\int_0^{\sqrt{3} a} \frac{d x}{d^2+x^2}
时间: 2023-03-24 07:01:32 浏览: 63
首先,我们注意到被积函数中的 $d^2x/dx^2$ 表示的是 $x$ 对时间的二阶导数,而在这个积分中并没有时间变量。因此,我们可以把它看做一个常数 $k$,这样原积分就可以化简为:
$$\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{dx}{k} = \frac{1}{k} \int_0^{\sqrt{3}a} dx = \frac{\sqrt{3}a}{k}$$
因此,我们只需要求出常数 $k$ 即可解决这个积分。由于 $d^2x/dx^2$ 表示的是 $x$ 对时间的二阶导数,我们可以考虑一个简单的运动学问题:在匀加速直线运动中,位移 $x$、初速度 $v_0$ 和加速度 $a$ 之间的关系为 $x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$。对此式两次求导,得到:
$$\frac{d^2x}{dt^2} = a$$
因此,我们可以把 $d^2x/dx^2$ 看做常数 $k$,其中 $k$ 表示加速度,即 $k = a$。在匀加速直线运动中,加速度 $a$ 可以用初速度 $v_0$、末速度 $v$ 和时间 $t$ 来表示,即 $a = (v - v_0)/t$。对于本题,初速度 $v_0 = 0$,末速度 $v$ 可以用初速度和加速度表示,即 $v = v_0 + at = at$,时间 $t$ 可以用位移和初速度表示,即 $t = \sqrt{2x/a}$。因此,我们有:
$$a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{at}{\sqrt{2x}} = \frac{a \sqrt{2x}}{\sqrt{2x}} = \frac{a}{x}x$$
因此,我们得到 $k = a/x$。将其代入原积分中,得到:
$$\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{dx}{k} = \int_0^{\sqrt{3}a} \frac{x}{a} dx = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{2} x^2 \Bigg|_0^{\sqrt{3}a} = \frac{\sqrt{3}a^2}{2}$$
因此,原积分的结果为 $\boxed{\frac{\sqrt{3}a}{k} = \frac{\sqrt{3}a^2}{2}}$。
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