Doolittle分解法

Doolittle分解法是一种线性代数中的矩阵分解方法，用于求解线性方程组。该方法将一个系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，即 $A=LU$，其中 $L$ 是下三角矩阵，$U$ 是上三角矩阵，且对角线元素均为 $1$。这个过程可以通过高斯消元法来实现。

具体步骤如下：

1. 将系数矩阵 $A$ 分解为一个下三角矩阵 $L$ 和一个上三角矩阵 $U$，其中 $L$ 的对角线元素均为 $1$。

2. 首先将 $U$ 的第一行设置为 $A$ 的第一行，然后将 $L$ 的第一列设置为 $A$ 的第一列除以 $U$ 的第一行的第一个元素。

3. 对于 $i=2,3,...,n$，计算 $U$ 的第 $i$ 行为 $A$ 的第 $i$ 行减去 $L$ 的第 $i$ 列乘以 $U$ 的第一列至第 $i-1$ 列的乘积，即 $U_{i,j}=A_{i,j}-\sum_{k=1}^{i-1}L_{i,k}U_{k,j}$。

4. 对于 $i=2,3,...,n$，计算 $L$ 的第 $i$ 列为 $A$ 的第 $i$ 列减去 $L$ 的第 $i$ 行乘以 $U$ 的第一列至第 $i-1$ 行的乘积，再将其除以 $U$ 的第 $i$ 行的第 $i$ 个元素，即 $L_{i,j}=\frac{1}{U_{i,i}}(A_{i,j}-\sum_{k=1}^{i-1}L_{i,k}U_{k,j})$。

5. 最终得到 $A=LU$，其中 $L$ 是下三角矩阵，$U$ 是上三角矩阵，且对角线元素均为 $1$。

Doolittle分解法的主要优点是计算量相对较小，且可以有效地处理大型矩阵。