matlab 已知y(K)+2y(k-1)+2y(k-2)=f(k)+f(k-1),y(-1)=1,y(-2)=2,f(k)=u(k),求系统的h(k)、g(k)、y(k)

首先，将系统的差分方程表示成矩阵形式：

| y(k)   |   | 2  2  1 |   | y(k-1) |
| y(k-1) | = | 1  0  0 | * | y(k-2) |
| y(k-2) |   | 0  1  0 |   | f(k-1) |

将初始条件代入矩阵方程，得到：

| y(0) |   | 2  2  1 |^0 * | 2 |
| y(-1)| = | 1  0  0 |   | 1 |
| y(-2)|   | 0  1  0 |   | 1 |

解出矩阵的幂：

| y(k)   |   | 2  2  1 |^k   | 2   |   | 1   0   0 |   | 2 |
| y(k-1) | = | 1  0  0 |   | 1   | = | 2   1   0 | * | 1 |
| y(k-2) |   | 0  1  0 |   | f(k-1)|   | 1   0   1 |   | 1 |

因此，系统的传递函数为：

Y(z)     1
---- = ----- * (z^2 + 2z + 2)
F(z)   z^2 + 1

可以看出，系统的零点为 z = -1- i 和 z = -1+ i，极点为 z = i 和 z = -i。

接下来，求解系统的 h(k) 和 g(k)：

h(k) = [ z^k ] Y(z) = [ z^k ] (z^2 + 2z + 2) / (z^2 + 1) = { 2cos(kπ/2)  k为偶数
                                                              { 0           k为奇数

g(k) = [ z^k ] H(z) = [ z^k ] (z+1)^2 / (z^2 + 1) = { 1-(-1)^k  k为偶数
                                                  { 0          k为奇数

最后，求解 y(k)：

y(k) = h(k) * f(k) + g(k) * u(k)

其中，u(k) = f(k)。

综上所述，系统的 h(k)、g(k) 和 y(k) 表示为：

h(k) = { 2cos(kπ/2)  k为偶数
       { 0           k为奇数

g(k) = { 1-(-1)^k  k为偶数
       { 0          k为奇数

y(k) = { 2cos(kπ/2)u(k) + (1-(-1)^k)u(k-1)   k为偶数
       { 2cos(kπ/2)u(k)                     k为奇数