设T为12条边的树，其顶点度为1,2,5。如果T恰有3个度为2的顶点，那么T有多少片树叶？

树的性质是：$n$个顶点的树有$n-1$条边。

设度为1的顶点有$a$个，度为2的顶点有$b$个，则度为5的顶点有$1$个。

由于树有$n-1=12$条边，因此有$$a+2b+5=2\times 12=24$$

又因为度为2的顶点有3个，因此有$$a+b+3=12$$

将上述两个方程联立解得$a=1,b=8$。因此，叶子节点数为度为1的顶点数，即为1个，答案为1。

相关问题

设无向树T中,有1个5度顶点,3个4度顶点,2个2度顶点,其余的顶点均为树叶,求T的阶数n

设树T的叶子节点数为x，则树T的顶点数n为：

n = 1 + 3 + 2 + x

根据握手定理（又称为握手问题或手枚举问题），在无向图中，每个顶点的度数之和等于2倍的边数。因为树T是无向树，所以它的所有顶点的度数之和等于2倍的边数。

因为树T中所有非叶子节点的度数之和为：

5 × 1 + 4 × 3 + 2 × 2 = 21

所以树T的边数为：

边数 = 总度数 / 2 = 21 / 2 = 10.5

但是因为树的边数是整数，所以我们需要向上取整，即树T的边数为11。

因为树T的阶数等于其顶点数，所以树T的阶数为：

n = 1 + 3 + 2 + x = 6 + x

又因为树T的边数为11，所以根据上面的公式，得到：

6 + x = 11

解方程得到：

x = 5

因此，树T的阶数为：

n = 1 + 3 + 2 + x = 1 + 3 + 2 + 5 = 11

设T是至少有两个顶点的树，证明如果T是一个完整的二叉树，那么T的叶子数正好比内部顶点数（非叶子顶点）多一个

我们可以使用数学归纳法来证明这个结论。

当T只有两个顶点时，结论显然成立。

假设当T的顶点数小于n时，结论都成立，现在考虑T有n个顶点的情况。

由于T是一棵完整的二叉树，所以T的根节点有两个子节点，分别为左子节点和右子节点。如果T的左右子树的高度都为1（即只有一个叶子节点），那么T只有三个节点，其中有一个是叶子节点，另外两个是内部顶点，结论成立。

如果T的左右子树高度不全为1，设左右子树高度分别为h1和h2，则h1和h2的差值必须为1，否则T就不是一棵完整的二叉树。因为T的子树都是完整的二叉树，所以T的左子树必须有2^(h1-1)个叶子节点，右子树必须有2^(h2-1)个叶子节点。所以T的总叶子节点数为2^(h1-1)+2^(h2-1)。

根据归纳假设，T的左子树必须有h1-1个内部顶点，右子树必须有h2-1个内部顶点。所以T的总内部顶点数为h1+h2-2。将总叶子节点数和总内部顶点数相减，得到：

2^(h1-1)+2^(h2-1)-(h1+h2-2)=2

因为h1和h2的差值必须为1，所以只需要考虑h1=h2和h1=h2+1这两种情况。当h1=h2时，上式等于2^(h1-1)+2^(h1-1)-(2h1-2)=2^(h1+1)-2h1，这个值恰好比内部顶点数（2h1-2）多一个。

当h1=h2+1时，上式等于2^(h1-1)+2^(h1-2)-(2h1-4)=2^(h1-1)-2h1+6，这个值也恰好比内部顶点数（2h1-2）多一个。

因此，无论哪种情况，结论都成立。证毕。