行列式按行或列展开怎么算

行列式按行或列展开的计算方法是通过递归地使用代数余子式来计算的。具体步骤如下：

1. 选择要展开的行或列，记为第 i 行或第 j 列。

2. 计算代数余子式 Aij，即将第 i 行和第 j 列删去后所组成的子矩阵的行列式乘以 (-1)^(i+j)。

3. 将第 i 行或第 j 列的每个元素分别乘以对应的代数余子式 Aij，然后将它们相加得到行列式的值。

具体公式如下：

|A| = a1j * A1j + a2j * A2j + ... + anj * Anj （按第 j 列展开）

|A| = ai1 * Ai1 + ai2 * Ai2 + ... + ain * Ain （按第 i 行展开）

其中，aik 表示第 i 行第 k 列的元素，Aik 表示将第 i 行和第 k 列删去后所组成的子矩阵的行列式。

相关问题

行列式中6个性质法和按行按列展开法举出其中三例

行列式的6个性质：
1. 行列式与它的转置行列式相等；
2. 交换行（列）改变行列式的符号；
3. 行（列）成比例，则行列式为0；
4. 行列式每一行（列）的元素乘以同一数k，等价于用k乘以行列式；
5. 行列式中如果有两行（列）成比例，则行列式为0；
6. 任一行（列）的所有元素乘以同一数k，加到另一行（列）对应元素上，行列式不变。

按行按列展开法的例子：
1. 按行展开：$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}$
2. 按列展开：$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} + 7 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}$
3. 利用性质4：$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 2.5 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2.5 & 3 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 2 & 2.5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}$

线性代数里行列式的6个性质法和按行按列展开法。举至少三个例题；解释说明。

行列式的6个性质法如下：

1. 互换行列式的两行（列），其值变号。
2. 以某一行（列）的公因子 k 倍加到另一行（列）上，行列式的值不变。
3. 行列式中如果有两行（列）成比例，则该行列式的值为 0。
4. 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数 k，行列式的值也要乘以 k。
5. 行列式的某一行（列）的元素都可以表示为两数之和，如 a,b，则该行列式可以表示为两个行列式之和，其中一个行列式每一行（列）对应元素都是 a，另一个行列式每一行（列）对应元素都是 b。
6. 行列式的某一行（列）可以表示为两数之差，如 a-b，则该行列式可以表示为两个行列式之差，其中一个行列式每一行（列）对应元素都是 a，另一个行列式每一行（列）对应元素都是 b。

按行按列展开法是求行列式的一种方法，具体步骤如下：

1. 选择一个行（列）展开，将行列式化为该行（列）元素与余子式的积之和。
2. 对余子式继续选择一个行（列）展开，直到展开式中只含有一个元素为止。
3. 对展开式中的每一项符号进行处理，将所有项的符号相加得到最终结果。

举例题：

1. 计算行列式 $D=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}$。

按第一行展开，得到 $D=1\times\begin{vmatrix}5 & 6 \\ 8 & 9\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}4 & 6 \\ 7 & 9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4 & 5 \\ 7 & 8\end{vmatrix}$。

对余子式继续按第一行展开，得到 $D=1\times(5\times9-6\times8)-2\times(4\times9-6\times7)+3\times(4\times8-5\times7)=-6$。

2. 计算行列式 $D=\begin{vmatrix}2 & -1 & 3 \\ -3 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 4\end{vmatrix}$。

按第三行展开，得到 $D=1\times\begin{vmatrix}2 & -1 \\ -3 & 2\end{vmatrix}+2\times\begin{vmatrix}-3 & 2 \\ 1 & -2\end{vmatrix}-4\times\begin{vmatrix}-3 & 2 \\ 2 & 1\end{vmatrix}$。

对余子式继续按第一行展开，得到 $D=1\times(2\times2-(-1)\times(-3))+2\times((-3)\times(-2)-2\times1)-4\times((-3)\times1-2\times2)=10$。

3. 计算行列式 $D=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5\end{vmatrix}$。

按第一列展开，得到 $D=1\times\begin{vmatrix}3 & 4 \\ 4 & 5\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}2 & 4 \\ 3 & 5\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 3 & 4\end{vmatrix}$。

对余子式继续按第一列展开，得到 $D=1\times(3\times5-4\times4)-2\times(2\times5-4\times3)+3\times(2\times4-3\times3)=-2$。