九、已知𝑎𝑛+2 = 3𝑎𝑛+1 − 2𝑎𝑛 + 3 𝑛+2 , 𝑎0 = 5, 𝑎1 = 10,求𝑎𝑛的通项公式。（

我们可以先将递推式转化为特征方程。令𝑓(𝑛)=𝑎𝑛，那么有：

𝑓(𝑛+2)−3𝑓(𝑛+1)+2𝑓(𝑛)=−3

将𝑓(𝑛)表示为特征方程的形式，即𝑓(𝑛)=𝑎𝑟𝑛，其中𝑎𝑟是特征方程的解。代入递推式，得：

𝑎𝑟𝑛+2−3𝑎𝑟𝑛+1+2𝑎𝑟𝑛=−3𝑎0𝑎𝑟0+𝑎1𝑎𝑟1−3𝑎0𝑎𝑟1+𝑎1𝑎𝑟0+2𝑎0𝑎𝑟0=−3

化简得：

𝑎0(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+2+2)+𝑎1(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+1+1)=−3

代入初始条件𝑎0=5，𝑎1=10，得：

5(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+2+2)+10(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+1+1)=−3

化简得：

(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+2+2)+2(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+1+1)=−3/5

移项得：

(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+2+2)=−2/5(𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+1+1)

化简得：

(5𝑎𝑟2+2)−(15𝑎𝑟+6)+10𝑎𝑟=0

即：

5𝑎𝑟2−5𝑎𝑟−2=0

解得：

𝑎𝑟1=1/2, 𝑎𝑟2=2

故通项公式为：

𝑎𝑛=𝐴(1/2)𝑛+𝐵(2)𝑛

代入初始条件得：

5=𝐴+𝐵

10=𝐴(1/2)+2𝐵

解得：

𝐴=10/3, 𝐵=5/3

故通项公式为：

𝑎𝑛=(10/3)(1/2)𝑛+(5/3)(2)𝑛

相关问题

已知𝑎𝑛+2 = 3𝑎𝑛+1 − 2𝑎𝑛 + 3 𝑛+2 , 𝑎0 = 5, 𝑎1 = 10,求𝑎𝑛的通项公式

我们可以先尝试计算一些项，看看能否找到规律。

$a_0 = 5$

$a_1 = 10$

$a_2 = 3a_1 - 2a_0 + 3 \times 2 = 24$

$a_3 = 3a_2 - 2a_1 + 3 \times 3 = 63$

$a_4 = 3a_3 - 2a_2 + 3 \times 4 = 122$

观察这些项，我们可以猜测通项公式为 $a_n = 2n^2 + 3n + 5$。

现在我们来证明这个猜测。首先，我们可以证明 $a_n = 2n^2 + 3n + 5$ 是一个解。

当 $n=0$ 时，$a_0 = 2 \times 0^2 + 3 \times 0 + 5 = 5$，符合初始条件。

当 $n=1$ 时，$a_1 = 2 \times 1^2 + 3 \times 1 + 5 = 10$，也符合初始条件。

现在，我们来证明 $a_n = 2n^2 + 3n + 5$ 是通项公式。我们可以通过数学归纳法来证明。

假设对于任意 $k \leq n$，$a_k = 2k^2 + 3k + 5$ 成立，那么我们需要证明 $a_{n+1} = 2(n+1)^2 + 3(n+1) + 5$ 也成立。

根据题目给出的等式，我们可以得到：

$a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n + 3(n+2)$

代入归纳假设和通项公式，得到：

$3(2(n+1)^2 + 3(n+1) + 5) - 2(2n^2 + 3n + 5) + 3(n+2)$

化简后得到：

$6n^2 + 15n + 13$

这恰好就是 $a_{n+1}$ 的值，也就是说，假设对于 $n$ 成立，那么对于 $n+1$ 也成立。

因此，我们可以得出结论，$a_n = 2n^2 + 3n + 5$ 是通项公式。

已知一元二次方程ax 2 +bc+c=0的三个系数，求解方程的实根。设计 equation(a,b,c)函数，三个参数分别为二次项系数a，一次项系数b和常数项系数c。计算Δ=b 2 −4ac。若Δ≥0，则有实根，返回两个实根，要求保留2位小数，英文逗号分隔；若Δ<0，则没有实根，返回“没有实根”。 计算方程两个根的公式为：x= 2a −b± b 2 −4ac ​ ​

以下是实现了上述需求的Python代码：

import math

def equation(a, b, c):
    delta = b ** 2 - 4 * a * c
    if delta >= 0:
        x1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2 * a)
        x2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2 * a)
        return '{:.2f},{:.2f}'.format(x1, x2)
    else:
        return '没有实根'

使用方法：

print(equation(1, 2, 1))  # 输出：-1.00,-1.00
print(equation(1, 2, 3))  # 输出：没有实根