2的32次方mod47的值

将2的32次方mod 47的值计算出来，可以使用快速幂算法。具体计算过程如下：

1. 用二进制表示32，得到 100000。
2. 从右往左遍历二进制数，每次将上一次的结果平方并对47取模，如果当前位为1，则再乘上2并对47取模。
3. 遍历完二进制数后，得到最终结果。

按上述方法计算可得，2的32次方mod 47的值为8。

相关问题

2的2023次方处以1000的余数

根据题目，我们需要计算 $2^{2023} \mod 1000$ 的值。为了方便计算，我们可以将 $2^{2023}$ 表示成二进制形式，即 $2^{2023} = 2^{11} + 2^{32} + 2^{64} + 2^{128} + 2^{256} + 2^{512}$。然后我们可以使用引用中的公式计算出 $2^{2023}$ 的值，即：

$$2^{2023} = 2^{11} \times 2^{10} + 2^{32} \times 2^{9} + 2^{64} \times 2^{8} + 2^{128} \times 2^{7} + 2^{256} \times 2^{6} + 2^{512} \times 2^{5}$$

将上式中的 $x$ 取 $2$，$n$ 取 $11, 32, 64, 128, 256, 512$，代入引用中的公式，得到：

$$2^{2023} = 2 \times 2^{10} + 2^{32} \times 2^{9} + 2^{64} \times 2^{8} + 2^{128} \times 2^{7} + 2^{256} \times 2^{6} + 2^{512} \times 2^{5} = 2^{10} \times 1025 + 2^{32} \times 512 + 2^{64} \times 256 + 2^{128} \times 128 + 2^{256} \times 64 + 2^{512} \times 32$$

接下来，我们需要将上式中的每一项对 $1000$ 取模，然后再相加，最后再对 $1000$ 取模，即可得到 $2^{2023} \mod 1000$ 的值。具体过程如下：

$$\begin{aligned} 2^{10} \times 1025 \mod 1000 &= 25 \\ 2^{32} \times 512 \mod 1000 &= 0 \\ 2^{64} \times 256 \mod 1000 &= 0 \\ 2^{128} \times 128 \mod 1000 &= 0 \\ 2^{256} \times 64 \mod 1000 &= 0 \\ 2^{512} \times 32 \mod 1000 &= 0 \end{aligned}$$
因此，$2^{2023} \mod 1000 = (25 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0) \mod 1000 = 25$。

所以，$2^{2023}$ 除以 $1000$ 的余数为 $25$。

求 a 的 b 次方对 p 取模的值。

可以使用快速幂算法来解决这个问题，具体步骤如下：

1. 将 b 转化为二进制数，例如 b = 13 转化为二进制数为 1101。

2. 从右向左遍历二进制数，对于每个位置上的 1，将 a 的对应次幂乘起来，并对 p 取模。对于每个位置上的 0，则不进行操作。

3. 最终得到的结果就是 a 的 b 次方对 p 取模的值。

下面是一个 Python 的实现示例：

def power_mod(a, b, p):
    result = 1
    while b > 0:
        if b % 2 == 1:
            result = (result * a) % p
        a = (a * a) % p
        b //= 2
    return result

其中，`a` 表示底数，`b` 表示指数，`p` 表示取模的数。在每次循环中，如果当前二进制位是 1，则将 `result` 乘上 `a` 的对应次幂并对 `p` 取模；否则，只将 `a` 的平方对 `p` 取模。最后返回 `result` 即可。