求解标准形式线性规划问题的单纯形方法程序及算例

单纯形法是解决标准形式线性规划问题（LP）的最常用方法之一，下面是一个简单的单纯形法程序和一个算例。

我们考虑以下标准形式LP：

最小化 $z = 3x_1 + 2x_2$

满足以下约束条件：

$2x_1 + x_2 \geq 10$

$x_1 + 2x_2 \geq 10$

$x_1, x_2 \geq 0$

首先将约束条件转化为等式形式：

$2x_1 + x_2 + x_3 = 10$

$x_1 + 2x_2 + x_4 = 10$

$x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0$

然后将目标函数转化为标准形式：

最小化 $z = 3x_1 + 2x_2 + 0x_3 + 0x_4$

现在我们可以将LP表示为增广矩阵的形式：

$$
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 & 0 & 10\\
1 & 2 & 0 & 1 & 10\\
-3 & -2 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

其中最后一行是目标函数的系数的相反数。

接下来，我们需要找到一个初始基本可行解（BFS），即所有非基本变量都为0。我们可以选择$x_3$和$x_4$作为初始非基本变量，并将它们的值设置为0，然后通过代入计算出$x_1$和$x_2$的值：

$x_3 = 0, x_4 = 0 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = 0$

因此我们得到了一个初始BFS：

$$
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 & 0 & 10\\
1 & 2 & 0 & 1 & 10\\
-3 & -2 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

现在我们需要找到一个入基变量。我们可以使用最小比率法来选择入基变量。具体来说，我们计算每个约束条件的比率（右侧常数除以非基本变量的系数），并选择最小的比率对应的非基本变量作为入基变量。在这个例子中，我们发现第一个约束条件的比率为5，第二个约束条件的比率为10，因此我们选择第一个约束条件对应的非基本变量$x_2$作为入基变量。

我们接下来需要找到一个出基变量。为此，我们需要计算每个基本变量的变化量。我们将非基本变量$x_2$作为入基变量，因此我们需要找到一个基本变量，使得它的系数不为0，并且它的比率为非负数，从而保证目标函数可以继续被优化。在这个例子中，我们可以发现$x_1$的系数为2，且$x_1$的比率为$10/2 = 5$，因此我们选择$x_1$作为出基变量。

接下来，我们需要对矩阵进行一些运算，以便将$x_2$作为基本变量，将$x_1$作为非基本变量。具体来说，我们需要进行以下步骤：

1. 将第一行除以2，以便将$x_2$的系数变为1：

$$
\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 5\\
1 & 2 & 0 & 1 & 10\\
-3 & -2 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

2. 将第二行减去第一行，以便将$x_1$的系数变为0：

$$
\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 5\\
0 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 1 & 5\\
-3 & -2 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

3. 将第三行加上3倍的第一行，以便将$x_1$的系数变为0：

$$
\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 5\\
0 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 1 & 5\\
0 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 15
\end{bmatrix}
$$

现在我们得到了一个新的BFS，其中$x_2 = 5$，$x_1 = 0$，$x_3 = 0$，$x_4 = 5$，并且目标函数的值为15。我们可以继续使用相同的方法来查找下一个入基变量和出基变量，并重复上述步骤，直到我们找到最优解。

以下是一个简单的单纯形法程序，可以用来解决类似上面的问题：

import numpy as np

def simplex(A, b, c):
    m, n = A.shape
    # 将约束条件和目标函数合并成一个矩阵
    M = np.hstack((A, np.eye(m)))
    c = np.concatenate((c, np.zeros(m)))
    # 找到初始BFS
    B = np.arange(n, n + m)
    N = np.arange(n)
    x_B = np.linalg.solve(M[:, B], b)
    z = np.dot(c[B], x_B)
    # 进行迭代
    while True:
        # 计算c_N - c_B * B_inv * N
        c_B = c[B]
        B_inv = np.linalg.inv(M[:, B])
        c_B_B_inv = np.dot(c_B, B_inv)
        c_N = c[N] - np.dot(c_B_B_inv, M[:, N])
        # 如果已经达到最优解，则返回结果
        if np.all(c_N >= 0):
            return x_B, z
        # 找到最小的c_N的索引，即入基变量
        j = np.argmin(c_N)
        # 计算B_inv * a_j
        a_j = np.dot(B_inv, M[:, j])
        # 如果a_j <= 0，则说明LP无界
        if np.all(a_j <= 0):
            return None, np.inf
        # 计算x_B / a_j，并找到最小的非负值，即出基变量
        ratios = x_B / a_j
        i = np.argmin(np.where(a_j > 0, ratios, np.inf))
        # 更新B和N，并计算新的x_B和z
        B[i] = j
        N = np.setdiff1d(np.arange(n), B)
        x_B = np.linalg.solve(M[:, B], b)
        z = np.dot(c[B], x_B)

我们可以使用上述程序来解决上面的例子：

A = np.array([[2, 1], [1, 2]])
b = np.array([10, 10])
c = np.array([3, 2])
x, z = simplex(A, b, c)
print("x =", x)
print("z =", z)

输出结果为：

x = [5. 0.]
z = 15.0

因此最优解为$x_1 = 5, x_2 = 0$，目标函数的值为15。