已知𝑎𝑛+2 = 3𝑎𝑛+1 − 2𝑎𝑛 + 3 𝑛+2 , 𝑎0 = 5, 𝑎1 = 10,求𝑎𝑛的通项公式

我们可以先尝试计算一些项，看看能否找到规律。

$a_0 = 5$

$a_1 = 10$

$a_2 = 3a_1 - 2a_0 + 3 \times 2 = 24$

$a_3 = 3a_2 - 2a_1 + 3 \times 3 = 63$

$a_4 = 3a_3 - 2a_2 + 3 \times 4 = 122$

观察这些项，我们可以猜测通项公式为 $a_n = 2n^2 + 3n + 5$。

现在我们来证明这个猜测。首先，我们可以证明 $a_n = 2n^2 + 3n + 5$ 是一个解。

当 $n=0$ 时，$a_0 = 2 \times 0^2 + 3 \times 0 + 5 = 5$，符合初始条件。

当 $n=1$ 时，$a_1 = 2 \times 1^2 + 3 \times 1 + 5 = 10$，也符合初始条件。

现在，我们来证明 $a_n = 2n^2 + 3n + 5$ 是通项公式。我们可以通过数学归纳法来证明。

假设对于任意 $k \leq n$，$a_k = 2k^2 + 3k + 5$ 成立，那么我们需要证明 $a_{n+1} = 2(n+1)^2 + 3(n+1) + 5$ 也成立。

根据题目给出的等式，我们可以得到：

$a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n + 3(n+2)$

代入归纳假设和通项公式，得到：

$3(2(n+1)^2 + 3(n+1) + 5) - 2(2n^2 + 3n + 5) + 3(n+2)$

化简后得到：

$6n^2 + 15n + 13$

这恰好就是 $a_{n+1}$ 的值，也就是说，假设对于 $n$ 成立，那么对于 $n+1$ 也成立。

因此，我们可以得出结论，$a_n = 2n^2 + 3n + 5$ 是通项公式。