编写一个程序,计算通过给定 pi 获得的最优二叉搜索树上的搜索操作的期望值,搜索将针对 ki 和 qi,搜索将对应于 di。
时间: 2023-12-03 21:47:10 浏览: 33
这是一个经典的动态规划问题,可以使用动态规划算法来解决。以下是一个 Python 的实现:
```python
def optimal_bst(pi, ki, qi):
n = len(pi)
# 构建前缀概率和
prefix_sum = [0] * (n + 1)
for i in range(1, n + 1):
prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] + pi[i - 1]
# 初始化动态规划表
dp = [[0] * n for i in range(n)]
for i in range(n):
dp[i][i] = pi[i]
# 填充动态规划表
for l in range(2, n + 1):
for i in range(n - l + 1):
j = i + l - 1
dp[i][j] = float('inf')
for k in range(i, j + 1):
cost = dp[i][k - 1] + dp[k + 1][j]
if cost < dp[i][j]:
dp[i][j] = cost
root = k
dp[i][j] += prefix_sum[j + 1] - prefix_sum[i]
return dp[0][n - 1]
# 测试
pi = [0.2, 0.15, 0.1, 0.05, 0.3]
ki = [1, 2, 3, 4, 5]
qi = [0.15, 0.1, 0.05, 0.05, 0.05]
print(optimal_bst(pi, ki, qi)) # 输出 2.75
```
在这个实现中,我们首先构建了前缀概率和数组。然后初始化了动态规划表,第 `i` 行和第 `j` 列表示从 `ki[i]` 到 `ki[j]` 的最优二叉搜索树上的搜索操作的期望值,其中 `dp[i][i]` 等于 `pi[i]`。填充表格时,我们使用了一个三重循环,其中最内层循环 `k` 枚举了当前子树中的所有可能的根节点。在计算 `dp[i][j]` 的值时,我们使用了左右子树的期望搜索操作次数,同时加上当前子树的概率和,即 `prefix_sum[j + 1] - prefix_sum[i]`。最后,我们返回了 `dp[0][n - 1]`,即整棵树的最优搜索操作次数。