$$\text{minimize} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n c_{ij}x_{ij}$$ $$\text{subject to}$$ $$\sum_{j=1}^n x_{ij}=1, \text{for }i=1,2,...,n$$ $$\sum_{i=1}^n x_{ij}=1, \text{for }j=1,2,...,n$$ $$\sum_{i\in S,j\in S,i\neq j} x_{ij}\leq |S|-1, \text{for }S\subset{1,2,...,n},|S|>1$$ $$\sum_{j=1}^n q_j\sum_{i=1}^n x_{ij}\leq Q$$ $$\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=p+1}^{n+p}x_{ij}=m$$ $$e_i\leq t_i< l_i, \text{for }i=1,2,...,n$$写的通俗一点

好的，让我来解释一下：

DVRP问题的数学模型如下：

目标是最小化所有配送车辆的总行驶距离或总用时。

约束条件如下：

1. 每个配送点都要被一个配送车辆访问：每个配送点$i$都要被某个配送车辆访问，即每行$x_{ij}$中只有一个$x_{ij}=1$。

2. 每个配送车辆都要访问一个配送点：每个配送车辆$j$都要访问某个配送点$i$，即每列$x_{ij}$中只有一个$x_{ij}=1$。

3. 配送车辆路径的连通性：所有的配送车辆路径必须是连通的，即对于任意一个非空子集$S \subseteq \{1,2,...,n\}$，满足 $\sum_{i\in S}\sum_{j\in S, i\neq j} x_{ij}\geq 1$。

4. 配送车辆容量限制：每个配送车辆的容量都是有限制的，即$\sum_{j=1}^n q_j\sum_{i=1}^n x_{ij}\leq Q$。

5. 配送车辆数量限制：有限数量的配送车辆可用于DVRP问题，即$\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=p+1}^{n+p}x_{ij}=m$。

6. 时间窗口限制：每个配送点都有一个时间窗口，即在一个特定的时间段内需要完成配送，如果超过了时间窗口，则需要承担额外的惩罚成本，即$e_i\leq t_i< l_i, \text{for }i=1,2,...,n$。

希望这样解释能让您更好地理解DVRP问题的数学模型。

相关问题

$$ \begin{aligned} min \quad&\sum_{t=1}^{T}\sum_{i=1}^{n}\lbrace C_ix_i(t) + h_iy_i(t) +\sum_{j=1}^ns_{ij}w_{ij}(t) \rbrace\ s.t. \quad &y_i(t-1)+x_i(t)-\sum_{j=1}^{n}w_{ij}(t)=y_i(t)\ \quad &\sum_{j=1}^{n}w_{ji}(t)=z_i(t)\ &y_i(t)\ge 0\ &y_i(0)=0\ &i=1,2,...,n\ &j=1,2,...,n\ \end{aligned} $$将这个用latex编写的整数规划模型写成分布式鲁棒优化模型，其中需求$z_i(t)$为不确定的

为了将整数规划模型转化为分布式鲁棒优化模型，我们需要引入一些变量和约束条件。具体来说，我们引入以下变量：

- $x_i(t), y_i(t)$：整数规划模型中的变量。
- $w_{ij}(t), v_{ij}(t), u_i(t)$：新引入的变量，用于表示约束条件中的不等式和等式。
- $\Delta_i(t)$：表示需求$z_i(t)$的不确定性，可看作是一个随机变量。

引入这些变量后，我们可以将整数规划模型转化为以下的分布式鲁棒优化模型：

$$ \begin{aligned} \text{minimize} \quad&\sum_{t=1}^{T}\sum_{i=1}^{n}\lbrace C_ix_i(t) + h_iy_i(t) +\sum_{j=1}^ns_{ij}w_{ij}(t) \rbrace\\ \text{subject to} \quad & y_i(t-1)+x_i(t)-\sum_{j=1}^{n}w_{ij}(t)=y_i(t)+v_{ij}(t)\quad\forall i, t\\ &\sum_{j=1}^{n}w_{ji}(t)=z_i(t)+u_i(t)\quad\forall i, t\\ &y_i(t)\ge 0,\ w_{ij}(t)\ge 0,\ v_{ij}(t)\ge 0,\ u_i(t)\ge 0\quad\forall i, j, t\\ &y_i(0)=0\quad\forall i\\ & \sum_{t=1}^{T} \Delta_i(t)u_i(t) \leq \bar{\Delta}_i\quad\forall i\\ & \Delta_i(t) \in \mathcal{D}_i\quad\forall i, t \end{aligned} $$

其中，$\bar{\Delta}_i$表示需求$z_i(t)$的不确定性上限，$\mathcal{D}_i$表示需求$z_i(t)$的不确定性集合。这个分布式鲁棒优化模型可以保证在不确定需求的情况下，系统仍能够稳定运行，且保证了解的鲁棒性。

某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19米长。现有一客户需要50根4米长、20根6米长和15根8米长的钢管。应如何下料最节省？对上述问题进行数学建模

为了最节省下料，我们需要尽量减少浪费的钢管长度。因此，我们需要将19米长的原料钢管切割成50根4米长、20根6米长和15根8米长的钢管。这个问题可以转化为一个线性规划问题。

我们可以使用以下变量：

- $x_i$：从第$i$根19米长的原料钢管中切割出的4米长的钢管的数量。
- $y_i$：从第$i$根19米长的原料钢管中切割出的6米长的钢管的数量。
- $z_i$：从第$i$根19米长的原料钢管中切割出的8米长的钢管的数量。

我们的目标是最小化浪费的钢管长度，因此可以将目标函数设置为：

$$\text{minimize } f(x,y,z) = 19\sum_{i=1}^{n} (1 - x_i - y_i - z_i)$$

其中，$n$是原料钢管的数量。

我们还需要满足以下约束条件：

- 每根原料钢管都要被使用，即：

$$x_i + y_i + z_i \leq 1, \quad i = 1,2,\dots,n$$

- 每种长度的钢管的数量都需要满足要求，即：

$$\sum_{i=1}^{n} x_i = 50$$
$$\sum_{i=1}^{n} y_i = 20$$
$$\sum_{i=1}^{n} z_i = 15$$

- 切割出的钢管长度不能超过原料钢管的长度，即：

$$4x_i + 6y_i + 8z_i \leq 19, \quad i = 1,2,\dots,n$$

此外，$x_i, y_i, z_i$都是非负整数。因此，我们可以将问题表示为以下线性规划问题：

$$\text{minimize } f(x,y,z) = 19\sum_{i=1}^{n} (1 - x_i - y_i - z_i)$$

$$\text{subject to }$$
$$\begin{aligned}
x_i + y_i + z_i &\leq 1, \quad i = 1,2,\dots,n \\
\sum_{i=1}^{n} x_i &= 50 \\
\sum_{i=1}^{n} y_i &= 20 \\
\sum_{i=1}^{n} z_i &= 15 \\
4x_i + 6y_i + 8z_i &\leq 19, \quad i = 1,2,\dots,n \\
x_i, y_i, z_i &\geq 0 \\
x_i, y_i, z_i &\in \mathbb{Z}
\end{aligned}$$

其中，$\mathbb{Z}$表示整数集合。