Python包：Pygpc——基于多项式混沌方法的模型不确定性和灵敏度分析工具

SoftwareX 11（2020）100450原始软件出版物Pygpc：Python的灵敏度和不确定性分析工具箱2005年10月27日，第一个星期，2005年10月27日，2005年10月 28日，2005年Knöschea，da方法和发展小组脑网络，马克斯·普朗克人类认知和脑科学研究所，Stephanstr。 1a，04103 Leipzig，GermanybTechnische Universität Ilmenau，Advanced Electromagnetics Group，Helmholtzplatz 2，98693 Ilmenau，Germanyc莱比锡应用科学大学，电子和生物医学信息技术研究所，Wächterstr。13，04107莱比锡，德国dTechnische Universität Ilmenau，Institute of Biomedical Engineering and Informatics，Gustav-Kirchhoff-Straße 2，98693 Ilmenau，Germanyar t i cl e i nf o文章历史记录：2020年1月31日收到2020年3月6日收到修订版2020年3月6日接受关键词：灵敏度分析不确定性分析多项式混沌a b st ra ct我们提出了一个新的Python包计算模型的不确定性和灵敏度分析。的数学背景是基于非侵入性的广义多项式混沌方法，允许一个黑盒系统的调查模型，而不干扰他们的遗产代码。Pygpc经过优化，可以分析具有复杂且可能不连续的传递函数的模型，这些传递函数的计算成本很高。该工具箱确定多个感兴趣的量的不确定性并行，给定的系统参数和输入的不确定性。它还产生基于梯度的敏感性措施和Sobol指数，以揭示模型参数的相对重要性。©2020作者由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）中找到。代码元数据当前代码版本v0.27此代码版本使用的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX_2020_7代码海洋计算舱法律代码许可证BSD 3-clause/GPL-3.0使用GitHub的代码版本控制系统使用Python、C++、CUDA、OpenMP、Travis CI的软件代码语言、工具和服务编译要求，操作环境依赖性操作系统：Linux，Windows，MacOS如果可用，链接到开发人员文档/手册https://pygpc.readthedocs.io/en/latest/问题支持电子邮件kweise@cbs.mpg.de1. 动机和意义计算建模对于研究广泛的自然和人工系统至关重要，例如技术设备，气候和天气系统，经济和社会系统以及大脑。这种模型的输出取决于参数，这些参数通常由于各种原因而不完全已知，但可以通过概率密度函数来描述。因此，了解输出通讯作者：方法和发展组脑网络，马克斯普朗克人类认知和脑科学研究所，Stephanstr。1a，04103 Leipzig，Germany电子邮件地址：kweise@cbs.mpg.de（韩国）Weise）。https://doi.org/10.1016/j.softx.2020.100450由于参数的不确定性此外，我们试图揭示输出对每个参数的敏感程度，因为这告诉我们哪些参数是最重要的，哪些是不太重要的。为了回答这些问题，通常以随机或系统的方式对参数空间进行采样，可能由已知或假设的概率密度函数指导。经典方法，如朴素蒙特卡罗方法或蛮力搜索[1]，将需要产生许多计算昂贵的模型样本。然而，在许多相关模型中，参数空间很大，模型评估可能很耗时，并且这些方法很快产生了过高的计算成本。寻求减少计算工作量的替代方法，例如最坏情况评估[2]或线性化[3]，在其结论中受到更多限制。2352-7110/©2020作者。 由Elsevier B.V.出版。这是一篇开放获取的文章，使用CC BY许可证（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softx2K. 魏斯湖Poßner，E.Müller等人粤ICP备1104450号-1∑我我∑i=1 ψ[]×[]×我×拉吉吉α拉吉吉αiS=∑（u）（5）αiiα由于这些原因，pygpc是基于更有效的，非侵入式的，广义多项式混沌方法（gPC）[4]。它能够通过原始传递函数的高效元模型ν=α∈A\α0（uα）2.（四）导出了感兴趣量（QOI）的随机特性和灵敏度。