有n堆石子排成一排,每堆石子有一定的数量,现要将n堆石子合并成为一堆,合并只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆,每次合并花费的代价为这两堆石子的和,经过n-1次合并后成为一堆,求出总代价的最小值。
时间: 2023-05-31 20:18:38 浏览: 90
### 回答1:
这是一道经典的动态规划问题。我们可以定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示将第i堆到第j堆石子合并成一堆的最小代价。显然,当i=j时,dp[i][j]=,因为只有一堆石子不需要合并。
当i<j时,我们可以枚举k,表示将第i堆到第j堆石子中的任意一堆作为最后一堆合并的位置,此时的代价为dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j],其中sum[i][j]表示第i堆到第j堆石子的总和。我们需要在所有可能的k中选择代价最小的那个,即:
dp[i][j] = min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j]),其中i<=k<j
最终的答案为dp[1][n],即将所有石子合并成一堆的最小代价。
时间复杂度为O(n^3),可以通过一些优化将其降低到O(n^2)。
### 回答2:
这是一道经典的动态规划问题,可以使用动态规划算法来解决。
首先定义一个二维数组dp[i][j]表示将i到j这些石堆合并为一堆所需的最小代价。其中i <= j,dp[i][j]为0表示只有一堆石子的情况。
对于dp[i][j],我们可以考虑将其分为两个子问题,即将i到k合并为一堆,k+1到j合并为一堆,然后将这两堆合并为一堆,此时的代价为sum[i][k]+sum[k+1][j]+dp[i][k]+dp[k+1][j],其中sum[i][j]表示从第i堆到第j堆的石子数量之和。
因此,dp[i][j]可以表示为:
dp[i][j] = min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][k]+sum[k+1][j])
其中k的范围是[i,j-1],因此我们需要对每个dp[i][j]进行遍历求解,时间复杂度为O(n^3)。
但是,我们可以通过优化来减少时间复杂度。由于计算dp[i][j]时需要用到dp[i][k]和dp[k+1][j],因此可以使用记忆化搜索将已经计算过的值保存下来,避免重复计算。时间复杂度为O(n^2)。
最终答案为dp[1][n],即将所有石堆合并为一堆的最小代价。
需要注意的是,这里的动态规划算法是属于自顶向下的思路,而不是自底向上,因为自底向上的思路需要满足子问题的解已经求出,而这里的子问题是动态变化的,因此不能使用自底向上的思路。
### 回答3:
这是一个经典的动态规划问题,首先可以考虑状态的定义,设dp[i][j]表示将i~j堆石子合并成一堆的最小代价。接下来考虑状态转移方程,假设在合并第k堆石子时,将i~j分成了i~k-1和k~j两部分,则有:
$$dp[i][j] = \min\limits_{i\le k<j} (dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][k]+sum[k+1][j])$$
其中sum[i][j]表示i~j堆石子的和。可以通过动态规划预处理出sum数组,然后根据上述状态转移方程使用动态规划算法求解出dp[n][n]即为所求的最小代价。
最后给出动态规划算法的伪代码:
初始化:dp[i][i] = 0, sum[i][i] = a[i](a表示原始石子堆的数量)
for len = 2 to n:
for i = 1 to n-len+1:
j = i+len-1
dp[i][j] = INF
for k = i to j-1:
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][k]+sum[k+1][j])
最终答案为dp[1][n]