分析𝑈[t_]: = Exp[−𝑡^2⁄((1⁄100)^2) + 𝐼 ∗ 200 ∗ 𝜋𝑡] ∗ Exp[(𝐼 ∗ 𝑡^2)⁄(1⁄100)^2]的强度和相位的变化规律
时间: 2023-12-06 09:42:56 浏览: 26
我们可以将𝑈[t]分解为振幅和相位两个部分,即:
𝑈[t] = 𝐴[t] × Exp[𝐼 × 𝜙[t]]
其中,
𝐴[t] = Exp[−𝑡^2⁄((1⁄100)^2)] × Exp[(𝐼 × 200 × 𝜋 × 𝑡)]
为振幅函数,表示波的强度随时间的变化规律,而
𝜙[t] = 𝑡^2⁄(1⁄100)^2
为相位函数,表示波的相位随时间的变化规律。
我们可以先观察振幅函数。由于指数函数的特性,当时间𝑡增大时,振幅函数的实部和虚部都会周期性地振荡。实部的振荡频率为200Hz,虚部的振荡频率也为200Hz,但相位相差90度。此外,振幅函数的幅值随时间呈高斯分布,最大值约为1。
接下来观察相位函数。相位函数是一个关于𝑡的二次函数,开口向上,因此相位随时间的变化规律是一个抛物线形状。相位的变化速度随时间的增大而加快,最终趋于无穷大。
综上所述,𝑈[t]的强度和相位的变化规律为:
强度:随时间呈高斯分布,最大值约为1,实部和虚部都会周期性地振荡,振荡频率为200Hz,幅值不断衰减。
相位:随时间呈抛物线形状,变化速度随时间的增大而加快,最终趋于无穷大。
相关问题
分析高斯信号波经相位调制后的𝑈[t_]: = Exp[−𝑡^2⁄((1⁄100)^2) + 𝐼 ∗ 200 ∗ 𝜋𝑡] ∗ Exp[(𝐼 ∗ 𝑡^2)⁄(1⁄100)^2]的强度的变化规律
首先,根据复数指数形式,这个信号可以表示为:
𝑈[𝑡] = exp(−𝑡^2/((1/100)^2) + 𝐼 ∗ 200 ∗ 𝜋𝑡) ∗ exp((𝐼 ∗ 𝑡^2)/(1/100)^2)
其中,exp表示自然指数函数,𝑡表示时间,𝐼表示虚数单位。
接下来,我们可以分别考虑两个指数函数对强度的影响。
第一个指数函数exp(−𝑡^2/((1/100)^2) + 𝐼 ∗ 200 ∗ 𝜋𝑡)的实部为exp(−𝑡^2/((1/100)^2)),虚部为exp(𝐼 ∗ 200 ∗ 𝜋𝑡)。因为实部是一个高斯分布函数,它的峰值出现在t=0,随着时间的增加,幅值将逐渐下降。虚部是一个正弦函数,它的周期是1/100,频率是200π,也就是说,它在时间轴上每隔1/200秒重复一次。因此,它的强度呈现出一个周期性变化的特点。
第二个指数函数exp((𝐼 ∗ 𝑡^2)/(1/100)^2)是一个复数的高斯函数,它的实部和虚部都呈现出高斯分布的特点。因为它的实部和虚部都是关于t=0对称的,所以它们的峰值出现在t=0,并且随着时间的增加而逐渐下降。
因此,综合考虑两个指数函数的影响,这个信号的强度将呈现出一个周期性变化的高斯分布,峰值出现在t=0,并且随着时间的增加而逐渐下降。同时,在每个周期内,强度的变化也呈现出高斯分布的特点。
对高斯信号波进行频率调制后得到函数U[t_]:=Exp[(-t^2)⁄(((1⁄100)^2))+I200πt]Exp[It∑_(n=0)^3▒〖Sin[nπt]〗];分析相位的变化规律
首先,我们可以将函数U[t]拆分成两个部分,即:
U[t] = Exp[(-t^2)⁄(((1⁄100)^2))] * Exp[I200πt] * Exp[It∑_(n=0)^3▒〖Sin[nπt]〗]
其中,第一个部分是高斯信号波,第二个部分是频率为200π的正弦波,第三个部分是频率为nπ的正弦波的和(其中n=0,1,2,3)。
因此,我们可以将U[t]看作是高斯信号波和多个正弦波的叠加,而叠加的系数则由相位角决定。
对于高斯信号波部分,相位角为:
φ1 = -t^2 / ((1/100)^2)
对于频率为200π的正弦波部分,相位角为:
φ2 = 200πt
对于频率为nπ的正弦波部分,相位角为:
φ3 = nπt
因此,总相位角为:
φ = φ1 + φ2 + φ3
将上面的三个相位角代入,得到:
φ = -t^2 / ((1/100)^2) + 200πt + ∑_(n=0)^3▒nπt
化简后可得:
φ = -10000t^2 + 200πt + 6πt
再次化简可得:
φ = -10000t^2 + 206πt
因此,我们可以得到相位角随时间变化的规律是一个二次函数,其中t的系数是-10000,常数项是0,线性项系数是206π。
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