一般来说，gPC已经应用于各种应用中，例如计算流体动力学[5设计优化[12]。Pygpc是一个基于Python的gPC库，具有高性能的C和CUDA-C 扩 展 ， 提 供 了 一 个 用 户 友 好 的 界 面 来 分 析 其 高 效 的 并 行CPU/GPU实现允许在从笔记本电脑到大型计算集群的不同性能的计算机硬件上分析非常复杂的模型，包括包含不连续性所实施的灵敏度分析允许识别正在调查的模型的最重要的参数，并大大加快原型和模型分析。现有的不确定性量化软件包，如UQ Toolkit（UQTK）[13，14]（https://github.com/sandialabs/UQTk），MITUncertaintyQuantification（MUQ）C++ Library（http：//Sobol指数S（ω）将感兴趣的量的总方差ν分解为可以归因于单个随机变量ωi或其组合的分量[22，23]。对于每个S（λ），仅考虑平方系数u2，其多个指数α属于仅对于感兴趣的λi具有非零值的集合Ai。（）12我ναα∈Ai基于全局导数的灵敏度系数S（k）是感兴趣的量相对于第i个随机变量的平均变化的测量值。它们通过gPC系数和基函数的相应偏导数确定[24]：S（）=E[q（）]=∑uα（）p（）d（6）muq.mit.edu/）和UQLab [15]（https://www.uqlab.com/），不提供这种高级功能的组合。到目前为止，我们已经在非破坏性测试[16]和神经科学[17然而，它可以应用于广泛的科学和工程领域。2. 软件描述gPC方法的核心概念是通过正交多项式基Σ找到随机变量Σ（输入参数）和感兴趣的量q之间的函数依赖性：q（q）uα<$α（α）。（一个）α∈A最后，使用传统的MC方法通过对gPC替代品进行采样来获得QOI的PDF。这是可能的，没有太多的计算工作，因为多项式描述的评估是远远少于原来的计算所消耗的时间。gPC的基础是构建能够模拟模型行为的基础有几种可能性在文献中公布，并由pygpc的作者开发，以提高gPC方法的效率，这将在下面更详细地讨论2.1. 软件构架图1给出了pygpc软件架构的简要概述。1 .一、用户设置模型后，使用函数<$α（<$）=<$di （i）是联合多项式类，不确定性问题是通过初始化问题班。这是通过分配随机参数来完成的gPC的基本功能。 它们由多项式使用RandomParameter类。gPC算法是我 （i）分别为每个随机变量定义。的多项式被选择为在由概率密度函数（PDF）pi（σi）[21]引起的赋范空间中正交。联合基函数的多指标α包括各个多项式的次数，基数Nc的集合ffi包含所选基的多指标。Pygpc提供了使用回归或求积方法来获得gPC系数uα的可能性。例如，写作(1)在矩阵形式产生的方程组中解决的回归方法：[U]=[Q]，（2）其中[N]是大小为[Ns Nc]的gPC矩阵，其中Nsde-注意样本的数量（模型评估），Nc分别表示基函数和gPC系数的数量[U]是大小为N c N q的系数矩阵包含Nq个QOI的gPC系数，并且[Q]是包含模型评估结果的大小为NsNq的解矩阵。求解（2）[U]得到多项式替代项： QOI作为随机输入参数的函数。这使得能够在计算上高效地调查其统计数据和敏感性。例如，期望（即，平均值）μ和方差ν由下式确定：µ=uα0（3）元素，并确定如何构造代理模型。它处理基础的构造并管理Grid类中的采样。随后，计算类调用模型并运行确定GPC类中的gPC系数所需的计算。在不连续的传递函数的情况下，随机空间被划分成部分，并且分类器将采样点分配给不同的子区域。通过达到一定的逼近阶或满足预先定义的收敛准则来完成分析。此后，所有元数据被保存在gPC会话对象中，而gPC系数、模拟结果等， 使用分层数据格式（HDF5，www.hdfgroup.org）保存在相关文件中。2.2. 软件功能Pygpc提供了将均匀分布、beta分布、gamma分布和正态分布分配给随机变量的可能性。代理模型使用相应的正交多项式族来构造，即，Legendre，Jacobi，Laguerre和Hermite多项式。除了用Python编写的模型之外，还可以通过安装MATLAB Engine API for Python来研究MATLAB模型[25]。pygpc的一个重要特性是实现gPC算法的种类繁多。一般来说，有可能ψα∈AiΘK. 魏斯湖Poßner，E.Müller等人粤ICP备1104450号-13→→→≈Fig. 1. pygpc的简化软件架构，展示了基本类和它们之间的交互。或者使用具有预定义的近似阶数和采样点数量的静态算法[17]，或者使用自适应算法[19]，其连续地构造采样点的基和网格，直到满足特定的误差标准。