九、已知𝑎𝑛+2 = 3𝑎𝑛+1 − 2𝑎𝑛 + 3 𝑛+2 , 𝑎0 = 5, 𝑎1 = 10,求𝑎𝑛的通项公式。（

我们可以先将递推式转化为特征方程。令𝑓(𝑛)=𝑎𝑛，那么有：

𝑓(𝑛+2)−3𝑓(𝑛+1)+2𝑓(𝑛)=−3

将𝑓(𝑛)表示为特征方程的形式，即𝑓(𝑛)=𝑎𝑟𝑛，其中𝑎𝑟是特征方程的解。代入递推式，得：

𝑎𝑟𝑛+2−3𝑎𝑟𝑛+1+2𝑎𝑟𝑛=−3𝑎0𝑎𝑟0+𝑎1𝑎𝑟1−3𝑎0𝑎𝑟1+𝑎1𝑎𝑟0+2𝑎0𝑎𝑟0=−3

化简得：

𝑎0(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+2+2)+𝑎1(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+1+1)=−3

代入初始条件𝑎0=5，𝑎1=10，得：

5(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+2+2)+10(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+1+1)=−3

化简得：

(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+2+2)+2(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+1+1)=−3/5

移项得：

(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+2+2)=−2/5(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+1+1)

化简得：

(5𝑎𝑟2+2)−(15𝑎𝑟+6)+10𝑎𝑟=0

即：

5𝑎𝑟2−5𝑎𝑟−2=0

解得：

𝑎𝑟1=1/2, 𝑎𝑟2=2

故通项公式为：

𝑎𝑛=𝐴(1/2)𝑛+𝐵(2)𝑛

代入初始条件得：

5=𝐴+𝐵

10=𝐴(1/2)+2𝐵

解得：

𝐴=10/3, 𝐵=5/3

故通项公式为：

𝑎𝑛=(10/3)(1/2)𝑛+(5/3)(2)𝑛