我2n2n1drW1我2n2n1drW证据 在式（4 - 8）中用n代替Y，我们得到式（4 - 11）。H由上述推论还可以看出，在扩张的广义T-/ -递归Sasakian流形中，等于C;P;M;W0;Wω1;W6;W8，则1-形式B变量（即B=0）。这是不可能的。因此，我们可以说如下：定理4.7. 不存在 广义C;P;M;W0;Wω1;W6;W8-/ -递归Sasakian流形.5. 扩展的广义/-递归Sasakian流形的例子定理5.8. 存在一个3维推广的广义/-常返Sasakian流形，它既不是/-常返的，也不是广义/-常返的.证据我们考虑一个三维流形M<$f<$x;y;z<$ffi;x;y;z- 0，其中（x，y，z）是ffi 3的标准坐标。矢量场gβ-雌二醇3毫克/升;/2Z¼- ZgZE3;g/Z;/W/gZ;W-gZgW;对任意Z，Wv（M）。 则对于E3= n，结构（l，n，g，g）定义了M上的几乎切触度量结构。设$是关于度量g的Levi-Civita联络。然后我们有1/2E1;E2] 1/2E3; 1/2E1;E3]1 /4 0; 1/2 E2;E3]1 /4 0：利用黎曼度量g的Koszula公式，我们可以很容易地计算出rE1E31/4-E2;rE3E3 1/40; rE2E3 1/4E1：rE2E2¼0;rE1E2¼E3;rE2E1¼-E3：rE1E1¼0;rE3E2¼E1;rE3E1¼-E2：从上面可以很容易地看出，（l，n，g，g）是M上的Sasaki结构。因此，M3（l，n，g，g）是一个Sasakian流形.使用上述关系，我们可以容易地计算曲率张量R的非零分量，如下所示：RE;EE¼3E;RE;EE¼-3E;E@@@1@RE1;E3E1¼E2;RE;EE¼E1;1¼@x-y@z;E2¼@y;E3¼2@zRE;EE¼E;RE;EE¼E;在M的每一点都是线性无关的。设g是黎曼度量，定义为g苯丙氨酸1;E31/4g苯丙氨酸1;E21/4g苯丙氨酸2;E31/40g苯丙氨酸1;苯丙氨酸1g苯丙氨酸2;苯丙氨酸2g苯丙氨酸3;苯丙氨酸3g苯丙氨酸1：设g是1-形式，定义为g（U）=g（U，E3），U2v（M）。设f为（1，1）张量场，定义为/E1E2;/E2-E1;/E30：以及可以通过对称性从这些中获得的分量。由于{E1，E2，E3}形成三维Sasakian流形的基，因此任何向量场X，Y，Zv（M）都可以写为X<$a1E1b1E2c1E3;Y<$a2E1b2E2c2E3;Z<$a3E1b3E2c3E3;其中，ai;bi;ci2ffi（所有正实数的集合），因此，使用l和g的线性，我们有i= 1，2，3。然后关于广义/-递归Sasakian流形31我2221 31 31232 3231 21 2231 21 2331 21 21 22 11 222我我我2RX;YZa1c2-c1a2c3-3a1b2-b1a2b3]E1[英][英-[1/2b1c 2-c1b2-b3-a1c2-c1a2-a3]E3;G X; YZ a2 a3 b2 b3 c2 c3 a1 E1 b1 E2 c1 E3-a1a3b1b3c1c3a2E1b2E2c2E3：5：2根据公式5.1，我们得到：rE1R- c1a2a3E2-b3E1 ];5：3rE2R-c1b2a3E2b3E1 ];5：4rE3R由式（5.1）和式（5.2），我们得到确认作者感谢印度新德里大学拨款委员会以重大研究项目的形式 提 供 的 财 政 支 持 [F] 。 No. 39-30/ （ SR ） ， dated ：23/12/2010].引用[1] E. 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