到目前为止，标准随机抽样和拉丁超立方体抽样（LHS）[26，27]已经实现，未来将通过进一步的抽样方法进行扩展。在pygpc中，可以使用传递函数的梯度来提高gPC的准确性和效率[28，29]。除此之外，可以选择不同的求解器来确定gPC系数，包括例如经典的平滑l2最小化器，如后者与我们的随机采样方法相结合，构成了压缩感知方案[30，31]。随着随机变量数量的增加，维数灾难会使分析变得更加困难甚至不可能。为了防止这种情况，pygpc允许通过重新参数化原始模型来自适应减少随机变量的数量通过识别QOI的雅可比矩阵的主要分量，执行 gPC基[32，33]的最佳旋转和简化当感兴趣的量不连续地取决于输入参数时，标准gPC可能缺乏足够的准确性，因为它使用在整个域中定义的多项式。为了克服这个问题，pygpc支持多元素gPC方法（MEGPC），其中包括基于k均值聚类的区域分解方法[34]。后者细分随机空间并为多层感知器分类器[35聚类器和分类器都可以被不同的算法所取代，这些算法在机器学习包scikit-learn中实现 [38]。在完成gPC并构建替代物之后，通过确定输出PDF和前四个中心矩（即，平均值、标准差、gPC矩阵的构造、其确定系数矩阵的解以及gPC矩阵与系数矩阵的乘法是具有最高计算成本的过程。当代理由大量基函数或大量基函数组成时，尤其如此。必须执行替代模型评估的BER。为了提高pygpc的性能，我们开发了一个高效的C++扩展。我们使用OpenMP和CUDA并行执行计算复杂的（可能很大的）gPC矩阵的创建根据所使用的硬件，与纯Python实现相比，性能可以显著提高2.3. 示例代码段分析作为每个gPC分析的第一步，用户需要使用AbstractModel类提供其模型的包装器（图2）。在第二步中，通过加载模型、定义不确定参数及其分布（问题定义）、选择算法以及通过启动gPC会话来运行分析来建立gPC会话。pygpc的前端有一个模块化的结构形式：模型问题算法会话。通过这种方式，模型可以很容易地被另一个模型所取代，或者通过为随机变量分配不同的属性或将其中一些定义为常数来重新定义问题。或者，构造代理模型可以用很少的努力来替换。3. 说明性示例在生物系统中，大的个体间差异会转化为模型参数的相当大的不确定性。神经科学中的一个典型问题是将大脑的未知结构参数与大脑活动的记录联系起来[39Jansen-Rit神经质量模型（NMM）是皮质柱内两个它由一组六个非线性耦合微分方程描述，并且先前已用于从宏观大脑活动的电生理记录推断大脑区域之间的连接强度和方向[45，46]。 要将此模型与实验数据联系起来，必须了解模型的参数依赖性。在这个例子中，我们研究了Jansen-Rit NMM的输入/输出行为我们改变了外部刺激的幅度和频率beta分布随机变量（图） 3 a）。QOI定义为作为突触后电位的主频率fαPC，锥体细胞，即具有最高功率谱密度的频率。该模型是使用Python包PyRates建立的[47]。由于模型行为显示快速相变（图1）。3d），我们使用MEGPC方法来近似其行为。该域被分成三个域，覆盖低频（蓝色）、中频（绿色）和高频（红色）区域考虑到输入参数的概率密度，所研究的参数空间中主频率的平均值和标准差为10.806 Hz，0.305 Hz。低频域和高频域之间的平滑过渡（f11 Hz）近似为gPC作为一个步骤。总的来说，gPC非常好地近似了复杂的模型行为。原始模型和gPC之间的总体差异约为5%（图3c）。它是从大小为N的独立评估数据集计算的，使用原始模型之间的归一化均方根偏差（NRMSD）解qi和gPC近似值qi：偏度和峰度。在随后的敏感性n∑N=（q−q）2分析，Sobol指数[22，23]和基于全局导数对于每个QOI确定敏感系数[9NRMSD1i=1i iNmax（q）− min（q）（七）4K. 魏斯湖Poßner，E.Müller等人粤ICP备1104450号-1- -表1图二. p y g p c 前 端 实例分析及整体结构;（左）：建立模型;（右）：建立关 联 的gPC会话。在工程中，识别最重要的Sobol指数和基于全局导数的Jansen-Rit NMM敏感性指数。参数Sobol指数全球衍生品α9.1e 4 0.0019 V/V频率0.48050.4246 V/Hzα·f0.5192-这可以通过参数空间中心的输入参数的更高概率密度来解释，这进一步强调了这个关键区域。灵敏度分析结果见表1。两种灵敏度测量均表明，主频对刺激幅度α不敏感，但对刺激频率f非常敏感。二阶Sobol系数与一阶Sobol系数的组合表明参数空间存在明显的不连续性。4. 