回归模型——典型相关分析 回归 C++带类的实现及案例

典型相关分析是一种多元统计方法，它可以用来探索两组变量之间的关系。在这种方法中，我们将两组变量分别表示为 $X$ 和 $Y$，然后找到它们之间的线性组合，使得这些组合之间的相关性最大化。这些相关性被称为“典型相关性”。

下面是一个使用 C++ 实现典型相关分析的示例代码，其中包括一个带类的实现。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <Eigen/Dense> // 使用 Eigen 库进行矩阵计算

using namespace Eigen;

class CanonicalCorrelationAnalysis {
public:
    void fit(const MatrixXd& X, const MatrixXd& Y) {
        // 计算 X 和 Y 的均值
        VectorXd meanX = X.colwise().mean();
        VectorXd meanY = Y.colwise().mean();
        
        // 将 X 和 Y 居中
        MatrixXd centeredX = X.rowwise() - meanX.transpose();
        MatrixXd centeredY = Y.rowwise() - meanY.transpose();
        
        // 计算 X 和 Y 的协方差矩阵
        MatrixXd covXX = centeredX.transpose() * centeredX;
        MatrixXd covYY = centeredY.transpose() * centeredY;
        MatrixXd covXY = centeredX.transpose() * centeredY;
        
        // 计算 X 和 Y 的特征向量和特征值
        SelfAdjointEigenSolver<MatrixXd> solverXX(covXX);
        SelfAdjointEigenSolver<MatrixXd> solverYY(covYY);
        
        // 由于 covXY 不一定对称，因此我们需要使用广义特征值分解来计算它的特征向量和特征值
        GeneralizedSelfAdjointEigenSolver<MatrixXd> solverXY(covXX, covXY, EigenvaluesOnly);
        
        // 获取特征值和特征向量
        MatrixXd eigenvecsXX = solverXX.eigenvectors();
        MatrixXd eigenvecsYY = solverYY.eigenvectors();
        MatrixXd eigenvecsXY = solverXY.eigenvectors();
        VectorXd eigenvalsXY = solverXY.eigenvalues();
        
        // 对特征向量进行归一化，使其成为单位向量
        eigenvecsXX.normalize();
        eigenvecsYY.normalize();
        
        // 将特征向量按照特征值大小排序
        std::vector<std::pair<double, VectorXd>> sortedXY;
        for (int i = 0; i < eigenvalsXY.size(); ++i) {
            sortedXY.push_back(std::make_pair(eigenvalsXY(i), eigenvecsXY.col(i)));
        }
        std::sort(sortedXY.begin(), sortedXY.end(), std::greater<std::pair<double, VectorXd>>());
        
        // 获取 X 和 Y 的投影矩阵
        MatrixXd projX = eigenvecsXX;
        MatrixXd projY = eigenvecsYY;
        for (int i = 0; i < sortedXY.size(); ++i) {
            projX = projX * sortedXY[i].second.segment(0, X.cols());
            projY = projY * sortedXY[i].second.segment(X.cols(), Y.cols());
        }
        
        // 将结果保存到类的成员变量中
        m_projX = projX;
        m_projY = projY;
        m_corr = sortedXY;
    }
    
    // 获取 X 和 Y 的投影矩阵
    MatrixXd getProjectionX() const { return m_projX; }
    MatrixXd getProjectionY() const { return m_projY; }
    
    // 获取 X 和 Y 的典型相关性
    std::vector<std::pair<double, VectorXd>> getCorrelations() const { return m_corr; }
    
private:
    MatrixXd m_projX;
    MatrixXd m_projY;
    std::vector<std::pair<double, VectorXd>> m_corr;
};

int main() {
    // 创建数据矩阵 X 和 Y
    MatrixXd X(4, 3);
    X << 1, 2, 3,
         4, 5, 6,
         7, 8, 9,
         10, 11, 12;
         
    MatrixXd Y(4, 2);
    Y << 1, 2,
         3, 4,
         5, 6,
         7, 8;
    
    // 创建 CanonicalCorrelationAnalysis 类的实例
    CanonicalCorrelationAnalysis cca;
    
    // 进行典型相关分析
    cca.fit(X, Y);
    
    // 输出结果
    std::cout << "Projection matrix for X:\n" << cca.getProjectionX() << "\n\n";
    std::cout << "Projection matrix for Y:\n" << cca.getProjectionY() << "\n\n";
    std::cout << "Canonical correlations:\n";
    for (auto corr : cca.getCorrelations()) {
        std::cout << corr.first << "\n";
    }
    
    return 0;
}

在上面的代码中，我们使用了 Eigen 库来进行矩阵计算。我们首先计算了 X 和 Y 的均值，并将其居中。然后，我们计算了 X 和 Y 的协方差矩阵，并使用特征值分解和广义特征值分解来获取特征向量和特征值。最后，我们将特征向量按照特征值大小排序，并计算 X 和 Y 的投影矩阵。

在示例代码中，我们使用了一个简单的数据集，其中 X 是一个 $4 \times 3$ 的矩阵，Y 是一个 $4 \times 2$ 的矩阵。我们运行典型相关分析，并输出了投影矩阵和典型相关性结果。