求曲面z=[1-x^2/(1+a)-y^2/(1+b)]^(1/2)的面积

要求曲面的面积，可以使用曲面积分的方法。曲面积分的计算公式为：

$$
\iint\limits_S dS = \iint\limits_D \left\|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right\| dudv
$$

其中，$S$ 表示曲面，$D$ 表示曲面在 $u$-$v$ 平面上的投影区域，$\mathbf{r}(u, v)$ 表示曲面上的点，$\|\cdot\|$ 表示向量的模长。

对于本题中的曲面 $z = \sqrt{1-\frac{x^2}{1+a}-\frac{y^2}{1+b}}$，我们可以令 $x = (1+a)u, y = (1+b)v$，则有

$$
z = \sqrt{1 - u^2 - v^2}
$$

曲面在 $u$-$v$ 平面上的投影区域为一个单位圆，所以 $D$ 可以表示为 $0\leq u \leq 1, 0\leq v \leq 1$。

对 $\mathbf{r}(u, v) = (u, v, \sqrt{1 - u^2 - v^2})$ 求偏导数，得

$$
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} = (1, 0, -\frac{u}{\sqrt{1-u^2-v^2}}) \\
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = (0, 1, -\frac{v}{\sqrt{1-u^2-v^2}})
$$

因此，

$$
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = \left(\frac{u}{\sqrt{1-u^2-v^2}}, \frac{v}{\sqrt{1-u^2-v^2}}, 1\right)
$$

曲面的面积为

$$
\begin{aligned}
\iint\limits_S dS &= \iint\limits_D \left\|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right\| dudv \\
&= \int_0^1 \int_0^1 \sqrt{\frac{u^2}{1-u^2-v^2}+\frac{v^2}{1-u^2-v^2}+1} dudv \\
&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \sqrt{\frac{r^2\cos^2\theta}{1-r^2}+\frac{r^2\sin^2\theta}{1-r^2}+1} r dr d\theta \quad (\text{令} u = r\cos\theta, v = r\sin\theta) \\
&= 2\pi \int_0^1 \sqrt{\frac{r^2}{1-r^2}+1} r dr \\
&= \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi/2} \sec^3\theta d\theta \quad (\text{令} r = \tan\theta) \\
&= \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2}{3} (\sec\theta\tan\theta + \ln|\sec\theta+\tan\theta|)\bigg|_0^{\pi/2} \\
&= \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2}{3} (1 + \ln(\sqrt{2}+1))
\end{aligned}
$$

所以，曲面的面积为 $\frac{\pi}{3}(1 + \ln(\sqrt{2}+1))$。