影响除模型和数值误差外，由输入变量或模型参数误差引起的数据误差属于最大误差源。在大多数情况下，模型参数不能准确地指定，由于现有的实验数据的限制，或由于固有的情况下，个案的系统研究的可变性。不准确的知识的模型参数可能会导致研究的现实世界的系统和数值模拟之间的相当大的差异。因此，新模型的开发过程应始终伴随着彻底的敏感性分析，以调查和量化其稳定性和鲁棒性。这些分析必须与建模过程一起运行，不应该成为建模者的主要任务pygpc的黑盒特性允许快速集成用户定义的模型，而不需要进行耗时的调整。应用投影技术与现有技术的最小化的组合允许计算抵消维数灾难的稀疏gPC表示，从而提供研究高维系统的可能性。此外，实现MEGPC允许分析不连续的传递函数，这是非常常见的在现实世界中的系统。不确定性的来源，在生产之前，以减少原型制作过程中的迭代次数。这缩短了开发时间并提高了成本效率。除此之外，pygpc还可以用来验证模拟与真实世界的测量结果。全面的验证研究必须仔细考虑实验和计算的不确定性范围。后者固有地受到测量误差和系统缺陷的影响，这通常使用误差条来表示。pygpc的后处理例程允许计算数值模型的相同测量，使测量与模拟相当。一个实际的例子，其中pygpc的应用，提出了非破坏性洛伦兹力涡流检测- ing [16，48]。通过pygpc，可以量化多个未知输入参数的影响，从而在可靠性和重现性方面以经济高效的方式改善实验室设置，并验证模拟结果[16]。另一个应用领域是可靠性和风险分析，其目的是确定超过某些临界值或操作阈值的系统的概率和相关参数组合。除上述应用外，导出的替代门可用于优化模型行为。在这种情况下，QOI用于计算要最小化的目标函数。在应用gPC之后，可以在计算高效的多项式替代上执行优化，而不需要运行昂贵的模型计算。5. 结论所提出的软件可用于许多应用领域。我们证明了pygpc的能力上的神经元质量模型的不连续性。可以构造复杂传递函数的代理模型，其精度约为95%。借助灵敏度分析，可以深入了解参数依赖关系，并确定影响主频的最重要参数。我们的目标是提供一个通用的工具，有效的不确定性和灵敏度分析的黑箱系统。在今后几年中，将继续保持并进一步发展这一机制。K. 魏斯湖Poßner，E.Müller等人粤ICP备1104450号-15图三. pygpc分析Jansen-Rit型神经元质量模型的输入/输出行为的说明性示例;（a）beta分布输入参数其 中 形状参数p=q=3;α是外部刺激的幅度，f是外部刺激的频率;（b）包括抑制性中间神经元（IIN）、兴奋性中间神经元（EIN）和锥体细胞（PC）的Jansen-Rit神经元质量模型;（c）锥体细胞的突触后电位;（d）从原始模型获得的作为α和f的函数的主频;（e）主频的gPC近似;（f）原始模型和gPC近似之间的绝对差。(For在本图图例中颜色的解释，读者可参阅本文的网页版透过采用新的抽样方法，矩阵求解器，后处理程序和自适应算法，进一步提高其效能。pygpc的模块化结构允许在任何上述领域的贡献和快速实现。竞合利益作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，可能会影响本文报告的工作致谢这项工作得到了德国科学基金会（DFG）（资助号WE 59851/2）和德国NVIDIA公司（向KW和TK捐赠了两块Titan Xp显卡）的部分支持。我们感谢德国研究基金会（DFG）和伊尔梅瑙工业大学开放获取出版基金对文章处理费的引用[1]Salvador R，Ramirez F，V'yacheslavovna M，Miranda PC.组织介电特性对tDCS中诱导电场的影响：灵敏度分析。2012年IEEE医学与生物工程学会年会。第787- 790页。http://dx.doi.org/10.1109/EMBC.2012.6346049。[2] 放大图片作者：J.脑回几何形状对经颅磁刺激电场的影响。神经影像2011;54（1）：234-43。http://dx.doi.org/10.1016/j.neuroimage.2010.07.061网站。[3]Santos L，Martinho M，Salvador R，Wenger C，Fernandes SR，RipollesO，经颅直流电刺激期间大脑中电场的评估：敏感性分析。2016年第38届IEEE医学与生物工程学会（EMBC）国际年会。奥兰多，佛罗里达州，2016年。第1778- 1781页。http://dx.doi.org/10.1109/EMBC.2016.7591062。[4] 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