对于世界坐标系下表示的三维空间点P,其在正交投影下的像点坐标是多少?其在透视投影下的像点坐标是多少?
时间: 2024-06-04 10:08:10 浏览: 54
在正交投影下,三维点P在相机坐标系中的坐标为(Px, Py, Pz),其对应的像点坐标为(x,y),其中x和y分别等于Px和Py在相机坐标系中的投影,即x = Px,y = Py。因此,在世界坐标系下表示的三维空间点P在正交投影下的像点坐标为(x,y)。
在透视投影下,三维点P在相机坐标系中的坐标为(Px, Py, Pz),其对应的像点坐标为(x,y),其中x和y分别等于Px/Pz和Py/Pz。因此,在世界坐标系下表示的三维空间点P在透视投影下的像点坐标为(x,y)。
相关问题
三维坐标点转二维坐标点
将三维坐标点转换为二维坐标点需要选择一个投影方式。最常见的有正交投影和透视投影两种方式。
正交投影将三维坐标点沿着某个方向投影到二维平面上,不会产生透视效果。可以使用以下公式将三维坐标点 $(x,y,z)$ 转换为二维坐标点 $(x',y')$:
$$x' = x$$
$$y' = y$$
透视投影则是将三维坐标点投影到一个视点位置,产生透视效果。可以使用以下公式将三维坐标点 $(x,y,z)$ 转换为二维坐标点 $(x',y')$:
$$x' = \frac{f \cdot x}{z}$$
$$y' = \frac{f \cdot y}{z}$$
其中,$f$ 为视点到投影平面的距离,$z$ 为三维坐标点的 $z$ 坐标。
需要注意的是,二维坐标点的值可能会溢出或不在屏幕范围内,需要进行处理。
如下图所示,在观察坐标系Ovxvyvzv和屏幕坐标系Osxsyszs中,xvOvyv面与xsOsys面平行,而zv轴与zs轴同向。设视点Ov与视心Os之间的视距d为20。另外,世界坐标系Owxwywzw与观察者坐标系Ovxvyvzv之间的坐标转换关系如式(1)所示。 (1) 设三维空间中点P在世界坐标系中的坐标为PW(-40, 60, 40),请求解下列问题: (1) 计算空间点P在观察者坐标系下的坐标Pv(xv,yv,zv); (2) 计算空间点P在屏幕平面xsOsys上的正交投影点ps0的坐标(xs0,ys0); (3) 计算空间点P在屏幕平面xsOsys上的透视投影点ps1的坐标(xs1,ys1); (4) 若观察空间中的近剪切面与视点Ov的距离Near为20,远剪切面与视点Ov的距离Far为220,请计算透视投影点ps1的伪透视深度Zs1.
(1) 首先将点P在世界坐标系下的坐标转换为观察者坐标系下的坐标,根据式(1):
```
| xv | | -0.7071 0.0000 -0.7071 0 | | -40 |
| yv | = | 0.3536 0.8660 -0.3536 0 | * | 60 |
| zv | | 0.6124 -0.5000 -0.6124 20 | | 40 |
| 1 | | 0.0000 0.0000 0.0000 1 | | 1 |
```
计算得到P在观察者坐标系下的坐标为Pv(-48.8904, 85.1044, -51.0788)。
(2) 点P在屏幕平面xsOsys上的正交投影点ps0,其z坐标等于Pv的z坐标,即zs0 = -51.0788。由于xvOvyv面与xsOsys面平行,因此ps0的x坐标等于Pv的x坐标,即xs0 = -48.8904。同理,ys0 = 85.1044。
(3) 点P在屏幕平面xsOsys上的透视投影点ps1,需要先将Pv转换为齐次裁剪坐标系下的坐标,再通过透视除法计算得到ps1的坐标。将Pv转换为齐次裁剪坐标系下的坐标,可使用以下矩阵:
```
| -d/zv 0 0 0 |
| 0 -d/zv 0 0 |
| 0 0 -f/(f-n) -fn/(f-n) |
| 0 0 -1 0 |
```
其中d为视距,f为远剪切面与视点Ov的距离,n为近剪切面与视点Ov的距离。代入Pv的值可得:
```
| xw | | -20.0000 0.0000 0.0000 0.0000 | | -48.8904 |
| yw | = | 0.0000 -20.0000 0.0000 0.0000 | * | 85.1044 |
| zw | | 0.0000 0.0000 -1.0000 -20.5394 | | -51.0788 |
| w | | 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 | | 1 |
```
再进行透视除法:
```
| xs | | -26.8015 0.0000 0.0000 0.0000 | | -48.8904 |
| ys | = | 0.0000 -44.0683 0.0000 0.0000 | * | 85.1044 |
| zs | | 0.0000 0.0000 -0.9789 -0.9806 | | -51.0788 |
| w | | 0.0000 0.0000 -1.0000 0.0000 | | 1 |
```
得到ps1的坐标为(xs1, ys1, zs1) = (-26.8015, -44.0683, -0.9806)。
(4) 透视投影点ps1的伪透视深度Zs1可以通过以下公式计算:
```
Zs1 = (Far + Near - 2 * f * n / (Far - Near)) / (2 * f * n / (Far - Near) - zs1)
```
代入题目中的数据,可得:
```
Zs1 = (220 + 20 - 2 * 220 * 20 / (220 - 20)) / (2 * 220 * 20 / (220 - 20) - (-0.9806)) = 202.8687
```
因此透视投影点ps1的伪透视深度为Zs1 = 202.8687。
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